Material ortótropo

Archiu:Taxus wood.jpg

La fusta és un eixemple d'un material ortótropo: les seues propietats en tres direccions perpendiculars (axial, radial i circunferencial) són diferents.

Un material ortótropo o ortótropico és una material que la seua microestructura local té dos o tres eixos ortogonals entre sí, de doble simetria rotacional, de manera que les seues propietats físiques són, en general, diferents en les direccions de cada u d'eixos eixos. Per esta raó, els materials ortótropos són anisótropos, ya que les seues propietats físiques dependran de la direcció en que siguen mides. En canvi, un material isótropo exhibirà les mateixes propietats físiques en qualsevol direcció.

Els materials transversalmente isótropo i els materials en simetria tegragonal són subtipos de material ortótropo, que requerixen només cinc constants independentes. Un material ortótropo té com a grups de simetria material algun que continga a un els grups de Schoenflies $C_{2 v}$ o $D_{2}$ , estos dos grups són subgrups de $D_{2 h}$ que és el grup de simetria més gran possible per a un material ortotrópico que no siga transversalmente isótropo o completament isótropo.

Ortotropía general en física

Relacions constitutives per a materials anisótropicos

El comportament dels materials es presenta en teories físiques com relacions constitutives. Una gran cantitat de comportaments físics es poden representar en models llineals de materials que prenen la forma d'un tensor de segon orde. El tensor material relaciona dos vectores i pot ser escrit com:

a on $𝐝, 𝐟$ són dos vectores que representen magnituts físiques i $𝑲$ és el tensor material de segon orde. Si s'expressa l'equació anterior en térmens de components respecte d'un sistema de coordenades ortogonalés resulta:

En la relació anterior s'ha assumit la sumatoria sobre índexs repetits (notació d'Einstein). En forma matricial s'obté:

Eixemples de problemes físics que encaixen en esta descripció estan llistats en la llista a continuació:^[1]

Problema	$𝐟$	$𝐝$	$𝑲$
Conducció elèctrica	Corrent elèctrica $𝐉$	Camp elèctric $𝐄$	Conductivitat elèctrica $𝝈$
Dielèctrics	Densitat de fluix elèctric $𝐃$	Camp elèctric $𝐄$	Permitividad $𝜺$
Magnetisme	Inducció magnètica $𝐁$	Excitació magnètica $𝐇$	Permeabilidad magnètica $𝝁$
Conducció de calor	Fluix de calor $𝐪$	Gradient tèrmic $- \nabla T$	Conductivitat tèrmica $𝜿$
Difusió	Fluix de partícules $𝐉$	Gradient de concentració $- \nabla c$	Coeficient de difusió $𝑫$
Mecànica de sòlits	tensió mecànica $𝝈$	Deformació $𝜺$	Relació Constitutiva $𝑲$
Fluix en mijos porosos	Velocitat ponderada $η_{μ} 𝐯$	Gradient baromètric $\nabla P$	Permeabilidad $𝜿$

Condició per a simetria del material

La matriu del material $\underline{\underline{𝑲}}$ té simetria respecte d'una transformació ortogonal ( $𝑨$ ) si no canvia quan li la somet a una transformació d'eixe tipo. Per a la invarianza de les propietats del material quan se li aplica una transformació de tals característiques es requerix que:

Per lo tant, la condició de simetria del material és (usant la definició d'una transformació ortogonal)

Les transformacions ortogonals es poden representar en coordenades cartesianes per mig d'una matriu $\underline{\underline{𝑨}}$ de $3 \times 3$ donada per

Per lo tant, la condició de simetria es pot escriure en forma matricial com

Propietats materials del ortótropo

Un material ortótropico té tres plans de simetria ortogonal. Si prenem un sistema coordinat ortonormal de manera que els eixos coincidixquen en les normals pels tres plans de simetria, les matrius de transformació són:

\underline{\underline{𝑨_{1}}} = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]; \underline{\underline{𝑨_{2}}} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]; \underline{\underline{𝑨_{3}}} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]

Es pot vore que si la matriu $\underline{\underline{𝑲}}$ per a un material és invariable davant la reflexió de dos plans ortogonals, llavors és també invariable davant la reflexió sobre un tercer pla ortogonal.

Tenint en conte la reflexió $\underline{\underline{𝑨_{3}}}$ sobre el pla $1 - 2$ Llavors tenim:

\underline{\underline{𝑲}} = \underline{\underline{𝑨_{3}^{T}}} \underline{\underline{𝑲}} \underline{\underline{𝑨_{3}}} = [\begin{matrix} K_{11} & K_{12} & - K_{13} \\ K_{21} & K_{22} & - K_{23} \\ - K_{31} & - K_{32} & K_{33} \end{matrix}]

La relació citada anteriorment implica que $K_{13} = K_{23} = K_{31} = K_{32} = 0$ . Tingam ara en conte una reflexió $\underline{\underline{𝑨_{2}}}$ sobre el pla $1 - 3$ Llavors tenim:

\underline{\underline{𝑲}} = \underline{\underline{𝑨_{2}^{T}}} \underline{\underline{𝑲}} \underline{\underline{𝑨_{2}}} = [\begin{matrix} K_{11} & - K_{12} & 0 \\ - K_{21} & K_{22} & 0 \\ 0 & 0 & K_{33} \end{matrix}]

Açò implica que $K_{12} = K_{21} = 0$ . Per lo tant, les propietats materials d'un material ortótropico estan descrites per la matriu:

$\underline{\underline{𝑲}} = [\begin{matrix} K_{11} & 0 & 0 \\ 0 & K_{22} & 0 \\ 0 & 0 & K_{33} \end{matrix}]$

Ortotropía en l'elasticitat llineal

Eixemples en elasticitat

Un material elàstic ortótropo (llineal i homogéneu) requerix en general especificar 9 constants elàstiques, mentres que un material transversalmente isótropo només requerix 5 i un material purament isótropo únicament requerix 2. En el cas orottrópico no llineal, l'equació constitutiva és una funció arbitrària de 9 invariantes alegraicos (similarment, en els casos transversalmente isótropo i completament isótropo s'usaria una funció de cinc invariante.|

Un eixemple comú d'un material ortótropico artificial en dos eixos de simetria és un polímero reforçat per fibres de vidre o carbono paraleles. La resistència i rigidea d'un material compost d'estes característiques generalment seran majors en la direcció paralela a les fibres respecte de la direcció travessera. Un atre eixemple és una membrana biològica, en la qual les propietats en el pla de la membrana són diferents a aquelles en la direcció perpendicular. Estos materials són anomenats a voltes transversalmente isótropicos. Un eixemple familiar d'un material ortótropico en tres eixos mútuament perpendiculars és la fusta, en la que les propietats (tals com a resistència i rigidea) a lo llarc de les seues fibres i en cada una de dos direccions perpendiculars són diferents. l'equació de Hankinson proveïx una forma de quantificar la diferència en resistència entre les diferents direccions. Un atre eixemple és un metal que ha segut laminado per a produir una làmina. En ell, les propietats en la direcció de laminado i en cada una de les dos direccions travesseres seran diferents per l'estructura anisotrópica que es produïx durant el laminado.

És important recordar que un material que és anisotrópico en una escala de mida pot ser isotrópico en una atra, en general, major. Per eixemple, la majoria dels metals són policristalinos en grans molt menuts. Cada u dels grans individuals pot ser anisotrópico, pero el material com globalment està format per grans d'orientació a l'encert, per lo que les seues propietats mecàniques mides seran un promig de les propietats en totes les possibles orientacions dels grans individuals.

Elasticitat anisótropica

En l'elasticitat llineal, la relació entre tensió i deformació depenen del tipo de material en consideració. Esta relació és coneguda com Llei de Hooke. Per a materials anisótropicos llineals, la Llei de Hooke pot ser escrita com:^[2]

𝝈 = 𝖼 : 𝜺

En a on $𝝈$ és el tensor de la tensió, $𝜺$ és el tensor de l'esforç, i $𝖼$ és el tensor de força elàstic. Si els tensors de les expressions anteriorment citades estan descrits en térmens de components sobre un sistema ortonormal coordinat podem escriure:

σ_{i j} = c_{i j k ℓ} ε_{k ℓ}

En a on la suma s'ha assumit sobre índexs repetits (conveni de la suma d'Einstein). Des de que la tensió i l'esforç són simètrics, i des de que la relació de tensió-esforce en elasticitat llineal pot ser derivada des d'una funció d'esforç de densitat energètica, Les següents simetria es mantenen per materials elàstics llineals.

c_{i j k ℓ} = c_{j i k ℓ}, c_{i j k ℓ} = c_{i j ℓ k}, c_{i j k ℓ} = c_{k ℓ i j} .

Per les simetria citades anteriorment, la relació de tensió-esforce en elasticitat llineal pot ser expressada en forma matriu com:

[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\ c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\ c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\ c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\ c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\ c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ 2 ε_{23} \\ 2 ε_{31} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}]

Una representació alternativa en Notació Voigt és:

[\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{3} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{3} \\ ε_{4} \\ ε_{5} \\ ε_{6} \end{matrix}]

o també

\underline{\underline{𝝈}} = \underline{\underline{𝖢}} \underline{\underline{𝜺}}

La matriu de força $\underline{\underline{𝖢}}$ en la relació anterior satisfà el punt de simetria.^[3]

Condició per a materials simètrics

La matriu de força $\underline{\underline{𝖢}}$ satisfà una simetria de condició donada si no es canvia quan està somesa a la transformació ortogonal corresponent. La transformació ortogonal podria representar simetria sobre un punt, un eix, o un pla. Les transformacions ortogonals en elasticitat llineal inclouen rotacions i reflexions, pero no canvis de transformació en la forma i poden ser representades en coordinades ortonormals, donades per la matriu $3 \times 3$ $\underline{\underline{𝐀}}$ donada per:

\underline{\underline{𝐀}} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}] .

En Notació Voigt, la transformació de la matriu per al tensor de força pot ser expressada com una matriu: $6 \times 6$ donada per $\underline{\underline{𝖠_{σ}}}$ ^[3]

\underline{\underline{𝖠_{σ}}} = [\begin{matrix} A_{11}^{2} & A_{12}^{2} & A_{13}^{2} & 2 A_{12} A_{13} & 2 A_{11} A_{13} & 2 A_{11} A_{12} \\ A_{21}^{2} & A_{22}^{2} & A_{23}^{2} & 2 A_{22} A_{23} & 2 A_{21} A_{23} & 2 A_{21} A_{22} \\ A_{31}^{2} & A_{32}^{2} & A_{33}^{2} & 2 A_{32} A_{33} & 2 A_{31} A_{33} & 2 A_{31} A_{32} \\ A_{21} A_{31} & A_{22} A_{32} & A_{23} A_{33} & A_{22} A_{33} + A_{23} A_{32} & A_{21} A_{33} + A_{23} A_{31} & A_{21} A_{32} + A_{22} A_{31} \\ A_{11} A_{31} & A_{12} A_{32} & A_{13} A_{33} & A_{12} A_{33} + A_{13} A_{32} & A_{11} A_{33} + A_{13} A_{31} & A_{11} A_{32} + A_{12} A_{31} \\ A_{11} A_{21} & A_{12} A_{22} & A_{13} A_{23} & A_{12} A_{23} + A_{13} A_{22} & A_{11} A_{23} + A_{13} A_{21} & A_{11} A_{22} + A_{12} A_{21} \end{matrix}]

La transformació per al tensor d'esforç té una llaugera forma diferent per l'elecció de notació. Esta transformació de matriu és:

\underline{\underline{𝖠_{ε}}} = [\begin{matrix} A_{11}^{2} & A_{12}^{2} & A_{13}^{2} & A_{12} A_{13} & A_{11} A_{13} & A_{11} A_{12} \\ A_{21}^{2} & A_{22}^{2} & A_{23}^{2} & A_{22} A_{23} & A_{21} A_{23} & A_{21} A_{22} \\ A_{31}^{2} & A_{32}^{2} & A_{33}^{2} & A_{32} A_{33} & A_{31} A_{33} & A_{31} A_{32} \\ 2 A_{21} A_{31} & 2 A_{22} A_{32} & 2 A_{23} A_{33} & A_{22} A_{33} + A_{23} A_{32} & A_{21} A_{33} + A_{23} A_{31} & A_{21} A_{32} + A_{22} A_{31} \\ 2 A_{11} A_{31} & 2 A_{12} A_{32} & 2 A_{13} A_{33} & A_{12} A_{33} + A_{13} A_{32} & A_{11} A_{33} + A_{13} A_{31} & A_{11} A_{32} + A_{12} A_{31} \\ 2 A_{11} A_{21} & 2 A_{12} A_{22} & 2 A_{13} A_{23} & A_{12} A_{23} + A_{13} A_{22} & A_{11} A_{23} + A_{13} A_{21} & A_{11} A_{22} + A_{12} A_{21} \end{matrix}]

Es pot mostrar que: ${\underline{\underline{𝖠_{ε}}}}^{T} = {\underline{\underline{𝖠_{σ}}}}^{- 1}$ .

Les propietats elàstiques d'un continu són invariables davant una transformació $\underline{\underline{𝐀}}$ si i només si:^[3]

$\underline{\underline{𝖢}} = {\underline{\underline{𝖠_{ε}}}}^{T} \underline{\underline{𝖢}} \underline{\underline{𝖠_{ε}}}$

Matrius de rigidea i flexibilitat per a materials ortótropicos

Per a un material elàstic ortótropico existixen tres plans de simetria ortogonals entre sí. Per eixa raó, pot triar-se una base ortonormal, de tal manera que cada u dels vectores que formen dita base siga el vector normal a un dels plans de simetria, les matrius de transformació serien:

Es pot demostrar que si la matriu $\underline{\underline{𝖢}}$ per a un material elàstic és invariante front a una reflexió respecte de dos plans ortogonals, llavors també és invariante front a una reflexió respecte del tercer pla ortogonal. Si consideraramos una atra reflexió $\underline{\underline{𝐀_{3}}}$ respecte del pla $1 - 2$ llavors tindríem:

La necessitat de que $\underline{\underline{𝖢}} = {\underline{\underline{𝖠_{ε}}}}^{T} \underline{\underline{𝖢}} \underline{\underline{𝖠_{ε}}}$ implica que:^[3]

Açò es pot complir únicament si:

C_{14} = C_{15} = C_{24} = C_{25} = C_{34} = C_{35} = C_{46} = C_{56} = 0 .

Considerem ara la reflexió $\underline{\underline{𝐀_{2}}}$ respecte del pla $1 - 3$ . En este cas:

Usant de nou la condició de invarianza, s'obté un requeriment adicional:

C_{16} = C_{26} = C_{36} = C_{45} = 0

No es pot obtindre informació adicional perque la reflexió respecte del tercer pla de simetria no és independent de les reflexions respecte dels pla que ya hem considerat. Per lo tant, la matriu de rigidea o tensor de constants elàstiques d'un material elàstic ortótropo llineal pot ser escrita com:

L'inversa d'esta matriu de rigidea, denominada matriu de flexibilitat o matriu de docilidad, generalment s'escriu com:^[4]

a on $E_{i}$ és el mòdul de Young a lo llarc de l'eix $i$ , $G_{i j}$ és el mòdul de tall en la direcció $j$ en el pla que la seua normal està en la direcció $i$ , i $ν_{i j}$ és el coeficient de Poisson que correspon a una contracció en la direcció $j$ quan s'aplica una elongació en la direcció $i$ .

Usant les constants que apareixen en eixa última matriu, la matriu de rigidea o matriu de constants elàstiques $\underline{\underline{𝖢}}$ es pot escriure explícitament com:

Ademés la magnitut $Δ$ ve donada per la relació:

Δ : = 1 - ν_{12} ν_{21} - ν_{13} ν_{31} - ν_{23} ν_{32} - ν_{13} ν_{32} ν_{21} - ν_{31} ν_{12} ν_{23}

Cotes per als mòduls elàstics en materials ortótropos

La relació deformació-tensió per a un material llineal isótropo es pot escriure usant la notació de Voigt com:

a on la matriu de flexibilitat $\underline{\underline{𝖲}}$ ve donada per:

La matriu de complianza és una matriu simètrica i deu ser definida positiva per a que la funció de densitat d'energia de deformació siga positiva. Açò implica a partir del criteri de Sylvester que tots els menors principals de la matriu són positius,^[5] és dir:: $Δ_{k} : = \det (\underline{\underline{𝖲_{k}}}) > 0$ a on $\underline{\underline{𝖲_{k}}}$ és la submatriz principal de $k \times k$ de $\underline{\underline{𝖲}}$ .

Llavors: $\begin{matrix} Δ_{1} > 0 & ⟹ S_{11} > 0 \\ Δ_{2} > 0 & ⟹ S_{11} S_{22} - S_{12}^{2} > 0 \\ Δ_{3} > 0 & ⟹ (S_{11} S_{22} - S_{12}^{2}) S_{33} - S_{11} S_{23}^{2} + 2 S_{12} S_{23} S_{13} - S_{22} S_{13}^{2} > 0 \\ Δ_{4} > 0 & ⟹ S_{44} Δ_{3} > 0 ⟹ S_{44} > 0 \\ Δ_{5} > 0 & ⟹ S_{44} S_{55} Δ_{3} > 0 ⟹ S_{55} > 0 \\ Δ_{6} > 0 & ⟹ S_{44} S_{55} S_{66} Δ_{3} > 0 ⟹ S_{66} > 0 \end{matrix}$ Es pot demostrar que este conjunt de condicions implica que:^[6] $S_{11} > 0, S_{22} > 0, S_{33} > 0, S_{44} > 0, S_{55} > 0, S_{66} > 0$ o: $E_{1} > 0, E_{2} > 0, E_{3} > 0, G_{12} > 0, G_{23} > 0, G_{13} > 0$ No obstant, no es poden establir cotes inferiors similars per als valors dels coeficients de Poisson $ν_{i j}$ .^[5]

Referències

↑ Milton, G. W., 2002, The Theory of Composites, Cambridge University Press.
↑ Lekhnitskii, S. G., 1963, Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body, Holden-Day Inc.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 Slawinski, M. A., 2010, Waves and Rays in Elastic Contínua: 2nd Ed., World Scientific. https://web.archive.org/web/20110718145226/http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/wavesandrays.pdf
↑ Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M., 1993, Advanced Mechanics of Materials, Wiley.
↑ ^5,0 ^5,1 Ting, T. C. T. and Chen, T., 2005, Poisson's ràtio for anisotropic elastic materials ca have no bounds,, Q. J. Mech. Appl. Math., 58(1), pp. 73-82.
↑ Ting, T. C. T., 1996, Positive definiteness of anisotropic elastic constants,, Mathematics and Mechanics of Solids, 1, pp. 301-314.

Este artícul conté una traducció derivada de «Material ortótropo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Milton-1] Milton, G. W., 2002, The Theory of Composites, Cambridge University Press.

[Lekh-2] Lekhnitskii, S. G., 1963, Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body, Holden-Day Inc.

[Slawinski-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 Slawinski, M. A., 2010, Waves and Rays in Elastic Contínua: 2nd Ed., World Scientific. https://web.archive.org/web/20110718145226/http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/wavesandrays.pdf

[Boresi-4] Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M., 1993, Advanced Mechanics of Materials, Wiley.

[Ting-5] 5,0 ^5,1 Ting, T. C. T. and Chen, T., 2005, Poisson's ràtio for anisotropic elastic materials ca have no bounds,, Q. J. Mech. Appl. Math., 58(1), pp. 73-82.

[Ting1-6] Ting, T. C. T., 1996, Positive definiteness of anisotropic elastic constants,, Mathematics and Mechanics of Solids, 1, pp. 301-314.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]