Conjunts prevalentes i cautos

En matemàtiques, les nocions de prevalente i cauto són conceptes similars a "casi en tots els llocs" i "medida zero", que s'adapten be a l'estudi dels espais de dimensió infinita i que fan us de la invariancia a la translació de la mida de Lebesgue en espais reals de dimensió finita. El terme "cauto" (originalment shy en anglés) va ser sugerit pel matemàtic nortamericà John Milnor.

Definicions

Prevalença i cautela

Siga $V$ un espai vectorial topològic real i siga $S$ un subconjunt de $V$ en mida de Borel. Es diu que $S$ és prevalente si existix un subespacio de dimensió finita $P$ de $V,$ cridat conjunt sonda, tal que para tot $v\in V$ es té que $v+p\in S$ para casi tot ${\lambda }_P$ $p\in P,$ a on ${\lambda }_P$ denota la mida de Lebesgue dimensional $\dim (P)$ en $P.$ Dit d'una atra manera, per a cada $v\in V$ de Lebesgue: casi tots els punts del hiperplano $v+P$ es troben en $S.$

Es diu que un subconjunt que no és de Borel de $V$ és prevalente, si conté un subconjunt de Borel prevalente.

Es diu que un subconjunt de Borel de $V$ és cauto si el seu complement és prevalente; es diu que un subconjunt de $V$ que no és de Borel és cauto si està contingut dins d'un subconjunt de Borel cauto.

Una definició alternativa, i una miqueta més general, és definir un conjunt $S$ com cauto si existix una mida travessera para $S$ (que no siga una mida trivial).

Prevalença local i cautela

Es diu que un subconjunt $S$ de $V$ és localment cauto si cada punt $v\in V$ té un entorn $N_v$ que la seua intersecció en $S$ és un conjunt cauto. Es diu que $S$ és localment prevalente si el seu complement és localment cauto.

Teoremes sobre prevalença i cautela

• Si $S$ és cauto, també ho és cada subconjunt de $S$ i cada translació de $S.$
• Tot conjunt cauto de Borel $S$ admet una mida travessera que és finita i té soport compacte. Ademés, esta mida es pot elegir de modo que el seu soport tinga un diàmetro arbitrariamente menut.
• Qualsevol conjunt numerable finito o unió de conjunts cautos també és cauto. De manera anàloga, preval l'intersecció contable de conjunts prevalentes.
• Qualsevol conjunt cauto també ho és localment. Si $V$ és un espai separable, llavors cada subconjunt localment cauto de $V$ també ho és.
• Un subconjunt $S$ d'un espai euclídeo $n$-dimensional ${ℝ}^n$ és cauto si i solament si té mida de Lebesgue zero.
• Qualsevol subconjunt prevalente $S$ de $V$ és dens en $V.$
• Si $V$ és de dimensió infinita, llavors cada subconjunt compacte de $V$ és cauto.

En lo sucesivo, s'entén per "casi tots" que la propietat indicada es complix en un subconjunt predominant de l'espai en qüestió.

• Casi totes les funcions contínues des del interval $[0,1]$ fins a la recta real $ℝ$ són funcions diferenciables; ací l'espai $V$ és $C([0,1];ℝ)$ en la topología induïda per la norma del suprem.
• Casi totes les funcions $f$ en un espai $L^p$ $L^1([0,1];ℝ)$ tenen la propietat de que

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\ne 0.$ Clarament, la mateixa propietat es complix per als espais de funcions $k$-voltes diferenciables $C^k([0,1];ℝ).$

• Per a $1<p\le +\mathrm{\infty },$ casi totes les seqüències $a={\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }^p$ tenen la propietat de que la série

$\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n$

divergix.

• Versió de prevalença del teorema de embebido de Whitney: Siga $M$ una varietat compacta de classe $C^1$ i dimensió $d$, continguda en ${ℝ}^n.$ Per a $1\le k\le +\mathrm{\infty },$, casi totes les funcions de $C^k$, $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^{2d+1}$ és un encaix de $M.$
• Si $A$ és un subconjunt compacte de ${ℝ}^n$ en dimensió de Hausdorff-Besicovitch $d,$ $m\ge ,$ i $1\le k\le +\mathrm{\infty },$ llavors, para casi totes les funcions $C^k$, $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m,$ $f(A)$ també té dimensió de Hausdorff $d.$
• Per a $1\le k\le +\mathrm{\infty },$ casi totes les funcions $C^k$ $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ tenen la propietat de que tots els seus punts periòdics són hiperbòlics. En particular, lo mateix és vàlit per a tots els punts del periodo $p$, per a qualsevol número entero $p.$

Bibliografia

• “{{{title}}}” . Proc. Amer. Math. Soc. 122 (3): 711–717. doi:10.2307/2160745.
• “{{{title}}}” . Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (2): 217–238. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2.