Material hiperelástico

Archiu:Hyperelastic.svg

Eixemples de curves de tensió-deformació per a diferents materials hiperelásticos.

Un material hiperelástico o material elàstic de Green és un tipo de material elàstic para el qual l'equació constitutiva que relaciona tensions i deformacions pot obtindre's a partir d'una potencial elàstic $W_e$ o energia elàstica de deformació que siga funció d'estat. En un material elàstic el tensor de tensions (2º tensor de Piola-Kirchhof) ${𝐓}_{2PK}$ pot relacionar-se en el tensor de deformació de Green-Cauchy $𝐂$ per mig de la relació:

Els materials hiperelásticos són un cas particular de material elàstic de Cauchy.

Universalitat de la hiperelasticidad

Encara que l'expressió (1) és molt particular i és només un cas possible d'equació constitutiva, sorpredentemente pot demostrar que qualsevol material elàstic físicament raonable és de fet hiperelástico (per lo que realment els materials hiperelásticos més que un cas molt específic, són prou generals).

La demostració de l'universalitat de la hiperelasticidad requerix considerar el segon principi de la termodinàmica i la seua aplicació a problemes termomecánicos. En el context dels problemes termomecánicos el principi de Coleman-Noll postula que les equacions constitutives d'un sòlit deformable satisfan el segon principi de la termodinàmica. Si s'accepta com a axioma el principi de Coleman-Noll pot provar-se que tot material elàstic és de fet hiperelástico.

En eixe context el segon principi pot expressar-se en forma integral, expressió que rep el nom de desigualtat de Clausius-Duhem:

A on:

$\dot{Q}(𝐫,t)$ és la taxa de generació de calor en l'interior (com a funció de la coordenades del punt $𝐫$ i de l'instant de temps t).

$\theta (𝐫,t)$ és la temperatura en el punt $𝐫$, en l'instant de temps t.

$𝐪$, és el fluix de calor a través de la superfície.

${𝐧}_S$, és el vector normal a la superfície en cada punt.

$s(𝐫,t)$, és la entropía per unitat de volum en cada punt.

L'expressió anterior es pot escriure localment com equació diferencial:

Puix que per a problemes termomecánicos es té la següent relació entre la varición de l'energia interna $\dot{u}$, la calor generada, el fluix de calor i la potència elàstica:

Substituyendo (3) en (2) conduïx a:

Substituyendo en esta equació l'energia lliure de Helmholtz $f=u-s\theta$ es pot vore que l'igualtat anterior només es complix per a un procés arbitrari si el tensor tensió satisfà (1).

Eixemples de tipos de materials hiperelásticos

Existix una gran varietat d'equacions constitutives per a materials hiperelásticos, estos tipos de materials es poden classificar com:

• Models fenomenológicos:
  • Material de Saint Venant-Kirchhoff, tot material elàstic isótropo per a chicotetes deformacions es comporta com un material d'este tipo.
  • Material de Mooney-Rivlin,
  • Material de Ogden,
  • Model polinomial,
  • Model elàstic de Fung per a teixits blans, amprat en biomecánica para modelizar les propietats dels teixits blans interns abans d'alcançar danys.
  • Model hiperelástico de Yeoh
• Elasticitat d'polímero i cauchos:
  • Material neohokeano
  • Model de Arruda-Boyce
• Models híbrits:
  • Model hiperelástico de Gent

Material de Saint-Venant–Kirchhoff

AP El material de Saint-Venant–Kirchhoff és el model més simple de material hiperelástico. En ell el potencial elàstic és quadràtic, i és el model material usat per a un material isótropo llineal somés a chicotetes deformacions (de fet qualsevol material elàstic somés a chicotetes deformacions, s'aproxima asintóticamente a este model). L'equació constitutiva entre la tensió i la deformació té la forma:

a on:

$𝐒$, és el segon tensor de Piola-Kirchoff,

$𝐄$ és el tensor deformació infinitesimal linealizado de Green-Lagrange

$\lambda$ i $\mu$ són els coeficients de Lamé.

Les equacions anteriors poden ser derivades a partir del següent potencial o funció d'energia de deformació per a este model és:

Obtenint-se el tensor tensió (segon tensor de Piola-Kirchhoff) pot ser derivat de la relació: