Model de Wess-Zumino-Witten

En física teòrica i matemàtiques, un model de Wess-Zumino-Witten (WZW), també cridat model de Wess-Zumino-Novikov-Witten, és un tipo de teoria de camps conforme bidimensional que du el nom de Julius Wess, Bruno Zumino, Sergei Novikov i Eduardo Witten. Un model WZW està associat a un grup de Lie (o supergrupo), i la seua àlgebra de simetria és l'àlgebra de Lie afí construïda a partir del àlgebra de Lie corresponent (o superálgebra de Lie). Per extensió, el nom modele WZW s'utilisa a voltes per a qualsevol teoria de camps conforme l'àlgebra dels quals de simetria siga un àlgebra de Lie afí.

Acció

Definició

Per a $\Sigma$ una superfície de Riemann, $G$ un grup de mentires, i $k$ un número (generalment complex), definim el $G$ -Model WZW encés $\Sigma$ en el nivell $k$ . El model és un model sigma no llineal que la seua acció és funcional d'un camp. $\gamma :\Sigma \to G$ :

$S_k(\gamma )=-\frac{k}{8\pi }\underset{\Sigma }{\int }{d}^{2}x𝒦({\gamma }^{-1}{\partial }^{\mu }\gamma ,{\gamma }^{-1}{\partial }_{\mu }\gamma )+2\pi k{S}^{\mathrm{W}Z}(\gamma ).$

Ací, $\Sigma$ està equipat en una mètrica euclidiana plana, ${\partial }_{\mu }$ és la derivada parcial, i $𝒦$ és la forma Killing en l'àlgebra de Lie de $G$. El terme Wess-Zumino de l'acció és

$S^{\mathrm{W}Z}(\gamma )=-\frac{1}{48{\pi }^2}\underset{{𝐁}^3}{\int }{d}^{3}y{ϵ}^{ijk}𝒦({\gamma }^{-1}{\partial }_i\gamma ,[{\gamma }^{-1}{\partial }_j\gamma ,{\gamma }^{-1}{\partial }_k\gamma ]).$

Ací ${ϵ}^{ijk}$ és el tensor completament antisimètric, i $[.,.]$ és el soport de mentira. El terme de Wess-Zumino és una integral sobre una varietat tridimensional ${𝐁}^3$ el llímit de la qual és $\partial {𝐁}^3=\Sigma$.

Propietats topològiques del terme Wess-Zumino

Per a que el terme Wess-Zumino tinga sentit, necessitem el camp $\gamma$ tindre una extensió per a ${𝐁}^3$. Açò requerix el grup de homotopía ${\pi }_2(G)$ ser trivial, com és el cas en particular de qualsevol grup compacte de Lie $G$.

L'extensió d'un determinat $\gamma :\Sigma \to G$ a ${𝐁}^3$ en general no és únic. Per a que el model WZW estiga ben definit, $e^{i{S}_k(\gamma )}$ no deuria dependre de l'elecció de l'extensió. El terme de Wess-Zumino és invariante baix chicotetes deformacions de $\gamma$, i només depén de la seua classe de homotopía. Les possibles classes de homotopía estan controlades pel grup de homotopía ${\pi }_3(G)$.

Per a qualsevol grup Lie simple, compacte i conectat $G$, tenim ${\pi }_3(G)=\mathbb{Z}$ i diferents extensions de $\gamma$ conduir a valors de $S^{\mathrm{W}Z}(\gamma )$ que diferixen per número entero. Per lo tant, conduïxen al mateix valor de $e^{i{S}_k(\gamma )}$ sempre que el nivell obedixca

$k\in \mathbb{Z}.$

Els valors sancers del nivell també juguen un paper important en la teoria de la representació de l'àlgebra de simetria del model, que és un àlgebra de Lie afí. Si el nivell és un número entero positiu, l'àlgebra de Lie afí té representacions unitàries de major pes en pesos més alts que són integrals dominants. Tals representacions es descomponen en subrepresentaciones de dimensió finita sobre les subálgebras compreses per cada raïl simple, la raïl negativa corresponent i el seu commutador, que és un generador de Cartan.

En el cas del grup de Lie simple no compacte $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℝ)$, el grup de homotopía ${\pi }_3(\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℝ))$ és trivial i el nivell no està obligat a ser un número entero.

Interpretació geomètrica del terme Wess-Zumino

Si i _a són els vectores base del àlgebra de Lie, llavors $𝒦(e_a,[e_b,e_c])$ són les constants d'estructura de l'àlgebra de Lie. Les constants d'estructura són completament antisimètriques i, per lo tant, definixen una forma 3 en la varietat de grup de G. Per lo tant, l'integrant anterior és solament el reculada de la forma harmònica 3 cap a la bola. ${𝐁}^3.$ Denotant la forma harmònica 3 per c i la reculada per ${\gamma }^{*},$ un llavors té

$S^{\mathrm{W}Z}(\gamma )=\underset{{𝐁}^3}{\int }{\gamma }^{*}c.$

Esta forma conduïx directament a un anàlisis topològic del terme WZ.

Geomètricament, este terme descriu la torsió del respectiu colector. La presència d'esta torsió obliga al teleparalelismo de la varietat i, per tant, a la trivialización del tensor de curvatura torsional; i per tant la detenció del fluix de renormalización, un punt fix infrarrojo del grup de renormalización, un fenomen denominat geometrostasis.

Àlgebra de simetria

Simetria de grup generalisada

El model Wess-Zumino-Witten no només és simètric baix transformacions globals per un element de grup en $G$, pero també té una simetria molt més rica. Esta simetria a sovint es diu $G(z)\times G(\overline{z})$ simetria. És dir, donada qualsevol holomorfa $G$ funció valorada $\Omega (z)$, i qualsevol un atre (completament independent de $\Omega (z)$ ) antiholomórfico $G$ funció valorada $\overline{\Omega }(\overline{z})$, a on hem identificat $z=x+iy$ i $\overline{z}=x-iy$ en térmens de les coordenades de l'espai euclidiano $x,y$, es complix la següent simetria:

$S_k(\gamma )=S_k(\Omega \gamma {\overline{\Omega }}^{-1})$

Una forma de demostrar l'existència d'esta simetria és per mig de l'aplicació repetida de l'identitat Polyakov-Wiegmann respecte de productes de $G$ -camps valorats:

$S_k(\alpha {\beta }^{-1})=S_k(\alpha )+S_k(\beta )+\frac{k}{16{\pi }^2}\int d^{2}x\text{Tr}({\alpha }^{-1}{\partial }_{\overline{z}}\alpha {\beta }^{-1}{\partial }_z\beta )$

Les corrents holomorfas i antiholomórficas $J(z)=-\frac{1}{2}k({\partial }_z\gamma ){\gamma }^{-1}$ i $\overline{J}(\overline{z})=-\frac{1}{2}k{\gamma }^{-1}{\partial }_{\overline{z}}\gamma$ són les corrents conservades associades en esta simetria. El comportament singular dels productes d'estes corrents en atres camps quàntics determina cóm eixos camps es transformen baix accions infinitesimals de el $G(z)\times G(\overline{z})$ grup.

Àlgebra de Lie afí

Deixar $z$ ser una coordenada complexa local en $\Sigma$, $\{t^a\}$ una base ortonormal (sobre la forma Killing) de l'àlgebra de Lie de $G$, i $J^a(z)$ la quantificació del camp $𝒦(t^a,{\partial }_{z}g{g}^{-1})$. Contem en la següent expansió de producte d'operador:

$J^a(z)J^b(w)=\frac{k{\delta }^{ab}}{(z-w{)}^2}+\frac{i{f}_c^{ab}{J}^c(w)}{z-w}+𝒪(1),$

on $f_c^{ab}$ són els coeficients tals que $[t^a,t^b]=f_c^{ab}{t}^c$. De manera equivalent, si $J^a(z)$ s'expandix en modos

$J^a(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{J}_n^a{z}^{-n-1},$

llavors l'àlgebra actual generada per $\{J_n^a\}$ és l'àlgebra de Lie afí associada a l'àlgebra de Lie de $G$, en un nivell que coincidix en el nivell $k$ del model WZW. Si $𝔤=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(G)$, la notació per a l'àlgebra de Lie afí és ${\widehat{𝔤}}_k$ . Les relacions de conmutación de l'àlgebra de Lie afí són

$[J_n^a,J_m^b]=f_c^{ab}{J}_{m+n}^c+kn{\delta }^{ab}{\delta }_{n+m,0}.$

Esta àlgebra de Lie afí és l'àlgebra de simetria quiral associada a les corrents que es mouen cap a l'esquerra. $𝒦(t^a,{\partial }_{z}g{g}^{-1})$. Una segona còpia de la mateixa àlgebra de Lie afí està associada a les corrents que es mouen cap a la dreta. $𝒦(t^a,g^{-1}{\partial }_{\overline{z}}g)$ . els generadors ${\overline{J}}^a(z)$ d'eixa segona còpia són antiholomórficos. L'àlgebra de simetria completa del model WZW és el producte de les dos còpies de l'àlgebra de Lie afí.

Construcció sugawara

La construcció de Sugawara és una incorporació del àlgebra de Virasoro en l'àlgebra envolvente universal de l'àlgebra de Lie afí. L'existència de la incrustación mostra que els models WZW són teories de camps conformes. Ademés, conduïx a equacions de Knizhnik-Zamolodchikov per a funcions de correlació.

La construcció de Sugawara està escrita de manera més concisa al nivell de les corrents: $J^a(z)$ per a l'àlgebra de Lie afí i el tensor d'energia-moment $T(z)$ per a l'àlgebra de Virasoro:

$T(z)=\frac{1}{2(k+h^{\vee })}\sum _a:J^a{J}^a:(z),$

a on el $:$ denota orde normal, i $h^{\vee }$ és el número dual de Coxeter. Utilisant el OPE de les corrents i una versió del teorema de Wick es pot deduir que el OPE de $T(z)$ en si mateixa està donat per

$T(y)T(z)=\frac{\frac{c}{2}}{(y-z{)}^4}+\frac{2T(z)}{(y-z{)}^2}+\frac{\partial T(z)}{y-z}+𝒪(1),$

lo que equival a les relacions de conmutación de l'àlgebra de Virasoro. La càrrega central de l'àlgebra de Virasoro està donada en térmens del nivell $k$ de l'àlgebra de Lie afí per

$c=\frac{k\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(𝔤)}{k+h^{\vee }}.$

Al nivell dels generadors de l'àlgebra de Lie afí, la construcció de Sugawara diu

$L_{n\ne 0}=\frac{1}{2(k+h^{\vee })}\sum _a\sum _{m\in \mathbb{Z}}{J}_{n-m}^a{J}_m^a,$

$L_0=\frac{1}{2(k+h^{\vee })}(2\sum _a\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{-m}^a{J}_m^a+J_a^0{J}_a^0).$

a on els generadors $L_n$ de l'àlgebra de Virasoro són els modos del tensor d'energia-moment, $T(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{L}_n{z}^{-n-2}$.

Espectre

Models WZW en grups compactes i conectats de forma senzilla

Si el grup de mentires $G$ és compacte i simplement conexo, llavors el model WZW és racional i diagonal: racional perque l'espectre es construïx a partir d'un conjunt finito (depenent del nivell) de representacions irreducibles de l'àlgebra de Lie afí cridada representacions integrables de major pes, i diagonal perque una representació de l'àlgebra que es mou cap a l'esquerra es combina en la mateixa representació de l'àlgebra que es mou cap a la dreta.

Per eixemple, l'espectre de la $SU(2)$ Model WZW a nivell. $k\in \mathbb{N}$ és

${𝒮}_k=\underset{j=0,\frac{1}{2},1,\dots ,\frac{k}{2}}{⨁}{ℛ}_j\otimes {\overline{ℛ}}_j,$

on ${ℛ}_j$ és la representació afí de major pes de l'espin $j$ : una representació generada per un estat $|v⟩$ tal que

$J_{n<0}^a|v⟩=J_0^{-}|v⟩=0,$

on $J^{-}$ és la corrent que correspon a un generador $t^{-}$ de l'àlgebra de Lie de $SU(2)$.

Models WZW en un atre tipo de grups

Si el grup $G$ és compacte, pero no simplement conectat, el model WZW és racional pero no necessàriament diagonal. Per eixemple, el $SO(3)$ El model WZW existix per a nivells sancers parells $k\in 2\mathbb{N}$, i el seu espectre és una combinació no diagonal d'un número finito de representacions integrables de major pes.

Si el grup $G$ no és compacte, el model WZW no és racional. Ademés, el seu espectre pot incloure representacions que no tinguen el major pes. Per eixemple, l'espectre de la $SL(2,ℝ)$ El model WZW es construïx a partir de representacions de major pes, més les seues imàgens baixe els automorfismes de fluix espectral de l'àlgebra de Lie afí.

Si $G$ és un supergrupo, l'espectre pot involucrar representacions que no es factorizan com a productes tensoriales de representacions de les àlgebra de simetria que es mouen cap a l'esquerra i cap a la dreta. Açò ocorre per eixemple en el cas $G=GL(1|1)$, i també en supergrupos més complicats com $G=PSU(1,1|2)$. Les representacions no factorisables són responsables del fet de que els models WZW corresponents siguen teories de camps conformes logarítmiques.

Atres teories basades en àlgebra de Lie afins

Les teories de camps conformes conegudes basades en àlgebra de Lie afins no es llimiten als models WZW. Per eixemple, en el cas de l'àlgebra de Lie afí de la $SU(2)$ En el model WZW, les funcions de partició toroidal invariantes modular obedixen a una classificació ADE, a on les $SU(2)$ El model WZW representa únicament la série A. La série D correspon a la $SO(3)$ Model WZW, i la série I no es correspon en cap model WZW.

Un atre eixemple és el $H_3^{+}$ model. Este model es basa en la mateixa àlgebra de simetria que el $SL(2,ℝ)$ Model WZW, en el que es relaciona per mig de rotació de Wick. no obstant, el $H_3^{+}$ no és estrictament un model WZW, ya que $H_3^{+}=SL(2,ℂ)/SU(2)$ No és un grup, sino una classe.