Equació de Euler-Arnold

En física matemàtica i geometria diferencial, les equacions de Euler-Arnold són una classe d'equacions diferencials parcials (PDP) que descriuen el fluix geodèsic en grups de Lie de dimensió infinita equipats en mètriques invariantes a la dreta. Estes equacions generalisen els sistemes mecànics clàssics, com el moviment de cossos rígits i el fluix de decorreguts ideals (equació de Euler), interpretant la seua evolució com un fluix geodèsic en un grup de transformacions. Introduïda per Vladimir Arnold en 1966, esta perspectiva unifica diverses EDP que sorgixen en la dinàmica de decorreguts, l'elasticitat i atres àrees, en un marc geomètric comú. En hidrodinàmica, servixen per a descriure el moviment d'inviscos, decorreguts incompresibles. Un gran número de resultats relacionats en açò s'inclouen en lo que ara es denomina «teoria de Euler-Arnold», l'idea principal de la qual és interpretar geomètricament les ODE en varietats de dimensió infinita com EDP (i viceversa).

Moltes equacions diferencials parcials de la dinàmica de decorreguts són sol casos especials de l'equació de Euler-Arnold quan s'observen des de grups de Lie adequats: equació de Burgers, equació de Korteweg-de Vries, equació de Camassa-Holm, equació de Hunter-Saxton i moltes més.

Context

En 1966, Arnold va publicar l'artícul «Sur la géométrie différentielle dones groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique dones fluides parfaits» («Sobre la geometria diferencial dels grups de Lie de dimensió infinita i les seues aplicacions a la hidrodinàmica dels decorreguts perfectes), en el que va presentar una interpretació geomètrica comuna tant per a les equacions de Euler per a cossos rígits en rotació i les equacions de Euler de la dinàmica de decorreguts, lo que va vincular eficaçment temes que abans es consideraven inconexos i va permetre trobar solucions matemàtiques a moltes qüestions relacionades en els fluix de decorreguts i el seu turbulència.

Detalls matemàtics i eixemples bàsics

Siga $G$ un grup de Lie en àlgebra de Lie $𝔤$. En el cas més bàsic $G=\mathrm{SO}(3)$, el grup de rotació (tridimensional), i l'àlgebra de Lie $𝔤=𝔰𝔬(3)$ és l'espai euclídeo tridimensional equipat en el producte creuat. El tensor d'inèrcia $A$ és un operador llineal definit positiu (simètric) $A:𝔤\to {𝔤}^{*}$. Llavors, el hamiltoniano és $$H=\frac{1}{2}⟨L,A^{-1}L⟩$$

a on $L$ és el moment angular. L'idea d'Arnold és interpretar este hamiltoniano com un hamiltoniano geodèsic d'una mètrica riemanniana (invariante a la dreta) en el grup. En el cas del grup de rotació, estes equacions geodèsiques conduïxen a l'equació de rotació de Euler (lliure) de la cinemàtica del sòlit rígit.

Per a vore cóm açò conduïx les equacions cinemàtiques, treballem en el fes cotangente de $G=\mathrm{SO}(3)$. Açò es trivializa com $T^{*}G=G\times 𝔤.$ La configuració del cos és una curva $g=g(t)$ en el grup. La velocitat angular del cos $\omega$ es definix per

$$\dot{g}=g\omega .$$

Siga $\mu =g^{-1}dg$ la forma de Maurer-Cartan. La forma canònica és

$$\theta =⟨L,\mu ⟩$$

de la que obtenim la forma simpléctica prenent la derivada exterior $$d\theta =⟨dL,\mu ⟩-\frac{1}{2}⟨L,[\mu ,\mu ]⟩$$ per mig de l'equació de Maurer-Cartan.

El diferencial del hamiltoniano és $dH=⟨\omega ,dL⟩.$ Ara considerem l'equació d'Hamilton $X_H⌟d\theta =-dH$ per al camp vectorial $X_H=(\dot{g},\dot{L})$ Tenim

$$X_H⌟d\theta =⟨\dot{L},\mu ⟩-⟨dL,g^{-1}\dot{g}⟩-⟨L,[\omega ,\mu ]⟩=⟨\dot{L},\mu ⟩-⟨dL,g^{-1}\dot{g}⟩-⟨{\mathrm{ad}}_{\omega }^{*}L,\mu ⟩.$$ D'esta manera obtenim $\omega =g^{-1}\dot{g}$ and $\dot{L}-{\mathrm{ad}}_{\omega }^{*}L=0$

Per a expressar-ho en térmens més normals en el cas especial en el que $dH=⟨\omega ,dL⟩.$ i $𝔤=𝔰𝔬(3)$

tenim ${\mathrm{ad}}_{\omega }(\cdot )=\omega \times \cdot$, i per lo tant, com a conseqüència de l'identitat del producte triple

${\mathrm{ad}}_{\omega }^{*}(\cdot )=-\omega \times \cdot$. L'equació queda aixina:

$\dot{L}+\omega \times L=0$

reconeixible com l'equació de Euler de la mecànica de cossos rígits.

Invarianza a la dreta

La invarianza a la dreta de la mètrica es deu a que expressa la cinemàtica del cos en el sistema de referència (intrínsec) del cos, en convencions en les que l'acció dreta del grup actua sobre el fes de referències, mentres que l'acció esquerra correspondria a la transformació del sistema de referència espacial d'un observador extern.

Cas general

La secció anterior s'ha mantingut prou abstracta, per lo que pot generalisar-se a un grup de Lie arbitrari (de dimensió finita). Este grup està equipat en un operador d'inèrcia $A:𝔤\to {𝔤}^{*}$ que és definit positiu i simètric. L'equació de Euler-Arnold és l'equació geodèsica per a la mètrica riemanniana $⟨x,Ay⟩.$ Exactament com dalt, l'equació es llig

$\dot{L}-{\mathrm{ad}}_{\omega }^{*}L=0$ a on $\omega =A^{-1}L.$

Una idea clau és que esta equació seguix tenint sentit «formalment» quan el grup $G$ és un grup de Lie de dimensió infinita, pero realisar un anàlisis adequat en eixe cas és molt sotil.

En ocasions, resulta útil reformular l'equació d'Arnold utilisant directament una mètrica riemanniana en lloc d'un operador d'inèrcia. Per a això, siga $$A(x,y)=⟨x,Ay⟩$$ a on el emparejamiento de la dreta és entre l'àlgebra de Lie i el seu dual. L'acció coadjungida se substituïx llavors per un operador $B:𝔤\times 𝔤\to 𝔤$ definit per $A(B(x,y),z)=A(x,[y,z]).$

Aixina, $B(x,y)=-A^{-1}{\mathrm{ad}}_x^{*}Ay.$ En estes convencions establides, l'equació d'Arnold pren la forma simple $$\dot{\omega }=B(\omega ,\omega ),$$ encara que la conexió en les equacions cinemàtiques familiars és menys clara en l'eixemple bàsic dau anteriorment.

Fluix de decorreguts incompresibles

Quan el grup de Lie $G$ és el grup de difeomorfismos suaus que conserven el volum d'un varietat riemanniana orientada compacta en frontera, s'obté, a lo manco formalment, l'equació de Euler de la dinàmica de decorreguts. L'àlgebra de Lie del grup són (formalment) tots els camps vectorials suaus sense divergència (tangentes a la frontera de $M$). El Corchete de Lie (camps de vectores) definix l'estructura de l'àlgebra de Lie. La mètrica riemanniana és $$A(X,Y)=\underset{M}{\int }(X(m),Y(m))d\mu (m)$$ a on, a la dreta, tenim la mètrica riemanniana de $M$ i la seua forma de volum.

Per a l'equació d'Arnold, devem calcular l'operador $B$. Utilisant el fet de que els camps vectorials són lliures de divergència, s'obté $$\underset{M}{\int }(X,[X,Z])=\underset{M}{\int }(-{\mathrm{\nabla }}_{X}X,Z).$$ per lo tant $$B(X,X)=-{\mathrm{\nabla }}_{X}X-\mathrm{\nabla }p$$ a on s'inserta el terme de pressió perque el camp vectorial resultant $B(X,X)$ deu ser lliure de divergència, i ${\mathrm{\nabla }}_{X}X$ no ho és, en general. Podem escriure açò de forma invariante com $$B(X,X)=-P({\mathrm{\nabla }}_{X}X)$$ a on $P$ és la proyecció de Leray.

Llavors tenim precisament les equacions de Euler de la dinàmica de decorreguts $$\frac{dX}{dt}+{\mathrm{\nabla }}_{X}X=-\mathrm{\nabla }p,(\mathrm{div}X=0)$$

Equació de Korteweg-de Vries

Siga $G$ el grup de Virasoro, en l'àlgebra de Lie de Virasoro representada per parells $(X(x){\partial }_x,a)$ a on $X$ és una funció suau en el círcul, i el corchete de Lie $$[(X{\partial }_x,a),(Y{\partial }_x,b)]=((X{Y}_x-Y{X}_x){\partial }_x,\underset{S^1}{\int }{X}^{\prime }(x)Y^{″}(x)dx).$$ La mètrica invariante per la dreta és $$g(X,Y)=\frac{1}{2}(\underset{S^1}{\int }X(x)Y(x)dx+ab).$$ Calculem l'operador $B((X,a),(X,a))$ $$g(B((X,a),(X,a)),(Z,b))=g((X,a),[(X,b),(Z,b)])$$ $$=g((X,a),(X{Z}^{\prime }-Z{X}^{\prime },\int X^{\prime }{Z}^{″}))$$ $$=\int (X^2{Z}^{\prime }-ZX{X}^{\prime }+a{X}^{\prime }{Z}^{″})$$ $$=\int (-3X{X}^{\prime }+a{X}^{‴})Z.$$ Per lo tant, $B(X,X)=(a{X}_{xxx}-3X{X}_x,0)$ i obtenim l'equació KdV $$X_t=a{X}_{xxx}-3X{X}_x,a_t=0.$$

Quan $a=0$, i per lo tant en la mètrica donada ací en el grup de difeomorfismos del círcul, sense l'extensió central, obtenim l'equació inviscida de Burgers. Per un atre costat, en la mètrica $H^1$ de Sobolev en el grup de difeomorfismos, obtenim l'equació de Camassa-Holm no dispersiva (derivada d'esta manera ací. L'equació dispersiva de Camassa-Holm sorgix de la mètrica de Sobolev en el grup de Virasoro.

Fonaments analítics

Ebin i Marsden (1970) varen proporcionar una formulació rigorosa del marc de Euler-Arnold. Varen demostrar que el grup de difeomorfismos que conserven el volum d'una varietat riemanniana compacta es convertix en una varietat de Hilbert suau quan s'amplia a una classe d'espai de Sobolev $H^s$, per a $s>\dim M/2+1$. L'espai tangente corresponent consistix en camps vectorials lliures de divergència de classe $H^s$, i el producte intern induïx una mètrica riemanniana invariante a la dreta.

La descomposició de Hodge dona lloc a una proyecció ortogonal, coneguda com proyecció de Leray, que permet formular les equacions de Euler de forma clara com una equació geodèsica. Açò conduïx a una versió precisa de l'equació de Euler-Arnold en la varietat infinita dimensional de difeomorfismos de Sobolev. Ebin i Marsden varen establir que el spray geodèsic associat a esta estructura és suau i no pert derivades, lo que garantisa que el problema del valor inicial per a les equacions de Euler incompresibles està ben plantejat localment en els espais de Sobolev, un pas important cap a la comprensió de l'existència i la regularitat dels fluix de decorreguts, tal i com es planteja en el Problema del Mileni: Problema d'existència i suavitat de Navier-Stokes.

Vore també

• Equacions de Navier-Stokes
• Equació de Euler-Lagrange

Bibliografia

• Terence Tao's blog: https://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/

• The original source: Arnold, V. "Sur la géométrie différentielle dones groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique dones fluides parfaits." Annales de l'Institut Fourier (Grenoble) 16 (1966), 319–361. (in French) DOI: 10.5802/aif.233
• Jae Min Lee (2018), Geometry and Analysis of some Euler-Arnold Equations, PhD thesis, City University of New York