Connectiva lògica

Plantilla:Conectivas llògiques

En llògica, una conectiva llògica, o també conectiva (també cridat operador llògic o conectors llògics) és un símbol o paraula que s'utilisa per a conectar dos fòrmules ben formades o sentències (atòmiques o moleculars), de modo que el valor de veres de la fòrmula composta depén del valor de veres de les fòrmules components.

Els conectivos llògics més comuns són els conectivos binarios (també cridats conectivos diàdics) que unixen dos frases, que poden ser considerades els operants de la funció. També és comú considerar a la negació com un conectivo monádico.

Les conectivas llògiques són, junt en els quantificadorés, les principals constants llògiques de molts sistemes llògics, principalment la llògica proposicional i la llògica de predicats.

En programació s'utilisen per a combinar valors de veres i obtindre nous valors que determinen el fluix de control d'un algoritme o programa.

Llenguages

Llenguage natural

En la gramàtica dels llenguages naturals, dos frases poden unir-se per mig d'una conjunció gramatical per a formar una oració gramaticalment composta. Algunes d'estes conjuncions gramaticals, pero no totes, són funcions de veres. Per eixemple, considere les següents frases:

A: Juan va pujar la montanya.

B: Eduardo va pujar la montanya.

C: Juan va pujar la montanya i Eduardo va pujar la montanya.

D: Juan va pujar la montanya, per lo tant Eduardo va pujar la montanya.

Les expressions «i» i «per lo tant» són conjuncions gramaticals que unixen les oracions (A) i (B) per a formar les oracions compostes (C) i (D). La i de (C) és un conector llògic, ya que dona el valor de veres de (C) que està completament determinat pel valor de (A) i (B), té sentit per a l'estat (A) i (B) en el resultat (C). De la mateixa manera, per lo tant en (D) és conector llògic, ya que para (A) i (B) en el resultat (D).

Llenguages formals

En els llenguages formals, les funcions de veres són representades per símbols inequívocs. Estos símbols es diuen "conectivos llògics", "operadors llògics", "operadors proposicionals", o, en la llògica clàssica, la "de funcions conectivos de veres." Vore fòrmules ben formades per a saber les regles que permeten les noves fòrmules ben formades siguen construïdes en juntar atres fòrmules ben formades utilisant conectivos de funcions de veres.

Els conectivos llògics poden ser utilisats per a conectar més de dos afirmacions, llavors és comuna parlar de "conector llògic n-ari".

Conectiva	Notació	Eixemple d'us	Anàlec natural	Eixemple d'us en el llenguage natural	Taula de veres
Negació	$e g, s i m,$	$e g p,$	no	No està plovent.	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{array}{c\|\|c} p & eg p hline 1 & 0 0 & 1 end{array}}
Conjunció	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle land,And, 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{array}}
Disjunció oposta	$d o w n a r r o w,$	$p d o w n a r r o w q,$	ni... ni	Ni està plovent ni el carrer està mullat.	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{array}{c\|c\|\|c} p & q & p downarrow q hline 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{array}}
Disjunció excloent	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle leftrightarrow, oplus, otequiv, W , underline{�ee} }	$p l e f t r i g h t a r r o w q,$	o be... o be	O be està plovent, o be el carrer està mullat.	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{array}{c\|c\|\|c} p & q & p leftrightarrow q hline 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 end{array}}

Llista de conectivos llògics comuns

Nomene / Símbol		Valor de veres					Diagrama desmall
Nomene / Símbol		$p$ =	0		1		Diagrama desmall
Veritat/Tautologia	⊤		1		1
Fals/Contradicció	⊥		0		0
Proposició $p$			0		1
Negació	¬		1		0
Conectivos binarios		$q$ =	0	1	0	1
Conjunció	∧		0	0	0	1
Conjunció Oposta	↑		1	1	1	0
Disjunció	∨		0	1	1	1
Disjunció Oposta	↓		1	0	0	0
Condicional material	→		1	1	0	1
O exclusiu	$o t l e f t r i g h t a r r o w$		0	1	1	0
Bicondicional	↔		1	0	0	1
Implicació Oposta	←		1	0	1	1
Proposició $p$			0	0	1	1
Proposició $q$			0	1	0	1
Més informació

Llista de conectivos llògics comuns

Conectivos llògics comunament usats:

Negació (no): ¬,
Conjunció llògica (i): ∧, i, ∙
Disjunció llògica (o): ∨

En el cas de la disjunció 'o', té dos significats diferents: "Inclusivo" i "Exclusiu".

Inclusivo: En este cas, per a que la proposició siga certa, té que ser verdader un o tots els elements de la premissa.

Exclusiu: El 'o' exclusiu o Xor. En una premissa, p o q és verdader, pero no abdós poden ser-ho.

Condicional material (Si... llavors): →, ⇒, ⊃
Bicondicional (si i solament si): ↔, ≡, =

Noms alternatius per a bicondicional són "sii", "xnor" i "bi-implicació."

Per eixemple, el significat dels estats està plovent i estic en l'interior es transforma quan els dos es combinen en conectivos llògics:

Està plovent (p)
Està plovent i estic dins de casa (p ∧ q)
Està plovent o estic dins de casa (p ∨ q)
Si està plovent, llavors estic en casa. (p → q)
Si estic en casa, llavors està plovent. (p ← q)
Estic dins si i solament si està plovent (p ↔ q)
No està plovent (¬ p)

Per declaració p = Està plovent; q = Estic dins de casa.

També és comú considerar la fòrmula sempre verdadera i la fòrmula sempre falsa com conectivos

Veritatero (⊤, 1 o V)
Fals (⊥, 0 o F)

Recíproca, contrarrecíproca i inversa

La contrarrecíproca ¬q→¬p d'una implicació p→q té la mateixa taula de veres que p→q.

La contrarrecíproca és falsa solament quan ¬p és falsa i ¬q és verdadera, açò és, solament quan p és verdadera i q és falsa. Per una atra part, ni la recíproca, q→p , ni l'inversa, ¬p→¬q, tenen els mateixos valors de veres que p→q per a tots els possibles valors de p i q. Quan dos fòrmules tenen sempre els mateixos valors de veres, les cridem equivalents, de tal forma que una implicació i la seua contrarrecíproca són equivalents.La recíproca i l'inversa d'una implicació també són equivalents.

q→p és la recíproca de p→q

¬q→¬p és la contrarrecíproca de p→q
¬p→¬q és l'inversa de p→q

Eixemple: Recíproca, contrarrecíproca i inversa de "Sí ve Juan, no aniré d'acampament". Recíproca: Si no vaig d'acampament, llavors ve Juan.

Contrarrecíproca: Si vaig d'acampament, llavors no ve Juan.

Inversa: Si no ve Juan, llavors aniré d'acampament.

Coimplicación

Ací podem trobar l'implicació o condicionalidad mútua. Si p i q són proposicions, llavors podem formar la proposició bicondicional p ↔ q , llegida «p si i solament si q ».Si p i q són els enunciats «Estic en casa» i «Està plovent», llavors p ↔ q denota «Estic en casa si i solament si està plovent».

Algunes formes alternatives en que s'expressa «p si i solament si q» en espanyol:

p és necessari i suficient per a

q * si p llavors q , i recíprocamente

p si i solament si q

Història de les notacions

Negació: el símbol ¬ va aparéixer en Heyting en 1929.^[1]^[2] (comparar en en símbol de Frege en Begriffsschrift); el símbol va aparéixer en Russell en 1908;^[3] una notació alternativa és afegir una llínea horisontal damunt de la fòrmula, com en $o v e r l i n e P$ ; una atra notació alternativa és utilisar una comilla simple com en P'.
Conjunció: el símbol ∧ va aparéixer en Heyting en 1929^[1] (comparar l'us de la notació de Peano de notació d'intersecció ∩ en teoria de conjunts)^[4]); & va aparéixer a lo manco en Schönfinkel en 1924;^[5] ∙ va vindre l'interpretació de Boole de la llògica com un àlgebra elemental.
Disjunció: el símbol ∨ va aparéixer en Russell en 1908 (comparar l'us de Peano de la notació d'unió ∪ en teoria de conjunts); també s'utilisa el símbol +, a pesar de l'ambigüitat sorgida de l'àlgebra elemental ordinària en ser el + considerat un o exclusiu llògicament interpretat com una aliança de dos elements; puntualment en l'història, un + junt en un punt en el cantó inferior dreta va ser usat per Peirce,^[6]
Implicació: el símbol → es pot vore en Hilbert en 1917;^[7] ⊃ va ser utilisat per Russell en 1908^[3] (comparar en la notació de la C invertida de Peano); $R i g h t a r r o w$ es va utilisar en Vax.^[8]

Bicondicional: el símbol va ser utilisat ≡ a lo manco per Russell en 1908;^[3] es va utilisar ↔ a lo manco per Tarski in 1940;^[9] ⇔ va ser utilisat en Vax; atres símbols varen aparéixer puntualment en l'història com ⊃ ⊂ en Gentzen,^[10] en Schönfinkel^[5] o ⊂ ⊃ en Chazal.^[11]
Verdader: el símbol 1 vi de l'interpretació de Boole de la llògica com un àlgebra elemental de booleana com la álbegra dos elements; atres anotacions incloent Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �igwedge} varen ser trobats en Peano.
Fals: el símbol 0 també prové de l'interpretació de Boole de la llògica com un anell [?]; atres anotacions inclusivament Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �igvee} varen ser trobades en Peano.

Alguns autors utilisen lletres per a conectivos en algun moment de l'història: o. per a conjunció (de l'alemà "und", significa "i") i el. per a la disjunció (de l'alemà "oder", significa "o") en els primers treballs de Hilbert (1904); N per a la negació, K per a la conjunció, A para la disjunció, C per a bicondicional en Łukasiewicz (1929).^[12]

Redundància

El conectivo llògic de l'implicació recíproca ← és en realitat el mateix que el condicional material en les premisses canviades, després el símbol d'implicació és recripoca és redundante. En alguns càlculs llògics (en particular, en la llògica clàssica, certes afirmacions compostes essencialment diferents són llògicament equivalents. Un eixemple menys trivial és una redundància de l'equivalència clàssica entre ¬ P ∨ Q i P → Q. Per lo tant, un sistema llògic de base clàssica no necessita de l'operador condicional "→" si "¬" (no) i "∨" (o) operador condicional que ya s'utilisen, o es pot utilisar el "→" solament en un sucre sintàctic per a una composició que té una negació i una disjunció.

Hi ha 16 funcions booleanas que associen els valores veritat d'entrada de P i Q en eixides binarias 4 dígits. Estos corresponen a les possibles opcions conectivos llògics binarios per a la llògica clàssica. Una implementació diferent de la llògica clàssica pot elegir diferents subconjunts de funcionalment complets de conectivos.

Un método consistix en elegir un mínim establit i fixat per qualsevol atra manera llògiques com en l'eixemple en el condicional material anteriorment. Els següents són conjunts mínims funcionalment complets de conectivos dels operadors en la llògica clàssica, que el seu aridades no excedixquen 2:

Un element: {↑}, {↓}.
Dos elements: {Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ee} , ¬}, { $w e d g e$ , ¬}, {→, ¬}, {←, ¬}, {→, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot} }, {←, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot} }, {→, $o t l e f t r i g h t a r r o w$ }, {←, $o t l e f t r i g h t a r r o w$ }, {→, $o t o$ }, {→, $o t l e f t a r r o w$ }, {←, $o t o$ }, {←, $o t l e f t a r r o w$ }, { $o t o$ , ¬}, { $o t l e f t a r r o w$ , ¬}, { $o t o$ , $o p$ }, { $o t l e f t a r r o w$ , $o p$ }, { $o t o$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ }, { $o t l e f t a r r o w$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ }.
Tres elements: { $l o r$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ , Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot} }, { $l o r$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ , $o t l e f t r i g h t a r r o w$ }, { $l o r$ , $o t l e f t r i g h t a r r o w$ , $o p$ }, { $l a n d$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ , Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot} }, { $l a n d$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ , $o t l e f t r i g h t a r r o w$ }, { $l a n d$ , $o t l e f t r i g h t a r r o w$ , $o p$ }.

Veja més detalls sobre integritat funcional.

Un atre enfocament és utilisar en igualtat de drets, d'un cert conjunt convenient i funcionalment complet, pero no mínim. Este enfocament requerix més #axioma proposicionals i cada equivalència entre les formes llògiques deu ser o be un axioma o comprovada com una teorema.

Pero la llògica intuicionista té una situació més complicada. Dels seus cinc conectivos {∧, ∨, →, ¬, ⊥} solament la negació ¬ té que ser reduïda a atres conectivos (¬p ≡ (p → ⊥)). Ni la conjunció, disjunció i condicional material té una forma equivalent construïda dels atres quatre conectivos llògics.

Propietats

Alguns conectivos llògics tenen propietats que es poden expressar en teoremes que contenen el conectivo. Algunes d'estes propietats que una conectiva llògica pot tindre són:

Asociatividad: En una expressió que conté dos o més del mateix conectivo associatiu en una llínea, l'orde de les operacions, no importa, sempre i quan la seqüència dels operants no canvia.
Conmutatividad: Els operants del conectivo poden ser intercanviats (un per l'atre), mentres que la preservació d'equivalència llògica de l'expressió original.
Distributividad: Un conectivo denotat per • distribuïx sobre una atra que conecta denotat pel signe +, • si a • (b + c) = (a • b) + (a • c) para tots els operants a, b, c.
Idempotencia: Quan els operants d'una operació són iguals, el compost és llògicament equivalent a l'operant.
Absorció: Un parell de conectivos $l a n d$ , $l o r$ satisfà la llei d'absorció si $a l a n d (a l o r b) = a$ per a tots els operants a, b.
Monotonicidad: Si f(a₁,..., a_n) ≤ f(b₁,..., b_n) para tot a₁,..., a_n, b₁,..., b_n ∈ {0,1} tal que a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂,..., a_n ≤ b_n. Ej., Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ee} , $w e d g e$ , $o p$ , Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot} .
Afinitat: Cada variable sempre fa una diferència en el valor de veres de l'operació o mai fa una diferència. Ej., $e g$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ , $o t l e f t r i g h t a r r o w$ , $o p$ , Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot} .
Dualitat: Per a llegir les #assignació de valors de veres per a l'operació des de dalt cap a avall en la seua taula de veres és lo mateix que prendre el complement de llectura de la taula de la mateixa o una atra conectiva des d'avall cap a dalt. Sense recórrer a taules de veres açò es pot formular com $g̃ (\neg a 1, ..., \neg a n) = \neg g (a 1, ..., a n)$ . I.j., $e g$ .
Preservació de la veritat: El compost tots els arguments són #tautologia és una tautologia en sí. I.j., Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ee} , $w e d g e$ , $o p$ , $i g h t a r r o w$ , $l e f t r i g h t a r r o w$ , ⊂. (vore validea)
Falsetat de preservació: El compost de tots els arguments són contradiccions és una contradicció en sí. Per eixemple, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ee} , $w e d g e$ , $o t l e f t r i g h t a r r o w$ , Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot} , ⊄, ⊅. (vore validea)
Involutividad (per a conectivos unarios): $f (f (a)) = a$ . Per eixemple negació en la llògica clàssica.

En la llògica clàssica, tant la conjunció i la disjunció són associatives, conmutativas i idempotents, en la majoria de les varietats de llògica multi-valuada i la llògica intuicionista. Lo mateix és cert sobre distributiva de la conjunció i la disjunció sobre més de conjunció, aixina com per a la llei d'absorció.

En llògica clàssica i algunes varietats de llògica multi-valuada, la conjunció i la disjunció són duals, i la negació és auto-dual, en la llògica intuicionista, esta última també és auto-dual.

Ciències de la computació

El plantejament funcional a la veritat als operadors llògics s'implementa com portes llògiques en circuits digitals. Pràcticament tots els circuits digitals (la principal excepció és DRAM) es construïx a partir de NAND, NOR, NOT i portes de transmissió; vore més detalls en funció de veres en informàtica. Els operadors llògics més de vectores de bits (corresponents a finita àlgebra de boole) són operacions bit a bit.

Pero no tot us d'un conector llògic en programació informàtica té una semàntica de Boole. Per eixemple, a voltes s'implementa evaluació pereosa para $P \land Q$ i $P \lor Q$ , de modo que estos conectors no són conmutativo si algunes de les expressions $P$ , $Q$ té efecte secundari. També, un condicional, que en cert sentit correspon al conectivo condicional material, és essencialment no-booleano perque para si (P) llavors Q; la consegüent Q no s'eixecuta si l'antecedent P és fals (encara que un compost com un tot és exitosa ≈ "verdadera" en tal cas). Açò s'acosta més a les òptiques intuicionistas i constructivista sobre el condicional material, més que a les de la llògica clàssica.

Conectivas pel número d'arguments

Si veem les distintes conectivas pel seu número d'arguments podem distinguir:

Sense arguments

AP Les conectivas llògiques sense arguments són:

Operació nularia
Positiva		Negativa
$o p$	Tautologia	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ot}	Contradicció

En un argument

AP Les conectivas en solament un argument són:

Operació unaria
Positiva		Negativa
$a,$	Afirmació llògica	$e g a$	Negació llògica

En dos arguments

AP Les conectivas que necessiten dos arguments són:

Operació binaria
Positiva		Negativa
$a l o r b$	Disjunció llògica	$a d o w n a r r o w b$	Disjunció oposta
$a l a n d b$	Conjunció llògica	$a u p a r r o w b$	Conjunció oposta
$a o b$	Implicació llògica	$a o t i g h t a r r o w b$	Adjunción llògica
$a l e f t a r r o w b$	Implicació oposta	$a o t l e f t a r r o w b$	Adjunción oposta
$a l e f t r i g h t a r r o w b$	Bicondicional	$a o t l e f t r i g h t a r r o w b$	Disjunció exclusiva

Resum

Plantilla:Conectivas llògiques 12 ImageMap

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Heyting (1929) Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik.
↑ Denis Roegel (2002), Petit panorama dones notations logiques du 20i siècle (vejau chart en pàgina 2).
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Russell (1908) Mathematical logic as based on the theory of types (American Journal of Mathematics 30, p222–262, també en From Frege to Gödel edited by van Heijenoort).
↑ Peano (1889) Arithmetices principia, nova methodo exposita.
↑ ^5,0 ^5,1 Schönfinkel (1924) Über die Bausteine der mathematischen Logik, translated as On the building blocks of mathematical logic in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort.
↑ Peirce (1867) On an improvement in Boole's calculus of logic.
↑ Hilbert (1917/1918) Prinzipien der Mathematik (Bernays' course notes).
↑ Vax (1982) Lexique logique, Presses Universitaires de France.
↑ Tarski (1940) Introduction to logic and to the methodology of deductive sciences.
↑ Gentzen (1934) Untersuchungen über dones logische Schließen.
↑ Chazal (1996): Éléments de logique formelle.
↑ Vore Roegel

Enllaços externs

Plantilla:Springer
Lloyd Humberstone (2011). The Connectives, MIT Press. ISBN 978-0-262-01654-4.
(1959) A Précis of Mathematical Logic, Dordrecht, South Holland.
(2001) A Mathematical Introduction to Logic, 2dona edició, Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-238452-3.
Gamut, L.T.F (1991). University of Chicago Press (ed.). Logic, Language and Meaning, pp. 54-64. OCLC 21372380.

Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Este artícul conté una traducció total derivada de «Logical connective » de Wikipedia en inglés, concretament de esta versió, publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conectiva lógica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[autogenerated1929-1] 1,0 ^1,1 Heyting (1929) Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik.

[2] Denis Roegel (2002), Petit panorama dones notations logiques du 20i siècle (vejau chart en pàgina 2).

[autogenerated222-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Russell (1908) Mathematical logic as based on the theory of types (American Journal of Mathematics 30, p222–262, també en From Frege to Gödel edited by van Heijenoort).

[4] Peano (1889) Arithmetices principia, nova methodo exposita.

[autogenerated1924-5] 5,0 ^5,1 Schönfinkel (1924) Über die Bausteine der mathematischen Logik, translated as On the building blocks of mathematical logic in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort.

[6] Peirce (1867) On an improvement in Boole's calculus of logic.

[7] Hilbert (1917/1918) Prinzipien der Mathematik (Bernays' course notes).

[8] Vax (1982) Lexique logique, Presses Universitaires de France.

[9] Tarski (1940) Introduction to logic and to the methodology of deductive sciences.

[10] Gentzen (1934) Untersuchungen über dones logische Schließen.

[11] Chazal (1996): Éléments de logique formelle.

[12] Vore Roegel

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]