Matriu de Cartan

En matemàtiques, el terme matriu de Cartan té tres significats, i tots ells reben el seu nom del matemàtic francés Élie Cartan. Curiosament, les matrius de Cartan en el context del àlgebra de Lie varen ser investigades per primera volta per Wilhelm Killing, mentres que la forma de Killing es deu a Cartan.

Àlgebra de Lie

Una matriu de Cartan generalisada (simetrisable) és una matriu quadrada $A = (a_{i j})$ en entrades sanceres tals que

Per als elements diagonals, $a_{i i} = 2$ .
Per als elements no diagonals, $a_{i j} \leq 0$ .
Els elements $a_{i j} = 0$ si i solament si $a_{j i} = 0$
La matriu $A$ es pot escriure com $D S$ , a on $D$ és una matriu diagonal i $S$ és una matriu simètrica.

Per eixemple, la matriu de Cartan per a G₂ es pot descompondre de la forma següent:

[\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{2}{3} & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] .

La tercera condició no és independent, sino que en realitat és una conseqüència de la primera i de la quarta condicions.

Sempre es pot elegir una D en elements diagonals positius. En eixe cas, si S en la descomposició anterior és definida positiva, llavors es diu que A és una matriu de Cartan.

La matriu de Cartan d'un àlgebra de Lie simple té per elements els productes escalares

a_{j i} = 2 \frac{(r_{i}, r_{j})}{(r_{j}, r_{j})}

^[1]

(a voltes cridats sancers de Cartan) a on r_i són les raïls simples de l'àlgebra. Les entrades són sancers, d'acort en una de les propietats de les raïls. La primera condició es deriva de la definició, la segona del fet de que para $i \neq j, r_{j} - \frac{2 (r_{i}, r_{j})}{(r_{i}, r_{i})} r_{i}$ hi ha una raïl que és una combinació llineal de les raïls simples r_i i r_j en un coeficient positiu per a r_j i aixina , el coeficient de r_i té que ser no negatiu. La tercera és certa perque la ortogonalidad és una relació simètrica. I per últim, siga $D_{i j} = \frac{δ_{i j}}{(r_{i}, r_{i})}$ i $S_{i j} = 2 (r_{i}, r_{j})$ . Degut a que les raïls simples comprenen un espai euclídeo, S és definit positiu.

Pel contrari, donada una matriu de Cartan generalisada, es pot recuperar la seua corresponent àlgebra de Lie. (vore àlgebra de Kac-Moody per a obtindre més detalls).

Classificació

Una matriu $n \times n$ A és descomponible si existix un subconjunt propi $I \subset {1, \dots, n}$ no buide tal que $a_{i j} = 0$ sempre que $i \in I$ i $j \notin I$ . A és indescomponible si no és descomponible.

Siga A una matriu de Cartan generalisada indescomponible. Es diu que A és de tipo finito si tots els seus menors són positius, que A és de tipo afí si els seus menors principals propis són positius i A té determinant 0 i, en cas contrari, A és de tipo indefinit.

Les matrius indescomponibles de tipo finito classifiquen les àlgebra de Lie simples de dimensió finita (de tipos $A_{n}, B_{n}, C_{n}, D_{n}, E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}$ ), mentres que les matrius indescomponibles de tipo afí classifiquen les àlgebra de Lie afins (per eixemple, sobre algun camp algebraicamente tancat de característica 0).

Determinants de les matrius de Cartan de les àlgebra de Lie simples

Els determinants de les matrius de Cartan de les àlgebra de Lie simples es donen en la següent taula (junt en A₁=B₁=C₁, B₂=C₂, D₃=A₃, D₂=A₁A₁, I₅=D₅, I₄=A₄ i I₃=A₂A₁ ).^[2]

A_n	B_n	C_n	D_n n ≥ 3	I_n 3 &li; n &li; 8	F₄	G₂
n + 1	2	2	4	9 − n	1	1

Una atra propietat d'este determinant és que és igual a l'índex del sistema de raïls associat, és dir, és igual a $| P / Q |$ , a on $P$ i $Q$ denoten la retícula de pesos i la retícula de raïls respectivament.

Representacions de àlgebra de dimensió finita

En teoria de la representació modular, i més generalment, en la teoria de representacions del àlgebra associativa A de dimensió finita no semisimple, una matriu de Cartan es definix considerant un conjunt (finito) de mòduls principals indescomponibles i escrivint una série de composició para ells en térmens de mòduls irreducibles, lo que produïx una matriu d'número entero que conta el número d'aparicions d'un mòdul irreducible.

Vore també

Notes

↑ Lie Algebras in Particle Physics, 2 edició, Westview Press, p. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
↑ Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982

Referències

(1991) Representation theory: A first course (vol. 129), Springer-Verlag, p. 334. ISBN 0-387-97495-4.
Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie algebras and representation theory (vol. 9), Springer-Verlag, pp. 55–56. doi:10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
Kac, Victor G. (1990). Infinite Dimensional Lie Algebras, 3rd edició, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6..

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz de Cartan» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Lie Algebras in Particle Physics, 2 edició, Westview Press, p. 115. ISBN 0-7382-0233-9.

[2] Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982

[1]

[2]