Notació Voigt

En matemàtiques, la notació Voigt o forma de Voigt és una manera de representar un tensor simètric reduint la seua orde. El método es basa en la simetria per a almagasenar solament els valors no repetits i conseguir una representació en menys valors, lo que facilita especialment el càlcul en elements d'elevat ranc.

Existixen diverses variants, algunes de les quals reben noms específics com a notació Mandel, notació Mandel-Voigt i notació Nye. De forma similar, existix una notació Kelvin basada en el treball de Helbig sobre idees de Lord Kelvin. La diferència entre els diferents métodos es deu a diferents eleccions de pesos (ya que el método original no permet realisar algunes operacions en la forma reduïda, es varen plantejar variants que sí ho varen permetre) i el seu us tradicional en diferents camps.

Eixemples

Per eixemple, un tensor simètric 2x2 X només té tres elements distints, el dos en la diagonal i un atre fòra d'ella. Per això puga ser expressat com el vector

$⟨x_{11},x_{22},x_{12}⟩$.

Similarment, el tensor de tensió (en notació matricial) està definit per:

$𝝈=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right].$

En notació Voigt dit tensor queda definida pels seus sis valors diferents:

$\tilde{\sigma }=({\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{xz},{\sigma }_{xy})\equiv ({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4,{\sigma }_5,{\sigma }_6).$

El tensor de deformacions, similar en naturalea al tensor de tensió té una expressió semblant:

$𝝐=\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{xx}& {ϵ}_{xy}& {ϵ}_{xz}\\ {ϵ}_{yx}& {ϵ}_{yy}& {ϵ}_{yz}\\ {ϵ}_{zx}& {ϵ}_{zy}& {ϵ}_{zz}\end{array}\right].$

La forma Del qual Voigt és

$\widetilde{ϵ}=({ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz},{\gamma }_{yz},{\gamma }_{xz},{\gamma }_{xy})\equiv ({ϵ}_1,{ϵ}_2,{ϵ}_3,{ϵ}_4,{ϵ}_5,{ϵ}_6),$

A on ${\gamma }_{xy}=2{ϵ}_{xy}$, ${\gamma }_{yz}=2{ϵ}_{yz}$, and ${\gamma }_{zx}=2{ϵ}_{zx}$ relacionen els valors en les magnituts observables en ingenieria per mig de pesos.

Aixina mateix, un tensor simètric de quart orde pot ser reduït a una matriu 6x6.

Regla mnemotècnica

Una regla mnemotècnica senzilla per a memorisar els índexs de la notació Voigt és:

• Escriure el tensor en forma matricial
• Contar la diagonal
• Continuar en l'última columna
• Tornar al primer element a lo llarc de la primera fila.

Archiu:Voigt notation Mnemonic rule.svg

Vore també

• Llei d'elasticitat de Hooke