Material hipoelástico

En mecànica de mijos continus, un material hipoelástico és un tipo de material elàstic que la seua equació constitutiva no depén únicament d'alguna mida de deformació finita. Els models de materials hipoelásticos són distints dels models hiperelásticos (o models estàndar d'elasticitat) i per eixa raó els models hipoelásticos, llevat en circumstàncies especials, no poden derivar-se d'una funció de densitat d'energia de deformació.

Visió general

Un material hipoelàstic pot definir-se rigorosament com aquell que es modela per mig d'una equació constitutiva que satisfà els següents dos criteris:

• La tensió de Cauchy $𝝈$ en el temps $t$ depén únicament de l'orde en que el cos ha ocupat les seues configuracions passades, pero no de la velocitat a la que es varen recórrer estes configuracions passades. Com a cas especial, este criteri inclou un material elàstic de Cauchy, en el que la tensió actual depén solament de la configuració actual en lloc de l'historial de configuracions passades.
• Existix una funció tensorial $G$ tal que $\dot{𝝈}=G(𝝈,𝑳)$, a on $\dot{𝝈}$ és la derivada material del tensor tensió de Cauchy i $𝑳$és el tensor gradient de velocitat espacial.

Si solament s'utilisen estos dos criteris originals per a definir la hipoelasticidad, llavors l'hiperelasticidad s'inclouria dins dels materials hipteásticos com un cas especial, lo que du a alguns autors a agregar un tercer criteri que exigix específicament que un model hipoelàstic no siga hiperelàstic (és dir, la hipoelasticidad implica que la tensió no es pot derivar d'un potencial d'energia). Si s'adopta este tercer criteri, es deduïx que un material hipoelàstic podria admetre trayectòries de càrrega adiabàtica no conservativas que comencen i terminen en el mateix gradient de deformació pero que no comencen i terminen en la mateixa energia interna.

cal senyalar que el segon criteri solament requerix que la funció $G$ existixca. Com s'explica a continuació, les formulació específiques de models hipoelásticos solen amprar una denominada taxa objectiva de tensió de modo que la funció $G$ podria existir solament implícitament.

Els models de materials hipoelásticos solen adoptar la forma $\stackrel{\circ }{𝝉}=𝖬:𝒅$ a on $\stackrel{\circ }{𝝉}$ és una taxa objectiva de la tensió de Kirchhoff $(𝝉:=J𝝈)$, $𝒅:=[\frac{1}{2}(𝑳+{𝑳}^T)]$ és el tensor de taxa de deformació i $𝖬$ és el denominat tensor de rigidea tangente elàstica, que varia en la pròpia tensió i es considera un tensor de propietat del material. En hiperelasticidad, la rigidea tangente generalment també deu dependre del gradient de deformació per a contabilisar adequadament la distorsió i la rotació de les direccions de les fibres materials anisotrópicas.

Hipoelasticidad i taxes objectives de tensió

En molts problemes pràctics de mecànica de sòlits, és suficient caracterisar la deformació del material per mig del tensor de deformació chicoteta (o linealizada) ${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$ a on $u_i$ són les components dels desplaçaments dels punts del continu, els subíndexs es referixen a coordenades cartesianes $x_i(i=1,2,3)$, i els subíndexs precedits per una menge denoten derivades parcials (per eixemple, $u_{i,j}=\partial u_i/\partial x_j$). No obstant, també hi ha molts problemes en els que la finitud de la deformació deu tindre's en conte. Estos són de dos tipos:

• Grans deformacions elàstiques no llineals que posseïxen una energia potencial, $W(𝑭)$ (com s'observa, per eixemple, en el caucho), en les que els components del tensor de tensió s'obtenen com les derivades parcials de $W$ sobre els components del tensor de deformació finita.
• Deformacions inelásticas que no posseïxen potencial, en les que la relació tensió-deformació es definix incrementalment.

En el primer cas, la formulació de deformació total descrita en l'artícul sobre teoria de deformacions finitas és apropiada. En el segon cas, és necessari amprar una formulació incremental (o en térmens de taxes) i utilisar-la en cada pas de càrrega o temps d'un programa d'elements finitos que ampre el procediment lagrangiano actualisat. L'absència d'un potencial planteja qüestions complexes per la llibertat en l'elecció de la mida de deformació finita i la caracterisació de la taxa de tensió.

Per a un pas de càrrega suficientment chicotet (o increment), es pot usar el tensor de taxa de deformació (o deformació de velocitat) $d_{ij}={\dot{\epsilon }}_{ij}=\frac{1}{2}(v_{i,j}+v_{j,i})$ o el seu increment $\Delta {\epsilon }_{ij}={\dot{\epsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t$ que representa l'increment de deformació linealizado des de l'estat inicial (tensionado i deformat) en el pas.

No obstant, no seria objectiu usar la derivada temporal del tensor tensió de Cauchy ${\sigma }_{ij}$. Esta tensió, que descriu les forces sobre un chicotet element material imaginat com tallat del material tal com està deformat en el moment actual, no és objectiva perque varia en les rotacions de cos rígit del material. Per lo tant, és necessari introduir la cridada taxa objectiva de tensió ${\hat{\sigma }}_{ij}$, o l'increment corresponent $\Delta {\sigma }_{ij}={\hat{\sigma }}_{ij}\Delta t$. L'objectivitat és necessària per a que ${\hat{\sigma }}_{ij}$ estiga funcionalmente relacionada en la deformació de l'element.