Ona mecànica

Les ones mecàniques són destorbament de les propietats mecàniques, densitat i pressió, que generen oscilacions locals dels àtoms d'un mig material, propagant-se a atres àtoms del mig. La propietat més important de les ones, en general, incloses les de naturalea mecànica, és que, en propagar-se, transporten informació i energia. L'energia transportada per les ones pot aplegar a ser catastròfica com succeïx en les ones sísmiques o en l'onage en una tormenta marina.

Totes les ones mecàniques requerixen de:

1. El mig material deformable o mig continu, com un decorregut o un sòlit, en el que es propague el destorbament.
2. La font capaç de generar els destorbament en el mig.
3. La forma de propagar-se: En generar-se el destorbament en la font, les partícules del mig (àtoms o molècules) pròximes a ella comencen a oscilar i transmeten, a la seua volta, l'oscilació a les partícules veïnes. Este procés es va repetint i constituïx el fonament de la propagació de l'ona.
4. El receptor a on aplega l'informació i l'energia que transporta l'ona.

Eixemples d'ones mecàniques són les ones sísmiques o les ones superficials en decorreguts i sòlits. Un cas destacat d'ona mecànica és el sò. En les ones sonores, els requisits anteriors corresponen a: 1) l'aire a través del com viaja normalment el sò, 2) la veu o l' instrument (en el cas de la música, instrument musical) generadors del sò i 4) l'oït que rep i interpreta el sò. Les ones són funció del temps i també funció de l'espai ya que s'estan propagant al seu través. Per tant es poden descriure com una doble oscilació en l'espai i en el temps; i d'ahí la doble periodicitat, espacial i temporal, de les ones periòdiques. La funció matemàtica més bàsica que reproduïx esta doble periodicitat ve donada per les ones harmòniques. Les ones, en general, admeten vàries classificacions entre les que es pot destacar en ones electromagnètiques i ones mecàniques. Les primeres es poden propagar pel buit i són les responsables, per eixemple, de la transmissió de l'energia del sol a la terra, de la ràdio o de la televisió, pero no van a ser considerades ací. Les segones, en canvi, requerixen d'un mig material per a propagar-se. Lo mateix que per a analisar el moviment d'un cos que oscila és necessària l'aplicació de les Lleis de Newton, en especial la segona llei de Newton, per a analisar les ones i la seua propagació, és necessari conéixer, entendre i manejar l'equació d'ones. En ella figura la seua marca d'identitat, la velocitat de propagació de l'ona. Les solucions de l'equació d'ones no són solament les ones viageres sino també les ones estacionarias. Les ones estacionarias juguen un paper important en les aplicacions de la física, ingenieria, medicina o inclús en la vida real; a partir d'elles es formen els modos normals de vibració característics de les cordes, decorreguts i sòlits. Els modos normals, propis de sistemes de tamany llimitat, tenen importància en molt diversos entorns, com poden ser els instruments musicals de corda o de vent o be en aplicacions, que van des dels fonaments del làser, passant per fenomens de resonància, fins a algunes aplicacions en matemàtiques a la teoria de grups de tan important aplicació en l'espectroscopía vibracional i Raman.

Dins de les ones mecàniques les que més repercussió tenen en la vida real, i en les aplicacions de la ciència i ingenieria, són les ones sonores, el sò. El sò ademés de constituir la forma bàsica de la comunicació i de la música, presenta moltes atres aplicacions científiques i tècniques, per eixemple en la sanitat ( ecografies ), en l'indústria per a l'inspecció d'equips mecànics (ultrasons) o en aplicacions de microscopía i interferometría acústiques.

Introducció

Archiu:Espejo (3207185886).jpg

Ones circulares generades en la superfície de l'aigua en colpejar-la en els dits (font de les ones)

El moviment ondulatorio és un fenomen d'especial interés que comprén ademés, orígens molt diferents. Des de les ones electromagnètiques , passant per les ones gravitacionals, fins a les ones mecàniques , en especial, les ones sonores, són eixemples molt importants. Algunes ones poden ser observades en la vida ordinària i cobren, per això, major atractiu. La generació de vibracions en els mijos materials (mijos de propagació de les ones) ya siguen decorreguts o sòlits, són de forma general, les responsables de les ones sonores, açò és, de les ones materials que percep l'oït. Ones sonores són, puix, les que es generen en vibrar una corda tensa o en bufar per un tubo les que poden circular a través d'un decorregut en crear compressió i expansions en el mateix, o be, les que provenen d'un sòlit en ser colpejat per una força externa. Les ones que viagen per la superfície de l'aigua també es propaguen en un mig material. Tant la superfície del aigua, la corda, el tubo, el decorregut o el sòlit, juguen el paper de mijos capaços de transmetre o mantindre ones de naturalea material, és dir, les ones mecàniques. Esta observació permet reflexionar sobre el fenomen físic ondulatorio, extraure les idees comunes als diferents casos i introduir alguns fets bàsics necessaris per a entendre, descriure i poder implementar les ones i les funcions matemàtiques que les representen.

L'experiència indica que una pedra llançada a la superfície del aigua en repòs provoca l'aparició d'ones. Les ones en la superfície de l'aigua es desplacen en una velocitat llenta i, per tant, fàcil d'apreciar. No obstant lo que viaja en l'ona no són les molècules d'aigua sino l'estat del destorbament, transportant energia . Les molècules de l'aigua oscilen entorn a les seues posicions d'equilibri, no obstant, no es traslladen ni s'allunten de les seues posicions inicials. Una volta ha passat l'ona, i cessada el destorbament, la superfície torna a la seua posició horisontal i les molècules a les seues posicions d'equilibri.

En mantindre una corda tensa i aplicar en un extrem una chicoteta i brusca sacsada, s'observa cóm esta comença ràpidament a vibrar en tota la seua extensió. Açò succeïx degut a que l'elasticitat de la corda tensa, en estirar-la lleument i soltar-la, provoca una oscilació en l'extrem, generant-se aixina una ona que es propaga al seu través, transmetent també les oscilacions al mig que li rodeja. Finalment pot aplegar als nostres sentits en propagar-se en l'aire. Per un atre costat, es pot observar que quant més tensa estiga la corda més ràpit es desplaça l'efecte. Despuix del pas del destorbament i cessada l'excitació, la corda torna a adoptar la seua posició recta inicial. En la seua caracterisació serà molt important la noció de velocitat de propagació. Per a descriure una ona i implementar una funció matemàtica senzilla que la represente, resulta útil l'idea del pulse a lo llarc d'una corda, perque ajuda a comprendre lo que és una ona i cóm es propaga.

Les ones, en general, es poden desplaçar a lo llarc de llargues distàncies, pels elements del mig. ya siga la superfície de l'aigua, una corda tensa o la massa d'un decorregut o d'un sòlit, solament efectuen un moviment llimitat de balanceig o oscilació; cada element del mig travessat per l'ona oscila entorn a les seues posicions d'equilibri (quan el mig estava sense pertorbar). Per tant, encara que una ona no propaga matèria, el patró d'ona, és dir el destorbament inicial produït en el mig pot viajar a lo llarc de la matèria. Com s'ha mencionat, un aspecte important de les ones, en canvi, és que transporten energia d'un lloc a un atre; l'energia que inicialment ha generat la força exterior aplicada al mig i que ha produït el destorbament. Per eixemple, l'energia que s'impartix a una ona superficial en l'aigua, es realisa per mig del colp, en la superfície de l'aigua, produït per una pedra o pel vent que bufa mar adins. Tant la noció i el fenomen d'ona com la seua implementació matemàtica són més complexos que el concepte i descripció d'una oscilació en els sistemes mecànics. Les oscilacions més bàsiques són les del moviment harmònic simple (MAS) o més realiste, l'harmònic amortiguado (per la fricció) que tenen lloc en numerosos sistemes físics més o menys llimitats. En les oscilacions, la variable independent de les funcions que les representen, és solament una, el temps. Aixina, les posicions espacials que descriuen l'oscilació són funció únicament del temps. No obstant, ara, en el fenomen ondulatorio, la funció que ho descriu posseïx una nova variable independent esta volta espacial, la posició, ya que una ona en propagar-se, pot entendre's com una doble oscilació en l'espai i en el temps. Este fet junt a la condició de periodicitat de les ones, du associat la necessitat de que en les funcions ondulatorias figuren paràmetros característics de naturalea temporal com són el periodo i la freqüència (inversa del periodo) i uns atres de naturalea espacial com són la llongitut d'ona o el número (proporcional a l'invers de la llongitut d'ona).

Archiu:Organistrumsantigo20060618.jpeg

Ones sonores en cordes tenses d'instruments musicals. Reproducció del organistrum del Pòrtic de la Glòria, Santiago de Compostela (Espanya)

Si la font vibra de forma sinusoidal, descrivint un moviment harmònic simple (MAS), llavors l'ona generada presentarà una forma matemàtica sinusoidal tant en l'espai com en el temps. Per a analisar com es propaga una ona en variar la posició i el temps és convenient realisar-ho observant per separat el comportament de les dos variables. En l'espai: si es pren una fotografia de l'ona que es propaga a lo llarc d'un eix que pot ser considerat com a eix $x$, en un instant donat, l'ona seguirà la llei d'un sen o coseno com a funció de la posició $x$. En el temps: si s'observa el moviment d'un chicotet element del mig en una posició determinada durant un llarc periodo de temps el moviment de balanceig d'eixe chicotet element d'aigua o de corda correspondrà a un moviment harmònic simple en la variable temps $t$. Lo mateixa succeirà si s'observen tots i cada u dels menuts elements del mig en les diferents posicions, afectats per la propagació de l'ona. En treballar en funcions harmòniques per a representar les ones resulta senzill introduir algunes magnituts bàsiques com són la llongitut d'ona $\lambda$ i el periodo $T$, velocitat de propagació $v$ i atres magnituts associades.

Es pot observar un atre eixemple d'interés quan es té una massa sòlida i es colpeja en un martell; l'efecte es propaga per tota ella per les seues propietats elàstiques. A conseqüència del colp s'ha produït un desplaçament local forçat dels àtoms del material que es manifesta a la veta d'un cert temps, diferent per als diferents punts del sòlit. L'efecte produït en els diferents punts consistix en menuts desplaçaments atòmics entorn a la posició que tenien en repòs (o equilibri) i es propaga en una certa velocitat. Quan se'ls colpeja en força, els materials poden deformar-se i no recuperar la seua condició inicial, inclús trencar-se. No obstant, per al procés de generar ones en mijos materials, es requerixen chicotetes forces exteriors que ho mantenen dins del llímit elàstic del material, sense aplegar a trencar-se ni a deformar-se. En tractar-se de chicotetes forces i menuts desplaçaments és possible considerar aproximacions llineals i obtindre, en conseqüència, una equació d'ones llineal. Les ones en els diferents mijos, com a cuerdo, decorreguts i sòlits, es creen i es propaguen de forma similar i són conseqüència de les seues propietats elàstiques. Estes propietats es manifesten per mig de magnituts físiques com són la tensió en cordes, el mòdul de compresibilidad en decorreguts o el mòdul de Young en sòlits. Casi qualsevol objecte en vibració és capaç de produir ones. L'expressió més senzilla d'una ona és, com s'ha comentat, una sinusoidal, és dir, a la generada per una font que descriu un moviment harmònic simple. Les ones sinusoidals ya siguen viageres o estacionarias, són les solucions més bàsiques de l'equació d'ones. En raó, puix, de l'anàlisis dels fenomens reals bàsics i de la simplicitat matemàtica, s'utilisen les ones sinusoidals (les ones harmòniques més bàsiques). Conegudes i compreses estes, resulta més senzill ampliar l'estudi a atres ones més complexes. Un atre mig material privilegiat per a la propagació de les ones mecàniques, és l'interior d'un decorregut. Per a estos propòsits, i en la finalitat d'incloure la font de les ones, s'utilisa el model d'un tubo cilíndric farcidura d'un decorregut i llimitat solament per una base plana a on es pot moure un émbolo per a generar ones viageres (ones progressives o regresivas), sense una atra llimitació. Si pel contrari s'inclou la segona base plana del cilindre per a confinar el decorregut, es generaran ones estacionarias i modos normals provinents de la superposició d'una ona generada pel émbolo en una atra generada per reflexió en la segona base plana del cilindre.

Per a comprendre el fenomen ondulatorio, és necessari distinguir entre ones viageres i ones estacionarias. Les primeres es propaguen en un mig que es considera en regions àmplies (per eixemple, propagació a lo llarc d'un eix de coordenades) per a que eixa propagació proseguixca. Les segones són el resultat de la superposició d'una ona incident i una atra reflectida en un llímit o frontera del mig material en el que es propaguen i per això solen associar-se a sistemes de dimensions llimitades com poden ser els tubos de decorregut confinats o els instruments musicals de corda, de percussió i de vent. Les ones estacionarias obedixen també a l'equació general d'ones. No obstant la seua expressió analítica presenta una formulació matemàtica peculiar a on les variables temporal i espacial estan separades (variables separades).

Archiu:Tubo de Kundt.gif

Generació d'ones sonores en tubos de decorregut (aire). Tubo de Kundt. En blau l'ona de desplaçament, en taronja l'ona de pressió.

Des del punt de vista geomètric, de la simetria de la font i del mig, també és possible classificar les ones. Dos tipos bàsics d'ones són les ones planes i les ones esfèriques. Les primeres presenten un tractament matemàtic més simple (en una dimensió) si be incorporen ya les formulació i paràmetros físics i matemàtics característics de les ones. Estes ones es caracterisen per viajar en una determinada direcció (per eixemple, a lo llarc de l'eix $x$) i per això se simplifica el seu estudi enormement.

La font que origina un pols d'ona en una corda tensa és, per eixemple, una sacsada produïda en un extrem. Les propietats elàstiques són les que contribuïxen a desplaçar el pols, per les forces de cohesió existents entre les seccions adjacents de la corda. Sobre l'energia que transmet el pols procedix del treball realisat per la força que l'individu realisa en la sacsada. En una peça sòlida pot generar-se l'ona per mig d'un colp de martell. L'energia suministrada per la força aplicada, provoca vibracions en el sòlit en propagar-se l'ona, transmetent d'esta forma, als àtoms del sòlit, l'energia obtinguda en el colp inicial.

Un atre aspecte a destacar quan es consideren les ones en una dimensió, és el seu interés en les situacions pràctiques del món que nos rodeja. Eixemple d'això és la corda tensa, que resulta molt interessant per a la deducció de l'equació d'ones o per a analisar cóm es propaga l'energia pel moviment ondulatorio. Molt important també és donar a conéixer les magnituts de mida de l'energia que transporten les ones com l'intensitat del moviment ondulatorio o el concepte de l'energia per unitat de volum o densitat d'energia en la regió a on té lloc el fenomen ondulatorio.

Un aplicació molt important de les ones materials és el sò, caracterisat per les ones de desplaçament de les partícules del mig, les ones de densitat i les ones de pressió. Els tres tipos d'ona i la variació de les magnituts físiques corresponents, estan relacionades; sent les ones de pressió les més rellevants. Per a l'estudi i comprensió de les ones sonores són aplicables els coneiximents comentats en paràgrafs anteriors sobre les ones mecàniques. També són aplicables al sò les mides de l'energia que transporta l'ona, adaptant les escales de mida, en este cas, al sistema receptor humà, l'oït.

Ones viageres. Ones periòdiques

Descripció matemàtica

Una ona viagera és una destorbament que es propaga per un mig en una determinada velocitat $v$. El pas d'una ona a través d'un mig genera unes alteracions en eixe mig que cessen despuix del pas de l'ona. La funció matemàtica que va a representar l'ona expressa eixes variacions sobre el mig sense pertorbar, depenent de la posició de les partícules del mig en el que es propaga i del temps. Ademés, la velocitat de propagació de l'ona $v$ va a dependre de les propietats del mig i, en el cas de les ones materials, d'alguna propietat elàstica, per eixemple, de la tensió en una corda tensa en oscilar, del mòdul d'elasticitat d'un sòlit o del mòdul de compresibilidad d'un decorregut al pas de l'ona, com es vorà en la secció 4. En els estudis i eixemples relatius a les ones presentats ací $v$ és constant perque els mijos materials que es presenten, són llineals homogéneus i isótropo.

Per a abordar l'estudi de les ones viageres , es deu analisar en primer lloc la relació que existix entre les variables espacials i el temps en alvançar l'ona. Cal considerar que l'ona en desplaçar-se pel mig, com és el cas d'un pols, no canvia de forma si es compara en un instant inicial i en instants posteriors. Alguna cosa anàlec succeïx en qualsevol ona viagera, per eixemple, en les ones harmòniques que en alvançar en el mig es torna a trobar la mateixa forma de l'ona per a atres posicions en instants posteriors al considerat. Per a ilustrar-ho, es poden construir dos sistemes de referència un que viage en l'ona, sistema mòvil, que es denominarà $O^{\prime }$ i un atre sistema fix $O$ a on es troba el experimentador que realisa l'observació. Per senzillea per a facilitar la descripció de l'ona viagera, es prendrà un dels eixos de referència dels dos sistemes coincidint en la direcció de propagació de l'ona, i que es considera, l'eix $X$. La forma del destorbament del mig ve expressada per mig d'una funció $f$.

Es consideren, per tant, els dos sistemes de referència $O(X,Y)$ i $O^{\prime }(X^{\prime },Y^{\prime })$ en els eixos $Y$ i $Y^{\prime }$ paralels i els eixos $X$ i $X^{\prime }$ es troben sobre una mateixa recta, la que es va a fer coincidir en la direcció de propagació de l'ona. Inicialment per a $t=0$ els dos sistemes de referència coincidixen. A la veta d'un temps $t$ el sistema de referència $O^{\prime }$ es troba desplaçat respecte a $O$ en una distància $A$ cap a la dreta en $A>0$, de modo que es definix la translació per mig de la següent transformació de coordenades

$x^{\prime }=x-A$

$y^{\prime }=y$

La forma del destorbament en $t=0$ vindrà descrita per $y(x,0)=f(x)$. En mantindre la forma, característica de l'ona viagera, en un instant posterior $t$, l'ona vindrà descrita sobre el sistema $O^{\prime }$ per una curva $y^{\prime }(x,t)=f(x^{\prime })$ representativa de la forma en que s'està alterant el mig o siga el destorbament sofrit pel mig al pas de l'ona. Si ara, en l'instant t s'elegix un punt arbitrari $P$ situat sobre la curva, les seues coordenades en el sistema mòvil $O^{\prime }$ seran $x^{\prime }$ i $y^{\prime }$ i les seues coordenades en el sistema fix $O$ seran $x$ i $y$. I la funció anterior expressada en el sistema $O$ serà $y(x,t)=f(x-A)$ , de manera que,

$y^{\prime }(x^{\prime },t)=f(x^{\prime })=y(x,t)=f(x-A)$.

Si en estos dos sistemes de referència fix i mòvil, es representa el moviment de l'ona viagera, lo que succeïx és que el sistema $O^{\prime }$ s'està movent respecte a el $O$ en una velocitat $v$ constant (la velocitat de propagació de l'ona) i, si s'escomença a contar el temps quan els orígens $O$ i $O^{\prime }$ coincidixen, llavors es pot expressar un desplaçament $A$ del sistema $O^{\prime }$ al sistema $O$ com $A=vt$. Per lo tant, les equacions de translació i la funció $f$ a la veta d'un temps $t$ , són les següents,

$x^{\prime }=x-A=x-vt$

$y^{\prime }=y$,

$y^{\prime }(x^{\prime },t)=y(x,t)=f(x-vt)$ .

El destorbament $f$ que es desplaça en una velocitat $v$ respecte al sistema de referència $O$ i, ademés manté la forma en el seu desplaçament espacial i temporal representa la noció bàsica d'una ona viagera.

Es pot considerar idèntic raonament, si el destorbament alvança en una velocitat $v$ esta volta cap a l'esquerra (existixen dos possibilitats de desplaçament per a un moviment en una direcció), es tindrà pel mateix raonament en una translació $A>0$ de manera que en propagar-se l'ona en una velocitat $v$, en un instant $t$, el paràmetro $A$ prenga un valor $A=vt$ pero ara les equacions de la translació de coordenades són

$x^{\prime }=x+A=x+vt$

$y^{\prime }=y$,

de modo que la funció que representa a l'ona en un instant $t$ tindrà l'expressió $y^{\prime }(x^{\prime },t)=f(x^{\prime })=y(x,t)=f(x+A)=f(x+vt)$.

Archiu:Traslacion 3.gif

Ones Viageres. En negre l'ona en l'instant $t$=0. En color vert l'ona es propaga cap a la dreta, ona progressiva, i manté la seua forma en instants t posteriors. En color roig l'ona es propaga cap a l'esquerra, ona regresiva, i manté la seua forma en instants $t$ posteriors.

S'ha comprovat, per tant, que si l'ona viagera es propaga en una dimensió, pot alvançar tant cap a la dreta com cap a l'esquerra i les variables $(x,t)$ estaran relacionades en la forma $x-vt$ (per a la seua propagació cap a la dreta) o $x+vt$ (per a la seua propagació cap a l'esquerra). Una expressió tan bàsica per a representar matemàticament l'ona viagera reunix les propietats determinants per a poder representar el citat moviment en una dimensió: $y(x,t)=f(x\pm vt)$ és la forma de l'ona o estat de destorbament del mig pel que es propaga l'ona, $v$ és la velocitat de propagació, $x$ representa la direcció de propagació i, el signe de $\pm vt$ indica el sentit de propagació de l'ona.,

Per un atre costat, s'observa com l'ona depén de dos variables independents la posició $x$ i el temps $t$. Sobre la variable depenent i, representativa de l'estat de destorbament deu reflectir una atra propietat bàsica de les ones. El seu caràcter travesser o llongitudinal en propagar-se. Si el destorbament varia en una direcció perpendicular a la direcció d'alvanç de l'ona, en el paràgraf anterior l'eix $X$, és lo que es coneix com a ona travessera. Un cas important d'ona travessera és la que es propaga a lo llarc d'una corda tensa despuix d'una chicoteta sacsada en un extrem. En tal case la funció $y(x,t)$ representativa de l'estat de destorbament en la posició $x$ i temps $t$, és perpendicular a la variable $x$ representativa de la direcció de propagació. En la segona forma d'oscilar, el destorbament varia en la mateixa direcció d'alvanç de l'ona, és la denominada ona llongitudinal. L'ona sonora és un cas important d'ona llongitudinal a on, en alvançar l'ona (per eixemple en la direcció de l'eix $X$), les molècules del mig (un decorregut o be, un sòlit) oscilen al voltant dels seus posicions d'equilibri (a lo llarc de l'eix $X$) generant, en la regió de propagació, zones de compressió (de major densitat) alternant en zones d'expansió (de menor densitat). Este destorbament en forma d'ona llongitudinal, es manifesta com la variació de tres magnituts físiques que entren en el joc en pertorbar-se el mig:

1) un desplaçament de les molècules respecte de la seua posició d'equilibri en la direcció d'alvanç de l'ona (ona llongitudinal) $s(x,t)$, és l'ona de desplaçament,

2) una variació de pressió respecte de la pressió del mig sense pertorbar $p(x,t)$, és l'ona de pressió i finalment

3) una variació de densitat $\Delta \rho (x,t)$ respecte a la densitat del mig sense pertorbar, és l'ona de densitat.

Observe's que tant en les ones travesseres com en les llongitudinals propagant-se per un mig a una velocitat $v$ constant, existix un moviment local de les partícules del mig subjecte a unes lleis dinàmiques que responen a les forces que actuen en els mijos elàstics.

Ones periòdiques

Les ones viageres de major interés són les ones periòdiques. Presenten una doble periodicitat. Per un costat, la periodicitat temporal en la que fixada una posició $x=x_A$, a la veta d'un cert temps el valor de la funció torna a ser el mateix $f(x_A,t_1)=f(x_A,t_2)=f(x_A,t_3)=\mathrm{...}=f(x_A,t_n)$ . Si els temps $t_1,t_2,t_3,\mathrm{...},t_{n-1},t_n$ són consecutius, llavors la diferència $t_2-t_1=t_3-t_2=t_4-t_3=\mathrm{...}=t_n-t_{n-1}=T$. Eixe valor comú $T$, és el periodo o el menor temps en el que la funció torna a prendre el mateix valor.

Com la funció d'ona depén també de la posició, l'ona periòdica té ademés una periodicitat espacial, cridada llongitut d'ona $\lambda$. Fixat un temps $t=t_B$ es definix $\lambda$ com la menor distància en la que la funció torna a prendre el mateix valor. Aixina: $f(x_1,t_B)=f(x_2,t_B)=f(x_3,t_B)=\mathrm{...}=f(x_n,t_B)$ o siga $x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3=\mathrm{...}=x_n-x_{n-1}=\lambda$.

L'ona periòdica bàsica és l'ona sinusoidal, en forma sen o coseno:

$y(x,t)=Asen[k(x\pm vt)]$

l'argument del qual deu estar necessàriament radianes. En conseqüència la constant multiplicativa $k$ introduïda en l'argument de la funció i per a complir en tal condició, té les dimensions de radianes/m i el producte $kv$ les de radianes/s. La forma habitual de presentar la funció sinusoidal és

$y(x,t)=Asen(kx\pm \omega t)$.

En esta expressió comuna de les ones sinusoidals, $k$ és un paràmetro característic relacionat en la periodicitat espacial com $k=2\pi /\lambda$ denominat número i $\omega$ és un paràmetro característic temporal cridat freqüència angular o pulsació, relacionat en la periodicitat espacial en la forma $\omega =2\pi /T$.

• Representació d'una ona sinusoidal d'amplitut 4 cm i número k=0.25π rad/m per a un temps fix tB en funció de la posició. La llongitut d'ona λ apareix descrita gràficament.
  Representació d'una ona sinusoidal d'amplitut 4 cm i número $k=0.25\pi rad/m$ per a un temps fix t_B en funció de la posició. La llongitut d'ona $\lambda$ apareix descrita gràficament.
• Representació d'una ona sinusoidal d'amplitut 4 cm i pulsació ω=0.25π rad/s per a una posició fixa xA en funció del temps. El periodo T apareix descrit gràficament.
  Representació d'una ona sinusoidal d'amplitut 4 cm i pulsació $\omega =0.25\pi rad/s$ per a una posició fixa x_A en funció del temps. El periodo $T$ apareix descrit gràficament.

Quan un mig material és travessat per ones periòdiques, les partícules del mig oscilen descrivint una combinació de moviments harmònics simples. Les ones sinusoidals són bàsiques ya que qualsevol ona periòdica pot escriure's com una combinació d'ones sinusoidals segons es demostra en el Teorema de Fourier.,

Ones periòdiques transversal

Archiu:Onda Transversal en una cuerda.gif

Generació d'un pols travesser que es propaga per la corda

Quan l'ona es propaga produint una oscilació periòdica de les partícules del mig, perpendicular a la direcció de propagació, es denomina ona periòdica transversal. Un cas molt ilustrativo d'este tipo d'ones és l'ona sinusoidal produïda en una corda que té en el seu extrem un resort, situat en l'eix perpendicular a la mateixa. El resort es fa oscilar seguint un moviment harmònic simple (MAS), d'una determinada amplitut ($A$), pulsació $\omega$ , periodo $T$ i freqüència $f$ . En la corda s'observa una successió de crestes i valls, descrivint un patró que es va repetint en forma de sinusoide o ona harmònica. El MAS generador de l'ona li ha proporcionat a esta les seues característiques temporals $\omega$ , $T$ i $f$.

Per un atre costat, la corda, que és el mig de propagació de l'ona, completa la descripció suministrant dos paràmetros espacials $\lambda$ i $k$. El primer, cridat llongitut d'ona correspon a la llongitut d'un patró complet, en un instant de temps; per eixemple, la distància entre dos crestes o dos valls consecutives. Cada patró de l'ona viaja a una velocitat $v$ de propagació recorrent una distància igual a la llongitut d'ona en el temps d'un periodo $T$ , per lo que la velocitat de l'ona ve donada per la següent relació: $v=\lambda /T$ i també $v=\lambda \cdot f$ o $v=\omega /k$.

Ones periòdiques llongitudinals

Archiu:Caps block 17 caps block 18 caps block 19 .gif

Generació d'ones periòdiques en el sí d'un decorregut dispost en l'interior d'un tubo molt llarc per l'extrem dret. Un émbolo situat en l'extrem esquerre provoca expansions i compressió en el decorregut que es propaguen en forma d'una ona periòdica.

L'ona es denomina llongitudinal quan l'oscilació de les partícules del mig es realisa en la mateixa direcció que la de propagació de l'ona. La forma de propagar-se una ona llongitudinal en un mig material s'efectua per mig de la compressió i expansió periòdiques del mig elàstic. Per a comprendre-ho es pot considerar l'eixemple d'un tubo tancat en un decorregut en el seu interior i un émbolo que comprimix o expandix alternativament el decorregut seguint un MAS. El tubo està colocat horisontalment (a on està situat l'eix x) i la superfície del émbolo, que genera les oscilacions d'esquerra a dreta, colocat verticalment.

Quan el émbolo comprimix el decorregut en contacte en ell, aumenta la pressió en eixa zona, i, a la seua volta, eixa regió espenta a l'immediata propagant-se aixina l'ona pel tubo, transmetent aixina el destorbament d'esquerra (des del lloc a on està el émbolo) a dreta a lo llarc del decorregut. Cada partícula del decorregut oscila en la direcció de propagació de l'ona en les mateixes característiques que el MAS del émbolo. Si s'atén a la periodicitat de l'ona, com depén de la variable espacial, $x$, i del temps, en el cas d'ones periòdiques, de la mateixa manera que en les ones travesseres, es parlarà d'una periodicitat temporal caracterisada pel periodo $T$ i una periodicitat espacial caracterisada per la llongitut d'ona $\lambda$. En considerar les ones llongitudinals que es propaguen en un tubo de decorregut, la forma de determinar experimentalment la llongitut d'ona consistirà ara en, fixat un temps t, medir la distància entre dos màxims ( o mínims ) consecutius de l'ona de pressió en el tubo de decorregut.

Ones harmòniques

Com ya es va comentar en introduir les ones periòdiques, l'eixemple més bàsic d'ona periòdica és l'ona harmònica. La funció harmònica que representa a l'ona viagera, en una dimensió, descrivint el moviment cap a la dreta a lo llarc de l'eix x, pot vindre donada per una expressió de forma coseno:

$y(x,t)=Acos[k(x-vt)]$,

Archiu:CambioFrec.gif

En esta animació es mostra cóm en anar aumentant la freqüència $f$ , el periodo $T$ va disminuint. L'amplitut s'ha mantingut constant i igual a 1 mm.

també de la forma sen o be, afegint a l'argument de qualsevol de les dos funcions trigonométricas, sen o coseno, una fase arbitrària constant $\varphi$. La formulació matemàtica és la mateixa per a les ones travesseres i per a les ones llongitudinals, posant especial atenció en l'argument espacial de l'ona i en la pròpia variable depenent que definix a l'ona; abdós variables escalares deuen complir en la relació llongitudinal o travessera de que es tracte. Per a distinguir-les cal tindre clar el sentit físic de l'ona que s'està tractant en cada cas. En les primeres, les partícules de la corda realisen moviments harmònics normals a la direcció de propagació i en les segones les partícules del decorregut realisen moviments harmònics en la mateixa direcció de propagació.

Per últim, resulta d'interés introduir el paràmetro $k$ cridat número que està relacionat en la llongitut d'ona en relació inversa, a través de l'expressió: $k=2\pi /\lambda$. En tres dimensions, el vector d'ona, és l'extensió natural de l'número $k$. No obstant, com a vector, el vector d'ona, du ademés l'informació de la direcció i el sentit de la velocitat de propagació de l'ona.

Archiu:OndaPeriodoT.gif

Alvance de l'ona en un temps igual al periodo T. L'espai recorregut per l'ona en un periodo és la seua llongitut d'ona $\lambda =vT$, sent v la velocitat de propagació.

En funció dels paràmetros $k$ i $\omega$, una formulació molt utilisada per a expressar l'ona és:

$y(x,t)=Acos(kx-\omega t)$

(les unitats de la pulsació $\omega$ són rad/s i les de l'número $k$ són rad/m). Abdós magnituts estan relacionades en la velocitat de propagació de l'ona com $v=\omega /k$ .

Una ona harmònica està originada per un MAS en la font. La direcció de propagació és l'eix $x$. Cada punt del mig adquirix descriu llavors també un MAS. de la mateixa freqüència i amplitut que el MAS original. Si és una ona travessera, l'oscilació de les partícules del mig és perpendicular a l'eix $x$. És el cas d'una ona en una corda. En canvi si és una ona llongitudinal, la direcció d'oscilació és la mateixa que la direcció d'alvanç (eix $x$) .

L'expressió obtinguda correspon a les ones que es desplacen en el sentit $+x$. Si l'ona es desplaçara en el sentit $-x$ s'obtindria:

$y(x,t)=Acos(kx+\omega t)$.

Per tant l'expressió general per a una ona harmònica que es propaga a lo llarc de l'eix $x$ és:

$y(x,t)=Acos(kx\pm \omega t+\varphi )$,

s'inclou ademés un àngul genèric de fase $\varphi$ per a major generalitat.

Degut a que la funció representativa d'una ona depén de dos variables independents $x$ i $t$, es poden obtindre dos representacions gràfiques distintes: o be en funció del temps fixant un valor de la posició $x$, o be en funció de la posició fixant un valor temporal $t$, com s'aprecia en la figura.

Per a observar la periodicitat temporal ($y$ vs $t$): es fixa un valor $x_A$ per a la posició i es descriu com oscila en el temps la partícula situada en $x_A$, $y(x_A,t)=Acos(k{x}_A\pm \omega t)$.

Per a mostrar la periodicitat espacial ($y$ vs $x$): es fixa un valor $t_B$ per al temps i es descriu la forma de l'ona en eixe instant determinat $t_B$, $y(x,t_B)=Acos(kx\pm \omega t_B)$.