Equacions de Knízhnik–Zamolódchikov

En física matemàtica les equacions de Knízhnik–Zamolódchikov o equacions KZ satisfan un conjunt de restriccions adicionals per a les funcions de correlació de la teoria conforme de camps associats en un àlgebra de Lie afí a un nivell fix. Formen un sistema d' equacions en derivades parcials complexes en punts singulars regulars satisfets per les N-funciones de camp principal i pot obtindre's utilisant ya siga el formalisme del àlgebra de Lie o del àlgebra de vèrtiç. L'estructura de la partix gènero zero de la teoria conforme de camps està codificada en les propietats de monodromía d'estes equacions. En particular la trena i la fusió dels camps principals (o les seues representacions associades) poden deduir-se de les propietats de les funcions de quatre punts, per a que les equacions es reduïxquen a una sola matriu valorada de primer orde complexa equació diferencial de tipo Fuchsiano. Originalment els físics russos Vadim Knízhnik i Aleksandr Zamolódchikov varen deduir la teoria de SU(2) usant les fòrmules clàssiques de Gauss per als coeficients de la conexió de l'equació diferencial hipergeométrica.

Definició

Siga que ${\hat{𝔤}}_{k}$ denote l'àlgebra de Lie afí en nivell $k$ i número de Coxeter dual $h$ . Deixe que $v$ siga un vector d'una representació de modo zero de ${\hat{𝔤}}_{k}$ i $Φ (v, z)$ el camp principal associat. Deixe que $t^{a}$ siga una base de la subjacent àlgebra de Lie $𝔤$ , $t_{i}^{a}$ la seua representació en el camp principal $Φ (v_{i}, z)$ i $η$ la forma assessina. Llavors per a $i, j = 1, 2, \dots, N$ les equacions de Knízhnik–Zamolódchikov es lligen

((k + h) \partial_{z_{i}} + \sum_{j \neq i} \frac{\sum_{a, b} η_{a b} t_{i}^{a} \otimes t_{j}^{b}}{z_{i} - z_{j}}) ⟨ Φ (v_{N}, z_{N}) \dots Φ (v_{1}, z_{1}) ⟩ = 0.

Derivació informal

Les equacions de Knízhnik–Zamolódchikov resulten de l'existència de vectores nuls en el mòdul ${\hat{𝔤}}_{k}$ . Açò és molt similar al cas en models mínims, a on l'existència de vectores nuls resulten en restriccions adicionals sobre les funcions de correlació.

Els vectores nuls d'un mòdul ${\hat{𝔤}}_{k}$ són de la forma

(L_{- 1} - \frac{1}{2 (k + h)} \sum_{k \in 𝐙} \sum_{a, b} η_{a b} J_{- k}^{a} J_{k - 1}^{b}) v = 0,

a on $v$ és un vector de pes més alt i $J_{k}^{a}$ corrent associada en el generador afí $t^{a}$ . Ya que $v$ és de major pes, l'acció de la majoria de $J_{k}^{a}$ en ell s'anulen i només $J_{- 1}^{a} J_{0}^{b}$ permaneixen. La correspondència d'operador-estat llavors conduïx directament a les equacions de Knízhnik–Zamolódchikov tal com s'indica dalt.

Vore també

Referències

J. Amer. Math. Soc..12(4)

1119-1178.Consultat el 5 de decembre de 2012.

(1984).«Current Algebra and Wess–Zumino Model in Two-Dimensions».Nucl. Phys. B.247

83–103.doi:10.1016/0550-3213(84)90374-2.

(1988).«Vertex operators in conformal field theory on P(1) and monodromy representations of braid group».16

297–372. (Errata en volum 19, pp. 675–682).

(1986).«Vertex algebras, Kac–Moody algebras, and the Monster».Proc. Natl. Acad. Sci. USA..83

3068–3071.doi:10.1073/pnas.83.10.3068.

(1988).«Vertex operator algebras and the Monster».Academic Press.134
^{[enllaç trencat]}
(1998).«Vertex algebras for beginners».American Mathematical Society.10
(1998).«Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations».American Mathematical Society.58
(2001).«Vertex algebras and Algebraic Curves».American Mathematical Society.88

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuaciones de Knízhnik–Zamolódchikov» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.