Entropía de von Neumann

John von Neumann.

En mecànica estadística quàntica, la entropía de von Neumann és l'extensió del concepte d'entropía de Gibbs clàssica al camp de mecànica quàntica. Rep el seu nom de John von Neumann. Per a un sistema quàntic descrit per una matriu densitat $\rho$, la entropía de von Neumann

$S=-\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho \ln \rho ),$

a on $\mathrm{t}\mathrm{r}$ denota la traça i $\mathrm{l}\mathrm{n}$ denota el logaritme natural de matrius. Si $\rho$ està escrit en térmens dels seus autovectores $|1⟩$, $|2⟩$, $|3⟩$,... com

$\rho =\sum _j{\eta }_j|j⟩⟨j|,$

llavors la entropía de von Neumann és simplement

$S=-\sum _j{\eta }_j\ln {\eta }_j.$

En ista forma, $S(\rho )$ es pot entendre com l'entropía de Shannon de la distribució de provabilitat ${\eta }_j$.

Motivació

John von Neumann va establir un marc matemàtic rigorós per a la mecànica quàntica en el seu treball de 1932 treball Les fundamentaciones matemàtiques de la mecànica quàntica En ell, propon una teoria de la medició, a on l'idea habitual del colapse de la funció d'ona es descriu com un procés irreversible (les medicions proyectivas o de von Neumann).

La matriu densitat va ser introduïda, en motivacions diferents, per von Neumann i per Lev Landáu. La motivació que va inspirar a Landau era l'impossibilitat de descriure un subsistema d'un sistema quàntic compost per mig d'un vector d'estat. Per un atre costat, von Neumann va introduir la matriu densitat per a desenrollar la mecànica estadística quàntica i la teoria de medicions quàntiques.

El formalisme de la matriu densitat es va desenrollar per a estendre les ferramentes de mecànica estadística clàssica a l'àmbit quàntic. En el marc clàssic es calcula la funció de partició del sistema per a evaluar totes cantitats termodinàmiques possibles. Von Neumann va introduir la matriu densitat en el context d'estats i operadors en un espai de Hilbert. El coneiximent de la matriu densitat serviria per a poder calcular tots els valors esperats d'una manera conceptualment similar, pero matemàticament diferent. Siga un conjunt de funcions d'ona $|\psi ⟩$ que depenen paramétricamente d'un conjunt de números quàntics $n_1,n_2,\dots ,n_N$. La variable natural és l'amplitut en la que una funció d'ones particular del conjunt participa en la funció d'ones del sistema. Denotant el quadrat d'esta amplitut per $p(n_1,n_2,\dots ,n_N)$, l'objectiu és convertir esta cantitat p a la funció de densitat clàssica en l'espai de fases clàssic. Cal verificar que p tendixca a la funció de densitat en el llímit clàssic, i que tinga propietats ergòdiques. Trase comprovar que $p(n_1,n_2,\dots ,n_N)$ és una constant del moviment, supondre la ergodicidad fa que p depenga solament de l'energia.

Despuix d'este procediment, finalment s'aplega al formalisme de la matriu densitat en buscar una forma en la que $p(n_1,n_2,\dots ,n_N)$ siga invariante sobre la representació utilisada. En la forma en la que està escrita, solament s'obtenen els valors esperats correctes per a cantitats que siguen diagonals sobre els números quàntics $n_1,n_2,\dots ,n_N$.

Els valors esperats d'operadors que no siguen diagonals involucren les fases de les amplitut quàntiques. Si codifiquem els números quàntics $n_1,n_2,\dots ,n_N$ en un únic índex $i$, la funció d'ona té la forma

$|\Psi ⟩=\sum _i{a}_i|{\psi }_i⟩.$

El valor esperat d'un operador $B$ que no és diagonal en estes funcions d'ona és

$⟨B⟩=\sum _{i,j}{a}_i^{*}{a}_j⟨i|B|j⟩.$

El paper que abans tenien les cantitats ${\left|a_i\right|}^2$ ara li correspon a la matriu densitat

$⟨j|\rho |i⟩=a_j{a}_i^{*}.$

Per tant, $⟨B⟩$ queda com

$⟨B⟩=\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho B).$

La invariancia d'esta fòrmula està garantisada pel àlgebra llineal. S'ha establit una formulació matemàtica en la que els valors esperats s'obtenen com la traça de l'operador de densitat $\rho$ i un operador $B$ (el producte escalar de Hilbert de dos operadors).

Matemàticament, $\rho$ és una matriu hermítica semidefinida positiva en traça unitat.

Definició

Donada la matriu densitat $\rho$, von Neumann va definir la entropía com

$S(\rho )=-\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho \ln \rho ),$

que és una extensió apropiada de l'entropía de Gibbs (llevat un factor $k_B$) i l'entropía de Shannon al cas quàntic. Per a calcular $S(\rho )$ és convenient calcular el seu diagonalisació $\rho =\sum _j{\eta }_j|j⟩⟨j|$. En este cas, la entropía de von Neumann està donada per

$S(\rho )=-\sum _j{\eta }_j\ln {\eta }_j.$

Com per a un estat pur, la matriu densitat és idempotent, ${\rho }^2=\rho$ , la entropía $S(\rho )$ s'anula. Aixina, si el sistema és de dimensió finita, la entropía $S(\rho )$ quantifica la diferència del sistema en respecte de un estat pur. En atres paraules, codifica el grau de mescla dels estats purs que descriuen un sistema finit dau. La medició crea decoherencia en un sistema quàntic i lo "fa més clàssic"; aixina, per eixemple, la entropía nula d'un estat pur $\Psi =(|0⟩+|1⟩)/\sqrt{2}$, al que correspon una matriu densitat

$\rho =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

aumenta fins a $S=\ln 2=0.69$ per a la mescla resultant de la mida

$\rho =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

ya que l'informació sobre interferència quàntica es borra en el procés de medició.