Fes de jets

En topología diferencial, un fes de jets és una construcció que genera un nou fibrado diferenciable d'un fes donat de fibres suaus. Fa possible escriure equacions diferencials en seccions d'un fes de fibres en una forma invariante. Els jets també es poden vore com les versions de la série de Taylor lliures de coordenades.

Històricament, els fas de jets s'atribuïxen a Ehresmann, i varen anar un alvanç en el método (prolongació) d'Élie Cartan, de tractar geomètricament en derivades successives, en impondre condicions diferencials a les variables formals recentment introduïdes. Els fas de jets a voltes es diuen espráis, encara que els espráis per lo general es referixen més específicament al camp vectorial associat induït en el fes corresponent (per eixemple, l'esprai geodèsic en varietats de Finsler).

Més recentment, els fas de jets han aparegut com una forma concisa per a descriure els fenomens associats en les aplicacions de derivades, en particular les associades en el càlcul de variacions. En conseqüència, ara es reconeix que el fes de jets és el domini correcte per a la teoria de camp covariant geomètrica clàssica, i es realisa molt treball en les formulació de camps en la relativitat general que utilisen este enfocament.

Jets

Artícul principal → Jet (matemàtiques).

Suponga's que M és una varietat m-dimensional i que (I, π, M) és un fibrado. Per a p ∈ M, siga Γ(p) el conjunt de totes les seccions locals el domini de les quals conté p. Es definix I = (I(1), I(2), ..., I(m)) com una entitat multi indexada no ordenada (una m-tupla de sancers), tal que

$\begin{array}{cc}|I|& :=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\ \frac{{\partial }^{|I|}}{\partial x^I}& :=\prod _{i=1}^m{\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)}^{I(i)}.\end{array}$

Definixquen-se les seccions locals σ, η ∈ Γ(p) que tenen el mateix r-jet en p si

${\frac{{\partial }^{|I|}{\sigma }^{\alpha }}{\partial x^I}|}_p={\frac{{\partial }^{|I|}{\eta }^{\alpha }}{\partial x^I}|}_p,0\le |I|\le r.$

La relació de que dos aplicacions tenen el mateix r-jet és una relació d'equivalència. Un r-jet és una classe d'equivalència baixe esta relació, i el r-jet en el representant σ es denota $j_p^r\sigma$. L'número entero r també es diu orde del jet, p és la seua font i σ(p) és el seu objectiu.

Varietats de jet

El r-ésimo múltiple del jet de π és el conjunt

$J^r(\pi )=\{j_p^r\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\}.$

Es poden definir les proyeccions π_r i π_r,0 denominades proyeccions font i objectiu, respectivament, per

$\{\begin{array}{c}{\pi }_r:J^r(\pi )\to M\\ j_p^r\sigma \mapsto p\end{array},\{\begin{array}{c}{\pi }_{r,0}:J^r(\pi )\to E\\ j_p^r\sigma \mapsto \sigma (p)\end{array}$

Si 1 ≤ k ≤ r, llavors un k-jet és la funció π_r,k definida per

$\{\begin{array}{c}{\pi }_{r,k}:J^r(\pi )\to J^k(\pi )\\ j_p^r\sigma \mapsto j_p^k\sigma \end{array}$

D'esta definició, està clar que π_r = π o π_r,0 i que si 0 ≤ m ≤ k, llavors π_r,m = π_k,m o π_r,k. És convencional considerar π_r,r com la funció identitat en J ^r(π) i identificar J ⁰(π) en I.

Les funcions π_r,k, π_r,0 i π_r són funcions sobreyectivas suaus immerses.

Un sistema de coordenades en I generarà un sistema de coordenades en J ^r (π). Siga (O, o) un atles adaptat en I, a on o = (xⁱ, o^α). El gràfic de coordenades induïdes (O^r,o^r) en J ^r (π) es definix per

$\begin{array}{cc}{U}^r& =\{j_p^r\sigma :\sigma (p)\in U\}\\ u^r& =(x^i,u^{\alpha },u_I^{\alpha })\end{array}$

a on

$\begin{array}{cc}{x}^i(j_p^r\sigma )& =x^i(p)\\ u^{\alpha }(j_p^r\sigma )& =u^{\alpha }(\sigma (p))\end{array}$

i les funcions $n({}^{m+r}{C}_r-1)$ són conegudes com les coordenades derivades:

$\{\begin{array}{c}{u}_I^{\alpha }:U^k\to 𝐑\\ u_I^{\alpha }(j_p^r\sigma )={\frac{{\partial }^{|I|}{\sigma }^{\alpha }}{\partial x^I}|}_p\end{array}$

Donat un atles de mapes adaptats (O, o) en I, la colecció corresponent de mapes (O  ^r, o ^r) és un atles de dimensió finita C^∞ sobre J ^r( π).

Fas de jets

Ya que l'atles en cada J^r (π) definix una varietat, les tripletas (J^r (π), π_r,k, J^k (π)), (J^r (π), π_r,0, I) i (J^r (π), π_r, M) definixen totes les varietats de fibres. En particular, si (I, π, M) és un paquet de fibres, el triplet (J^r (π), π_r, M) definix el r-ésimo jet de π.

Si W ⊂ M és una subvariedad oberta, llavors

$J^r\left(\pi {|}_{{\pi }^{-1}(W)}\right)\cong {\pi }_r^{-1}(W).$

Si p ∈ M, llavors la fibra ${\pi }_r^{-1}(p)$ es denota com $J_p^r(\pi )$.

Siga σ una secció local de π en domini W ⊂ M. La r-prolongació del jet de σ és l'aplicació j^rσ: W → J^r (π) definit per

$(j^r\sigma )(p)=j_p^r\sigma .$

Tinga's en conte que π_r o j^rσ = aneu_W, per lo que j^rσ realment és una secció. En coordenades locals, j^rσ ve donada per

$({\sigma }^{\alpha },\frac{{\partial }^{|I|}{\sigma }^{\alpha }}{\partial x^{|I|}})1\le |I|\le r.$

identificant j⁰σ en σ.

Perspectiva algebraic-geomètrica

A continuació es dona una construcció motivada independentment del fes de seccions $\Gamma J^k({\pi }_{TM})$.

Considere's una aplicació diagonal ${\Delta }_n:M\to {\prod }_{i=1}^{n+1}M$, a on el múltiple diferenciable $M$ és un espai localment anellat per $C^k(U)$ per a cada $U$ obert. Siga $ℐ$ la banda ideal ${\Delta }_n(M)$, de manera equivalent siga $ℐ$ el fes de germens diferenciables que s'anulen en ${\Delta }_n(M)$ per a tots els $0<n\le k$. L'image inversa de la teoria de fas ${{\Delta }_n}^{*}(ℐ/{ℐ}^{n+1})$ de ${\prod }_{i=1}^{n+1}M$ a $M$ per ${\Delta }_n$ és el fes de k-jets.

El llímit directe de la seqüència d'aplicacions inyectivas donada per les inclusions canòniques ${ℐ}^{n+1}\hookrightarrow {ℐ}^n$ de fas dona lloc al fes infinit de jets ${𝒥}^{\mathrm{\infty }}(TM)$. Observe's que per la construcció de llímit directe es tracta d'un anell filtrat.

Eixemple

Si π és el fibrado (M × R, pr₁, M), llavors existix un difeomorfismo canònic entre el primer fes de jets J¹ (π) i T * M × R. Per a construir este difeomorfismo, per a cada σ en Γ_M (π), deu escriure's com $\overline{\sigma }=p{r}_2\circ \sigma \in C^{\mathrm{\infty }}(M)$.

Llavors, cada volta que p ∈ M

$j_p^1\sigma =\{\psi :\psi \in {\Gamma }_p(\pi );\overline{\psi }(p)=\overline{\sigma }(p);d{\overline{\psi }}_p=d{\overline{\sigma }}_p\}.$

En conseqüència, l'aplicació

$\{\begin{array}{c}{J}^1(\pi )\to T^{*}M\times 𝐑\\ j_p^1\sigma \mapsto (d{\overline{\sigma }}_p,\overline{\sigma }(p))\end{array}$

està ben definida i és clarament una funció inyectiva. Transcribirlo a coordenades demostra que és un difeomorfismo, perque si (xⁱ, o) són coordenades en M × R, a on o = aneu_R és l'identitat de coordenades, llavors les coordenades derivades o_i en J¹(π) corresponen a les coordenades ∂_i en T * M.

De la mateixa manera, si π és el fes trivial (R × M, pr₁, R), llavors existix un difeomorfismo canònic entre J¹(π) i R × TM.

Estructura de contacte

L'espai J^r(π) té una distribució natural, és dir, un subconjunt del fibrado tangente TJ^r(π), cridat distribució de Cartan. La distribució de Cartan s'estén per tots els plans tangentes a gràfics de seccions holonómicas; és dir, seccions de la forma j^rφ, sent φuna secció de π.

L'invers de la distribució de Cartan és un espai diferencial de forma 1, cridat forma de contacte en J^r(π). L'espai de formes úniques diferenciables en J^r(π) es denota per ${\Lambda }^1{J}^r(\pi )$ i l'espai de formes de contacte es denota per ${\Lambda }_C^r\pi$. Una forma és una forma de contacte sempre que el seu aplicació regrediente en cada prolongació siga zero. En atres paraules, $\theta \in {\Lambda }^1{J}^r\pi$ és una forma de contacte si i solament si

$(j^{r+1}\sigma {)}^{*}\theta =0$

per a totes les seccions locals σ de π sobre M.

La distribució de Cartan és l'estructura geomètrica principal en els espais de jets i juga un paper important en la teoria geomètrica de les equacions en derivades parcials. Les distribucions de Cartan són completament no integrables. En particular, no són involutivas. La dimensió de la distribució de Cartan creix en l'orde de l'espai del jet. No obstant, en l'espai de jets infinits J^∞, la distribució de Cartan es torna involutiva i de dimensió finita: la seua dimensió coincidix en la dimensió de la varietat de base M.

Eixemple

Considésese el cas (I, π, M), a on I ≃ R² i M ≃ R. Llavors, (J¹(π), π, M) definix el primer fes de jets, i pot expressar-se en les coordenades (x, o, o₁), a on

$\begin{array}{cc}x(j_p^1\sigma )& =x(p)=x\\ u(j_p^1\sigma )& =u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\ u_1(j_p^1\sigma )& ={\frac{\partial \sigma }{\partial x}|}_p={\sigma }^{\prime }(x)\end{array}$

per a tots els p ∈ M i σ en Γ_p(π). Una 1-forma general en J¹(π) té l'expressió

$\theta =a(x,u,u_1)dx+b(x,u,u_1)du+c(x,u,u_1)d{u}_1$

Una secció σ en Γ_p(π) té una primera prolongació

$j^1\sigma =(u,u_1)=(\sigma (p),{\frac{\partial \sigma }{\partial x}|}_p).$

Per lo tant, (j¹σ) * θ es pot calcular com

$\begin{array}{cc}(j_p^1\sigma {)}^{*}\theta & =\theta \circ j_p^1\sigma \\ & =a(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x))dx+b(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x))d({\sigma }^{\prime }(x))\\ & =a(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x))dx+b(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x)){\sigma }^{\prime }(x)dx+c(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x)){\sigma }^{″}(x)dx\\ & =[a(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x))+b(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x)){\sigma }^{\prime }(x)+c(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x)){\sigma }^{″}(x)]dx\end{array}$

Esta expressió s'anularà per a totes les seccions σ si i solament si c = 0 i a = -bσ'(x). Per lo tant, θ = b (x, o, o₁) θ₀ deu ser necessàriament un múltiple de la forma bàsica de contacte θ₀ = du-o₁dx. Continuant en el segon espai de jets J²(π) en la coordenada adicional o₂ , tal que

$u_2(j_p^2\sigma )={\frac{{\partial }^2\sigma }{\partial x^2}|}_p={\sigma }^{″}(x)$

es genera una 1-forma general en la construcció

$\theta =a(x,u,u_1,u_2)dx+b(x,u,u_1,u_2)du+c(x,u,u_1,u_2)d{u}_1+e(x,u,u_1,u_2)d{u}_2$

Est és una forma de contacte si i solament si

$\begin{array}{cc}(j_p^2\sigma {)}^{*}\theta & =\theta \circ j_p^2\sigma \\ & =a(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x),{\sigma }^{″}(x))dx+b(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x),{\sigma }^{″}(x))d(\sigma (x))+\\ & +c(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x),{\sigma }^{″}(x))d({\sigma }^{\prime }(x))+e(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x),{\sigma }^{″}(x))d({\sigma }^{″}(x))\\ & =adx+b{\sigma }^{\prime }(x)dx+c{\sigma }^{″}(x)dx+e{\sigma }^{‴}(x)dx\\ & =[a+b{\sigma }^{\prime }(x)+c{\sigma }^{″}(x)+e{\sigma }^{‴}(x)]dx\\ & =0\end{array}$

lo que implica que i = 0 i a = -bσ'(x)-cσ(x). Per lo tant, θ és una forma de contacte si i solament si

$\theta =b(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x)){\theta }_0+c(x,\sigma (x),{\sigma }^{\prime }(x)){\theta }_1,$

a on θ₁ = du₁-o₂dx és la següent forma de contacte bàsic (tinga's en conte que ací s'està identificant la forma θ₀ en el seu regrediente $({\pi }_{2,1}{)}^{*}{\theta }_0$ sobre J²(π)).

En general, proporcionant x, o ∈ R, una forma de contacte en J^r+1(π) es pot escriure com una combinació llineal de les formes de contacte bàsiques

${\theta }_k=d{u}_k-u_{k+1}dxk=0,\dots ,r-1$

a on

$u_k(j^k\sigma )={\frac{{\partial }^k\sigma }{\partial x^k}|}_p.$

Arguments similars conduïxen a una caracterisació completa de totes les formes de contacte.

En coordenades locals, cada contacte d'una forma en J^r+1(π) es pot escriure com una combinació llineal

$\theta =\sum _{|I|=0}^r{P}_{\alpha }^i{\theta }_i^{\alpha }$

en coeficients diferenciables $P_i^{\alpha }(x^i,u^{\alpha },u_I^{\alpha })$ dels formes de contacte bàsiques

${\theta }_i^{\alpha }=d{u}_i^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }d{x}^i$

|I| es coneix com el orde de la forma de contacte ${\theta }_i^{\alpha }$. Tinga's en conte que les formes de contacte en J^r+1(π) tenen órdens r com a màxim. Les formes de contacte proporcionen una caracterisació d'aquelles seccions locals de π_r+1 que són prolongacions de seccions de π.

Siga ψ ∈ Γ_W(π_r+1), llavors ψ = j^r+1σ a on σ ∈_W(π) si i solament si ${\psi }^{*}(\theta {|}_W)=0,\mathrm{\forall }\theta \in {\Lambda }_C^1{\pi }_{r+1,r}.$

Camps vectorials

Un camp vectorial general sobre l'espai total I, coordenado per $(x,u)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(x^i,u^{\alpha })$, és

$V\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\rho }^i(x,u)\frac{\partial }{\partial x^i}+{\varphi }^{\alpha }(x,u)\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}.$

Un camp vectorial es diu horisontal si tots els coeficients verticals desapareixen quan ${\varphi }^{\alpha }$ = 0.

Un camp vectorial es diu vertical si tots els coeficients horisontals desapareixen quan ρⁱ = 0.

Para (x, o) fix, s'identifica

$V_{(x,u)}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\rho }^i(x,u)\frac{\partial }{\partial x^i}+{\varphi }^{\alpha }(x,u)\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}$

tenint coordenades (x, o, ρⁱ, φ^α), en un element en la fibra T_xuI de TE sobre (x, o) en I, cridat un vector tangente en TE. Una secció

$\{\begin{array}{c}\psi :E\to TE\\ (x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{array}$

es diu un camp vectorial en I en

$V={\rho }^i(x,u)\frac{\partial }{\partial x^i}+{\varphi }^{\alpha }(x,u)\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}$

i ψ en Γ(TE).

El fes de plans J^r(π) està coordenado per $(x,u,w)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(x^i,u^{\alpha },w_i^{\alpha })$. Para (x, o, w) fix, s'identifica

$V_{(x,u,w)}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{V}^i(x,u,w)\frac{\partial }{\partial x^i}+V^{\alpha }(x,u,w)\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}+V_i^{\alpha }(x,u,w)\frac{\partial }{\partial w_i^{\alpha }}+V_{i_1{i}_2}^{\alpha }(x,u,w)\frac{\partial }{\partial w_{i_1{i}_2}^{\alpha }}+\cdots +V_{i_1\cdots i_r}^{\alpha }(x,u,w)\frac{\partial }{\partial w_{i_1\cdots i_r}^{\alpha }}$

en les coordenades

$(x,u,w,v_i^{\alpha },v_{i_1{i}_2}^{\alpha },\cdots ,v_{i_1\cdots i_r}^{\alpha }),$

en un element en el fes $T_{xuw}(J^r\pi )$ de TJ^r(π) sobre (x, o, w) ∈ J^r(π), cridat un vector tangente en TJ^r(π). Ací,

$v_i^{\alpha },v_{i_1{i}_2}^{\alpha },\cdots ,v_{i_1\cdots i_r}^{\alpha }$

són funcions en valors reals en J^r(π). Una secció

$\{\begin{array}{c}\Psi :J^r(\pi )\to T{J}^r(\pi )\\ (x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{array}$

és un camp vectorial en J^r(π), i es diu que $\Psi \in \Gamma (T(J^r\pi )).$

Equacions diferencials parcials

Siga (I, π, M) un fes de fibres. Una equació en derivades parcials de 'r-ésimo orde en π és una varietat tancada embebida en la subvariedad S de la varietat de jets J^r (π). Una solució és una secció local σ ∈ _W(π) que satisfà $j_p^r\sigma \in S$, per a tot p en M.

Considere's un eixemple d'una equació diferencial parcial de primer orde:

Eixemple

Siga π el fes trivial (R ² × R, pr₁, R²) en coordenades globals (x¹, x' '², o¹). Llavors l'aplicació F: J¹ (π) → R definida per

$F=u_1^1{u}_2^1-2x^2{u}^1$

dona lloc a l'equació diferencial

$S=\{j_p^1\sigma \in J^1\pi :(u_1^1{u}_2^1-2x^2{u}^1)(j_p^1\sigma )=0\}$

que es pot escriure com

$\frac{\partial \sigma }{\partial x^1}\frac{\partial \sigma }{\partial x^2}-2x^2\sigma =0.$

En particular

$\{\begin{array}{c}\sigma :{𝐑}^2\to {𝐑}^2\times 𝐑\\ \sigma (p_1,p_2)=(p^1,p^2,p^1(p^2{)}^2)\end{array}$

té una primera prolongació donada per

$j^1\sigma (p_1,p_2)=(p^1,p^2,p^1(p^2{)}^2,(p^2{)}^2,2p^1{p}^2)$

i és una solució d'esta equació diferencial, perque

$\begin{array}{cc}(u_1^1{u}_2^1-2x^2{u}^1)(j_p^1\sigma )& =u_1^1(j_p^1\sigma )u_2^1(j_p^1\sigma )-2x^2(j_p^1\sigma )u^1(j_p^1\sigma )\\ & =(p^2{)}^2\cdot 2p^1{p}^2-2\cdot p^2\cdot p^1(p^2{)}^2\\ & =2p^1(p^2{)}^3-2p^1(p^2{)}^3\\ & =0\end{array}$

i llavors $j_p^1\sigma \in S$ per a cada p ∈ 'R' ².

Prolongació d'un jet

Un difeomorfismo local ψ: J^r(π) → J^r (π) definix una transformació de contacte d'orde r si preserva el contacte ideal, lo que significa que si θ és qualsevol forma de contacte en J^r(π), llavors ψ * θ també és una forma de contacte.

El fluix generat per un camp vectorial V^r en l'espai de jets J^r (π) forma un grup d'un sol paràmetro de transformacions de contacte si i solament si la derivada de Lie ${ℒ}_{V^r}(\theta )$ de qualsevol forma de contacte θ conserva el contacte ideal.

Per al cas de primer orde, es considera un camp de vectores general V¹ en J¹ (π), donat per

$V^1\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\rho }^i(x^i,u^{\alpha },u_I^{\alpha })\frac{\partial }{\partial x^i}+{\varphi }^{\alpha }(x^i,u^{\alpha },u_I^{\alpha })\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}+{\chi }_i^{\alpha }(x^i,u^{\alpha },u_I^{\alpha })\frac{\partial }{\partial u_i^{\alpha }}.$

Ara s'aplica ${ℒ}_{V^1}$ a les formes de contacte bàsiques ${\theta }_0^{\alpha }=d{u}^{\alpha }-u_i^{\alpha }d{x}^i,$ i s'àmplia la derivada exterior de les funcions en térmens de les seues coordenades per a obtindre:

$\begin{array}{cc}{ℒ}_{V^1}({\theta }_0^{\alpha })& ={ℒ}_{V^1}(d{u}^{\alpha }-u_i^{\alpha }d{x}^i)\\ & ={ℒ}_{V^1}d{u}^{\alpha }-({ℒ}_{V^1}{u}_i^{\alpha })d{x}^i-u_i^{\alpha }({ℒ}_{V^1}d{x}^i)\\ & =d(V^1{u}^{\alpha })-V^1{u}_i^{\alpha }d{x}^i-u_i^{\alpha }d(V^1{x}^i)\\ & =d{\varphi }^{\alpha }-{\chi }_i^{\alpha }d{x}^i-u_i^{\alpha }d{\rho }^i\\ & =\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial x^i}d{x}^i+\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u^k}d{u}^k+\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u_i^k}d{u}_i^k-{\chi }_i^{\alpha }d{x}^i-u_i^{\alpha }[\frac{\partial {\rho }^i}{\partial x^m}d{x}^m+\frac{\partial {\rho }^i}{\partial u^k}d{u}^k+\frac{\partial {\rho }^i}{\partial u_m^k}d{u}_m^k]\\ & =\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial x^i}d{x}^i+\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u^k}({\theta }^k+u_i^{k}d{x}^i)+\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u_i^k}d{u}_i^k-{\chi }_i^{\alpha }d{x}^i-u_l^{\alpha }[\frac{\partial {\rho }^l}{\partial x^i}d{x}^i+\frac{\partial {\rho }^l}{\partial u^k}({\theta }^k+u_i^{k}d{x}^i)+\frac{\partial {\rho }^l}{\partial u_i^k}d{u}_i^k]\\ & =[\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial x^i}+\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u^k}{u}_i^k-u_l^{\alpha }(\frac{\partial {\rho }^l}{\partial x^i}+\frac{\partial {\rho }^l}{\partial u^k}{u}_i^k)-{\chi }_i^{\alpha }]d{x}^i+[\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u_i^k}-u_l^{\alpha }\frac{\partial {\rho }^l}{\partial u_i^k}]d{u}_i^k+(\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u^k}-u_l^{\alpha }\frac{\partial {\rho }^l}{\partial u^k}){\theta }^k\end{array}$

Per lo tant, V¹ determina una transformació de contacte si i solament si els coeficients de dxⁱ i $d{u}_i^k$ desapareixen. Els últims requisits impliquen les condicions de contacte

$\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial u_i^k}-u_l^{\alpha }\frac{\partial {\rho }^l}{\partial u_i^k}=0$

Els requisits anteriors proporcionen fòrmules explícites per als coeficients dels primers térmens derivats en V¹:

${\chi }_i^{\alpha }={\hat{D}}_i{\varphi }^{\alpha }-u_l^{\alpha }({\hat{D}}_i{\rho }^l)$

a on

${\hat{D}}_i=\frac{\partial }{\partial x^i}+u_i^k\frac{\partial }{\partial u^k}$

denota la truncació d'orde zero-ésimo de la derivada total D_i.

Per lo tant, les condicions de contacte únicament prescriuen la prolongació de qualsevol punt o camp vectorial de contacte. És dir, si ${ℒ}_{V^r}$ satisfà estes equacions, V^r es denomina r-ésima prolongació de V a un camp vectorial en J^r(π).

Estos resultats s'entenen millor quan s'apliquen a un eixemple particular:

Eixemple

Considere's el cas (I, π, M), a on I ≅ R² i M ≃ R. Llavors, (J¹(π), π, I) definix el primer fes del jet, i pot ser coordenado per (x, o, o₁), a on

$\begin{array}{cc}x(j_p^1\sigma )& =x(p)=x\\ u(j_p^1\sigma )& =u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\ u_1(j_p^1\sigma )& ={\frac{\partial \sigma }{\partial x}|}_p=\dot{\sigma }(x)\end{array}$

per a tots els p ∈ M i σ en Γ_p(π). Una forma de contacte en J¹(π) té la propietat de que

$\theta =du-u_{1}dx$

Considere's ara un vector V en I, tenint la forma

$V=x\frac{\partial }{\partial u}-u\frac{\partial }{\partial x}$

Llavors, la primera prolongació d'este camp vectorial a J¹(π) és

$\begin{array}{cc}{V}^1& =V+Z\\ & =x\frac{\partial }{\partial u}-u\frac{\partial }{\partial x}+Z\\ & =x\frac{\partial }{\partial u}-u\frac{\partial }{\partial x}+\rho (x,u,u_1)\frac{\partial }{\partial u_1}\end{array}$

Si ara es pren la derivada de Lie de la forma de contacte sobre este camp de vector prolongat, s'obté ${ℒ}_{V^1}(\theta ),$

$\begin{array}{cc}{ℒ}_{V^1}(\theta )& ={ℒ}_{V^1}(du-u_{1}dx)\\ & ={ℒ}_{V^1}du-({ℒ}_{V^1}{u}_1)dx-u_1({ℒ}_{V^1}dx)\\ & =d(V^{1}u)-V^1{u}_{1}dx-u_{1}d(V^{1}x)\\ & =dx-\rho (x,u,u_1)dx+u_{1}du\\ & =(1-\rho (x,u,u_1))dx+u_{1}du\\ & =[1-\rho (x,u,u_1)]dx+u_1(\theta +u_{1}dx)& & du=\theta +u_{1}dx\\ & =[1+u_1{u}_1-\rho (x,u,u_1)]dx+u_1\theta \end{array}$

Per lo tant, per a la preservació del contacte ideal, es requerix que

$1+u_1{u}_1-\rho (x,u,u_1)=0\iff \rho (x,u,u_1)=1+u_1{u}_1.$

I llavors la primera prolongació de V a un camp de vectores en J¹(π) és

$V^1=x\frac{\partial }{\partial u}-u\frac{\partial }{\partial x}+(1+u_1{u}_1)\frac{\partial }{\partial u_1}.$

Calculant també la segona prolongació de V a un camp vectorial en J²(π), es tenen $\{x,u,u_1,u_2\}$ com a coordenades en J²(π). Per lo tant, el vector prolongat té la forma

$V^2=x\frac{\partial }{\partial u}-u\frac{\partial }{\partial x}+\rho (x,u,u_1,u_2)\frac{\partial }{\partial u_1}+\varphi (x,u,u_1,u_2)\frac{\partial }{\partial u_2}.$

Les formes de contacte són

$\begin{array}{cc}\theta & =du-u_{1}dx\\ {\theta }_1& =d{u}_1-u_{2}dx\end{array}$

Per a preservar el contacte ideal, es requerix

$\begin{array}{c}{ℒ}_{V^2}(\theta )=0\\ {ℒ}_{V^2}({\theta }_1)=0\end{array}$

Ara, θ no té dependència de o₂. Per lo tant, a partir d'esta equació es deduïx la fòrmula per a ρ, que necessàriament serà el mateix resultat trobat per a V¹. Per lo tant, el problema és anàlec a la prolongació del camp vectorial V¹ a J² (π). És dir, es pot generar la r-ésima prolongació d'un camp vectorial per mig de l'aplicació recursiva de la derivada de Lie de les formes de contacte sobre els camps vectorials prolongats r voltes. Llavors es té que

$\rho (x,u,u_1)=1+u_1{u}_1$

i llavors

$\begin{array}{cc}{V}^2& =V^1+\varphi (x,u,u_1,u_2)\frac{\partial }{\partial u_2}\\ & =x\frac{\partial }{\partial u}-u\frac{\partial }{\partial x}+(1+u_1{u}_1)\frac{\partial }{\partial u_1}+\varphi (x,u,u_1,u_2)\frac{\partial }{\partial u_2}\end{array}$

Per lo tant, la derivada de Lie de la segona forma de contacte sobre V² és

$\begin{array}{cc}{ℒ}_{V^2}({\theta }_1)& ={ℒ}_{V^2}(d{u}_1-u_{2}dx)\\ & ={ℒ}_{V^2}d{u}_1-({ℒ}_{V^2}{u}_2)dx-u_2({ℒ}_{V^2}dx)\\ & =d(V^2{u}_1)-V^2{u}_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\ & =d(1+u_1{u}_1)-\varphi (x,u,u_1,u_2)dx+u_{2}du\\ & =2u_{1}d{u}_1-\varphi (x,u,u_1,u_2)dx+u_{2}du\\ & =2u_{1}d{u}_1-\varphi (x,u,u_1,u_2)dx+u_2(\theta +u_{1}dx)& du& =\theta +u_{1}dx\\ & =2u_1({\theta }_1+u_{2}dx)-\varphi (x,u,u_1,u_2)dx+u_2(\theta +u_{1}dx)& d{u}_1& ={\theta }_1+u_{2}dx\\ & =[3u_1{u}_2-\varphi (x,u,u_1,u_2)]dx+u_2\theta +2u_1{\theta }_1\end{array}$

Per lo tant, per a que ${ℒ}_{V^2}({\theta }_1)$ preserve el contacte ideal, és necessari que

$3u_1{u}_2-\varphi (x,u,u_1,u_2)=0\iff \varphi (x,u,u_1,u_2)=3u_1{u}_2.$

I llavors, la segona prolongació de V a un camp de vectores en J²(π) és

$V^2=x\frac{\partial }{\partial u}-u\frac{\partial }{\partial x}+(1+u_1{u}_1)\frac{\partial }{\partial u_1}+3u_1{u}_2\frac{\partial }{\partial u_2}.$

Cal tindre en conte que la primera prolongació de V es pot recuperar en ometre els térmens de la segona derivada en V², o en proyectar de nou a J¹ (π).

Vore també

• Grup de jets
• Jet (matemàtiques)
• Sistema lagrangiano
• Bicomplejo variacional

Bibliografia

• Ehresmann, C., "Introducció a la teoria de les estructures infinitésimales et dones pseudo-groupes de Lie". Geometrie Differentielle , Colloq. Enterrar. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Estrasburc, 1953, 97-127.
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operacions naturals en geometria diferencial. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993 .ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• Saunders, D. J., "La geometria dels paquets de Jet", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], "Simetria i lleis de conservació per a equacions diferencials de física matemàtica", Amer. Mates. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
• Olver, P. J., "Equivalència, invariantes i simetria", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., "Teoria alvançada del camp clàssic", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7
• Sardanashvily, G., Geometria diferencial alvançada per a teòrics. Paquets de fibres, colectors de chorrada i teoria de Lagrange ", Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv: 0908.1886