Introducció matemàtica a la relativitat general

La teoria de la relativitat general és una teoria mètrica de la gravitació que incorpora ademés una descripció bàsica dels sistemes de referència totalment generals.

Matemàticament la teoria de la relativitat descriu els efectes del camp gravitatorio modelant l'univers com una varietat pseudoriemanniana, que rep el nom d'espai-temps. El camp gravitatorio es manifesta en la curvatura de l'espai-temps de tal manera que quant més intens és el camp gravitatorio en cert punt majors són les components del tensor de curvatura en eixe punt.

Este artícul introduïx els conceptes matemàtics bàsics que intervenen en la teoria de la relativitat general, bàsicament eixos conceptes es referixen a la geometria diferencial, el càlcul sobre varietats i l'àlgebra tensorial

Formulació general de la teoria: entitats bàsiques

Els objectes bàsics que intervenen en una descripció relativista d'un model d'univers són:

• Una varietat pseudoriemanniana, $(ℳ,g)$, de quatre dimensions que modeliza la geometria de l'espai temps. Ací g designa el tensor mètric que permet definir la llongitut d'una curva, l'àngul entre vectores, les relacions de ortogonalitat, el volum d'una regió de l'espai temps, etc. Associada a esta mètrica es definix una derivada covariant "compatible" en esta mètrica (en la teoria de la relativitat general esta mètrica queda determinada per la condició de que la derivada del tensor mètric s'anule idénticament, en atres generalisacions de la relativitat general, com la teoria d'Einstein-Cartan la "compatibilitat" es definix de manera llaugerament diferent).
• Els tensors físics que són aplicacions llineals definides sobre els espais vectorials tangentes i cotangentes en cada punt de l'espai-temps (és dir, ya que espai-temps és curve en general l'espai vectorial tangente en dos punts diferents de dit espai-temps no coincidixen i és necessari algun tipo de regla per a "proyectar" o comparar el valor d'una magnitut física en un punt de l'espai-temps en la mateixa magnitut en un atre punt diferent). Dins dels tensors bàsics que apareixen en la teoria estan:

El tensor d'energia-impulse, que dona una descripció del tipo de matèria del que està ple un univers, de les seues propietats bàsiques aixina com de la seua distribució. Els tensors de curvatura, que estan associats a l'intensitat del camp gravitatorio i són calculables a partir de derivades covariants de la mètrica. En particular les equacions bàsiques de la relativitat d'Einstein establix que el tensor de curvatura d'Einstein és proporcional al tensor d'energia-impulse.

• El conjunt d'observadors físicament admissibles pot definir-se com el conjunt de possibles sistemes de coordenades sobre la varietat espai-temps o més generalment com una secció del fibrado principal de referències (ortogonals). Un fet bàsic de la teoria de la relativitat, és que diferents observadorés mediran diferents valors de certes magnituts físiques, depenent del seu estat de moviment relatiu. No obstant, les mides realisades per diferents observadors estaran relacionades per cert tipo de lleis tensoriales. De fet un principi físic important cridat principi de covariancia explicita que encara que les cantitats medides per diferents observadors són diferents, les equacions que relacionen les diferents magnituts medides per un observador deuen tindre invariancia de forma para tots els observadors. És dir, tots els observadors siguen cuales siguen descriurien els fenomens físics en lleis formalment idèntiques, és dir, en la mateixa forma.

La teoria proporciona equacions que descriuen com es relacionen els tensors en cada punt de l'espai, com determinen la seua curvatura i com es poden relacionar entre sí les mides realisades per varis observadors movent-se dins de l'espai-temps curve.

Postulats bàsics de la teoria de la relativitat general

Existix una velocitat màxima de propagació de les informació i dels camps i partícules (principi de la relativitat especial)

És impossible distinguir localment un camp gravitatorio localment en l'espai i el temps, és dir, hi ha una transformació de coordenades que fa que la derivada de la velocitat de la llum sobre el temps siga nula en totes les direccions, i no hi ha un atre experiment no cinètic que permeta distinguir-ho (principi d'equivalència)

Existixen equacions que expressen el comportament (llevat efectes quàntics) que són vàlides en qualsevol sistema de referència, o siga, dir qué un objecte es mou solament té sentit en relació en un atre. (principi de covarianza)

La varietat espai-temps

Matemàticament l'univers o espai-temps és representat per mig d'una entitat geomètrica cridada varietat pseudoriemanniana, dins de la qual s'especifica un procediment per a medir les distàncies o tensor mètric, una derivada covariant associada i un transport paralel associat. Totes eixes magnituts permeten definir tant la curvatura, com relacionar magnituts físiques mides per diferents observadorés situats en diferents punts de l'espai-temps.

La curvatura de l'espai

Vore també: Geometria euclídea, Geometria no euclídea, Geometria hiperbòlica, i Curvatura de l'espai-temps

Archiu:Isosceles right triangle.svg

En la geometria euclídea, els ànguls d'un triàngul sumen sempre 180°.

Segons la seua curvatura, els espais poden classificar-se en tres categories diferents: Espais euclídeos, o de curvatura nula, elíptics, de curvatura positiva, i hiperbòlics, de curvatura negativa.

L'espai euclídeo és l'espai ordinari. Va ser el matemàtic grec, Euclides, qui en el III va sistematisar en la seua obra Fonaments els coneiximents geomètrics de la ciència grega: En ella es realisava un estudi minuciós i sistemàtic de les figures geomètriques i s'establien 5 postulats fonamentals. D'ells, el més important era el quint, denominat quint postulat de Euclides, les proposicions principals del qual són les següents:

• La suma de les mides dels ànguls de qualsevol triàngul és igual a 180° (Euclides).
• Les rectes paraleles són equidistants (atribuït a Posidonio).
• Les rectes no equidistants convergixen en una direcció i divergixen en l'oposta (Thábit ibn Qurra, h. 826-901).

Archiu:Sphere closed path.png

La superfície de la esfera és un paradigma de geometria elíptica. Com es pot contemplar en esta image, els ànguls d'un triàngul traçat sobre dita superfície sumen més de 180 graus.

Este esquema va ser acceptat pels matemàtics dels sigles posteriors. No obstant, en el VII, alguns matemàtics àraps, com Thábit ibn Qurra, es varen donar conte de que els postulats de Euclides no funcionaven en determinades estructures geomètriques, com la superfície d'una esfera. Es va començar a desenrollar progressivament l'estudi de l'anomenada geometria elíptica, de curvatura positiva, les característiques principals de la qual eren (i encara seguixen sent) les següents:

La suma de les mides dels ànguls de qualsevol triàngul és superior a 180º. Les rectes paraleles convergixen progressivament i terminen per tallar-se entre sí.

Atres matemàtics posteriors, com János Bolyai o Nikolai Lobachevski varen crear un atre model geomètric no euclídeo que no obstant, tenia una configuració completament oposta a la de la geometria elíptica: Es tractava del espai hiperbòlic, o de curvatura negativa, les característiques principals de la qual són les següents:

La suma de les mides dels ànguls de qualsevol triàngul és inferior a 180º. Les rectes paraleles divergixen progressivament i mai apleguen a tallar-se.

Archiu:Hyperbolic triangle.svg

La superfície d'una cadira de montar té les propietats d'un espai hiperbòlic. Els ànguls de qualsevol triàngul que es trace sobre ella sumen menys de 180º. Les llínees paraleles no permaneixen a una distància constant sino que divergixen progressivament entre sí.

Ara be, les geometria elíptica i hiperbòlica eren contemplades com a simples casos especials que no afectaven a l'estructura de l'espai en sí, que es considerava pla i euclideo. Va ser Carl Friedrich Gauss el primer matemàtic que va intuir la possibilitat de que el nostre espai anara curve. Encara que inclús va realisar experiments a l'efecte, el genial matemàtic alemà no va aplegar a elaborar una teoria coherent en esta matèria. Dit honor li correspondria al seu discípul, Bernhard Riemann, el treball del qual, "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen." revolucionaria el món de les matemàtiques i la física. Unes décades despuix, el matemàtic francés Henri Poincaré feya la següent reflexió en un dels seus estudis: Si el nostre espai és curve, i dita curvatura era capaç d'afectar inclús als rajos de la llum, provocant la seua difracció, nosatres experimentaríem viure en un espai euclideo. Res impediria, per tant, concebre al nostre espai com intrínsecament curve.

Totes estes idees varen ser arreplegades per Albert Einstein, qui amprant les ferramentes matemàtiques creades per Bernhard Riemann, Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro i Erwin Bruno Christoffel, va conseguir construir la teoria geomètrica de la gravetat que hui en dia coneixem en el nom de Teoria de la Relativitat General.

El tensor mètric

Artícul principal → Tensor mètric.

El tensor mètric és l'objecte matemàtic que permet calcular "distàncies" i atres conceptes mètrics en relativitat general. Ademés a partir de les seues derivades pot construir-se el concepte de curvatura. Tècnicament és un tensor simètric de segon orde, a partir del com pot calcular-se llongitut d'una curva a partir d'una integral a lo llarc de trams de dita curva i definida entre dos punts de la mateixa. Una volta especificat un sistema de coordenades, el tensor mètric es representa per mig d'un conjunt de funcions $g_{ij}$, cridades components o coeficients del tensor mètric:

(1a) $g=\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j$

En física l'expressió del tensor mètric s'escriu d'una forma en que s'aprecia com les components anteriors es relacionen localment en la llongitut, per mig de l'expressió informal, usant el conveni de sumaació d'Einstein ademés donat el significat físic i us del tensor s'ometen els productes tensoriales i l'expressió equivalent que usualment s'escriu és:

L'eixemple més senzill possible de tensor mètric, és el de l'espai euclídeo tridimensional, expressat en coordenades cartesianas, les components de les quals $g_{ij}$ representades matricialment són precisament les de la matriu identitat:

En este espai, el càlcul de la distància entre dos punts, a i b units per una curva L = {(x¹,...,xⁿ)| λ en [a, b]} es pot expressara partir de (1b): Introduint els valors donats per (*) i introduint una parametrización φ del segment (en φ(s₀) = a i φ(s_f) = b) deu entendre's com l'integral de llínea:

$(a,b)=\text{long}(L)=\underset{s_0}{\overset{s_f}{\int }}\sqrt{{\left(\frac{dx}{ds}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{ds}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{ds}\right)}^2}ds$

De fet, este tensor mètric és possible derivar el teorema de Pitágoras per a tres dimensions.

Caràcter atractiu/repulsivo del camp

Archiu:Metricariemann.PNG

La genial intuïció de Riemann: En l'image veem cóm la distància entre dos partícules disminuïx en el pas del temps. La disminució en el temps del valor dels coeficients del tensor mètric equival a una força d'atracció recíproca entre abdós cossos.

Tres nocions procedents del càlcul de matrius, la traça, la signatura i el determinant, són essencials per al desenroll de les equacions de la Relativitat General: La signatura és el conjunt dels coeficients de la diagonal del tensor mètric (en l'espai tridimensional euclídeo sig = {1,1,1}). La traça és la suma dels coeficients de la signatura (en l'espai euclídeo tr g = 3).

Una de les innovacions més importants del matemàtic alemà Bernhard Riemann va ser la de considerar a la força com una variació de la mètrica a través del temps, tesis que va ser desenrollat en el seu escrit de habilitació "Sobre les hipòtesis que servixen de base a la geometria", de l'any 1854. D'esta manera, en el cas de que els coeficients aumenten proporcionalment en el pas del temps (tal i com es mostra en la següent matriu), nos trobem davant una força repulsiva. Si, pel contrari, els coeficients disminuïxen, sorgix una força atractiva que provoca que la distància entre dos cossos disminuïxca en el temps.

El transport paralel

Artícul principal → Transport paralel.

En un espai-temps curve no existix una manera òbvia de relacionar diferents magnituts vectorials o tensoriales mides en diferents punts de l'espai-temps. Açò succeïx perque l'espai tangente en cada punt de l'univers és diferent (a diferència de lo que succeïx en un espai-temps pla a on el propi espai-temps pot identificar-se en el seu espai tangente). El transport paralel és un procediment que permet comparar magnituts vectorials o tensoriales en diferents punts de l'univers. Per a definir una forma de "transport paralel" és necessari definir una conexió mètrica.

Una volta definida una conexió mètrica es fa possible comparar magnituts medides en diferents punts de l'espai temps. Una peculiaritat dels espais-temps curvos és que el transport paralel fet a través d'una curva tancada, du en general a un vector diferent del de partida, per culpa de la pròpia curvatura. De fet esta última propietat és la que s'utilisa per a medir la pròpia curvatura a través del tensor de curvatura de Riemann.

La derivada covariant

El fet de que l'espai temps siga curve fa que en cada punt de l'espai, els espais vectorials tangentes no coincidixquen, i per tant, en derivar una magnitut tensorial és necessari tindre en conte tant la variació de les components com de la base vectorial en canviar d'un punt a un atre de l'espai. Per a expressar la derivada covariant respecte a una direcció associada en la coordenada $x^{\alpha }$ s'usa la notació ${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$ en lloc de ${\partial }_{\alpha }$. Aixina la derivada d'una magnitut vectorial vindrà donada per la variació de les components i la base vectorial:

En l'expressió anterior hem fet us de la conveni de sumaació d'Einstein sobre índexs repetits ($\beta ,\gamma$), que apareixen en un mateix terme dalt i avall. En l'expressió anterior ${\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }$ són els cridats símbols de Christoffel que expressen la derivada d'un vector com combinació llineal dels vectores de la base. L'expressió anterior pot expressar-se, tenint en conte que els índexs repetits són índexs muts, equivalentement com:

A on l'expressió entre paréntesis són les components de la derivada covariant del vector expressat en la mateixa base de partida. Ademés resulta que per a un número escalar:

Per lo que l'expressió de la derivada pot deixar-se finalment com:

L'equació de llínees geodèsiques

Una llínea geodèsica és una llínea curva sobre la varietat de mínima curvatura. En una varietat riemanniana una llínea geodèsica entre dos punts suficientment propencs és necessàriament una curva de mínima llongitut, és dir, el camí més curt possible entre dos punts. En canvi en una varietat pseudoriemanniana, o entre punts alluntats de certes varietats riemannianas, una llínea geodèsica pot ser alternativament una llínea de màxima llongitut entre dos punts. Les geodèsiques són importants en relativitat, perque la teoria postula que les partícules materials en absència de forces exteriors es mouran a lo llarc d'alguna geodèsica temporal.

Matemàticament la condició de que una llínea siga geodèsica, és que el transport paralel del seu vector tangente a lo llarc de la curva coincidix en cada punt en el propi vector tangente a la curva. Pot demostrar-se que una curva que passa pel punt x(0) = x₀, i que en eixe punt té un vector tangente dau per v, és geodèsica de fet si complix la condició:

A on:

$s$, és precisament la llongitut d'arc a lo llarc de la curva.

$x(0)=x_0,\dot{x}(0)=𝐯$, són el punt inicial i el vector tangente en el punt inicial.

En relativitat el càlcul de les geodèsiques és important per a determinar com s'està movent globalment la matèria en un espai-temps.

Vore també

• Glossari de relativitat
• Teoria general de la relativitat

Bibliografia

• Annalen der Physik.

769-822. (Text en espanyol)

• Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse.

844-847. (Text en espanyol)

• arXiv:0509178.

1–116. (Text en espanyol)

• arXiv:gr-qc/9712019.

1-234. (en espanyol)

• Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0.
• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
• Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.