Llei d'elasticitat de Hooke

En física, la llei d'elasticitat de Hooke o llei de Hookeestablix que l'allargament unitari que experimenta un cos elàstic és directament proporcional a la força aplicada sobre el mateix ($F$):

La llei de Hooke: la tensió és proporcional a l'elongació axial de la peça.

$ϵ=\frac{\Delta L}{L}=\frac{F}{AE}$

Sent ($\Delta L$) l'allargament, ($L$) la llongitut original, ($E$): mòdul de Young, ($A$) la secció travessera de la peça estirada. La llei s'aplica a un cos elàstic fins a un llímit denominat llímit elàstic.

Deu el seu nom a Robert Hooke. Esta llei comprén numeroses disciplines, sent utilisada en ingenieria i construcció, aixina com en la ciència dels materials.

La llei de Hooke és solament una aproximació llineal de primer orde a la resposta real dels resorts i atres cossos elàstics a les forces aplicades. Finalment deu fallar una volta que les forces excedixquen algun llímit, ya que cap material pot comprimir-se més allà d'un cert tamany mínim, o estirar-se més allà d'un tamany màxim, sense alguna deformació permanent o canvi d'estat. Molts materials es desviaran notablement de la llei de Hooke molt abans de que s'alcancen eixos llímits elàstics.

La llei de Hooke és una aproximació precisa per a la majoria dels cossos sòlits, sempre que les forces i deformacions siguen lo suficientment menudes. Per esta raó, la llei de Hooke s'utilisa àmpliament en totes les branques de la ciència i l'ingenieria, i és la base de moltes disciplines com la sismologia, la mecànica molecular i l'acústica. També és el principi fonamental darrere de la balança de moll, el manómetro, el galvanómetro i el volant del rellonge mecànic.

Història

Esta llei rep el seu nom del físic anglés Robert Hooke, contemporàneu d'Isaac Newton, i contribuent prolífic de l'arquitectura. Davant el temor de que algú s'apoderara del seu descobriment, Hooke ho va publicar en forma d'un famós anagrama, ceiiinosssttuv, i va revelar el seu significat un parell d'anys més vesprada. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("com l'extensió, aixina la força").^{cita requerida}

Llei de Hooke per als resorts

La llei de Hooke descriu quànt s'allarga un resort baix una certa força.

La forma més comuna de representar matemàticament la Llei de Hooke és per mig de l'equació del moll o resort, a on es relaciona la força ($F$) eixercida pel resort en l'elongació o allargament ($\delta$) provocat per la força externa aplicada a l'extrem del mateix:

$F=-k\delta$

a on ($k$) es diu constant elàstica del resort i ($\delta$) és la seua elongació o variació que experimenta la seua llongitut.

L'energia de deformació o energia potencial elàstica ($U_k$) associada al estiramiento del resort ve donada per la següent equació:

$U_k=\frac{1}{2}k{\delta }^2$

És important notar que la ($k$) abans definida depén de la llongitut del moll i de la seua constitució. Definirem ara una constant intrínseca del resort independent de la llongitut d'est i establirem aixina la llei diferencial constitutiva d'un moll. Multiplicant ($k$) per la llongitut total, i cridant al producte ($k_i$) o ($k$) intrínseca, es té:

$k=\frac{k_i}{L}$

Cridarem ($F(x)$) a la tensió en una secció del moll situada una distancia x d'un dels seus extrems el qual prendrem com orige de coordenades, ($k_{\Delta x}$) a la constant d'un chicotet tros de moll de llongitut ($\Delta x$) a la mateixa distància i (${\delta }_{\Delta x}$) a l'allargament d'eixe chicotet tros en virtut de l'aplicació de la força ($F(x)$). Per la llei del moll complet:

$F(x)=-k_{\Delta x}{\delta }_{\Delta x}=-k_i\frac{{\delta }_{\Delta x}}{\Delta x}$

Prenent el llímit:

$F(x)=-k_i\frac{{\delta }_{dx}}{dx}$

que pel principi de superposició resulta:

$F(x)=-k_i\frac{d\delta }{dx}=-(AE)\frac{d\delta }{dx}$

Tenint en conte esta Llei de Hooke del moll i ademés, la massa de l'objecte que oscila, i la seua acceleració, s'obté com a solució el moviment del oscilador harmònic simple (Vore també: Moll elàstic / Resort). La freqüència angular de l'oscilació es calcula com:

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

sent ($m$) la massa de l'oscilador

En els mijos elàstics també es poden propagar ones com a conseqüència de la vibració del mig. En l'equació d'ones de les ones elàstiques intervé ademés de la variable espacial ($x$) (en el cas d'una dimensió), el temps. Açò es deu a que una ona té la doble dependència espacial i temporal al mateix temps (Vore també: Moll elàstic / Resort).