Òrbita de Kepler

Archiu:Kepler orbits.svg

Una òrbita elíptica de Kepler en una excentricitat de 0,7, una òrbita parabòlica de Kepler i una òrbita de Kepler hiperbòlica en una excentricitat d'1,3. La distància al punt focal és una funció de l'àngul polar relatiu a la llínea horisontal segons lo donat per l'equació (Plantilla:EquationNote)

En mecànica celest, una òrbita de Kepler (o també una òrbita kepleriana) és la trayectòria d'un cos respecte a un atre descrivint una elipse, paràbola o hipérbola, inscrites en un pla orbital bidimensional en un espai tridimensional (una òrbita de Kepler també pot ser una trayectòria recta). En el seu càlcul solament es considera l'atracció gravitacional puntual de dos cossos, despreciant les destorbament degudes a les interaccions gravitatorias en atres objectes, l'arrastre atmosfèric, la pressió de radiació o que el cos central no siga esfèric entre atres simplificació. Es diu que és la solució d'un cas especial del problema dels dos cossos, conegut com problema de Kepler. Com a teoria en mecànica clàssica, tampoc té en conte els efectes de la relativitat general. Les òrbites de Kepler poden ser parametrizadas en sis elements orbitales de vàries maneres.

En la majoria de les aplicacions, es considera un gran cos central, el centre del qual de massa se supon que és el centre de masses de tot el sistema. Per descomposició, les òrbites de dos objectes de massa similar es poden descriure com a òrbites de Kepler al voltant del seu centre de masses comuna, és dir, respecte a la seua baricentre.

Introducció

Des de temps antics fins als sigles XVI i XVII, es creïa que els moviments dels planetes seguien camins geocéntricos perfectament circulares, tal com els ensenyaven els antics filòsofs grecs Aristóteles i Claudio Ptolomeo. Les variacions en els moviments dels planetes es varen explicar per mig de moviments circulares més menuts superposts sobre la trayectòria principal (vore epiciclo). A mida que les medicions dels planetes es varen tornar cada volta més precises, es varen propondre revisions de la teoria. En 1543, Nicolás Copérnico va publicar un model heliocéntrico del sistema solar, encara que encara creïa que els planetes viajaven en trayectòries perfectament circulares centrades en el sol.

Johannes Kepler

En 1601, Johannes Kepler va dispondre de les exhaustives i meticulosas observacions dels planetes fetes per Tycho Brahe. Kepler passaria els cinc anys següents tractant d'ajustar les observacions del planeta Mart a vàries curves, i en 1609 va publicar les dos primeres de les seues tres lleis del moviment planetari. La primera llei establix:

"l'òrbita de tots els planetes és una elipse en el sol en un dels seus focs".

De manera més general, la ruta d'un objecte somés a moviment kepleriano també pot seguir una paràbola o una hipérbola, que, junt en les elipses, pertanyen a un grup de curves conegut com còniques. Matemàticament, la distància entre un cos central i un cos en òrbita es pot expressar com:

$r(\theta )=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos (\theta )}$

on:

• $r$ és la distància
• $a$ és el semieje major, que definix el tamany de l'òrbita
• $e$ és l'excentricitat, que definix la forma de l'òrbita
• $\theta$ és l'anomalia verdadera, que és l'àngul entre la posició actual de l'objecte en òrbita i l'ubicació en l'òrbita en la que està més prop del cos central (cridada ápside), d'acort en la figura anterior.

Alternativament, l'equació es pot expressar com:

$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos (\theta )}$

A on $p$ es diu semi esgambi recte de la curva. Esta forma de l'equació és particularment útil quan es tracta de trayectòries parabòliques, per a les quals el semieje major és infinit.

Pese a desenrollar estes lleis a partir de les observacions, Kepler mai va poder idear una teoria física capaç d'explicar estos moviments.

Isaac Newton

Entre 1665 i 1666, Isaac Newton va desenrollar varis conceptes relacionats en el moviment, la gravitació i el càlcul diferencial. No obstant, estos conceptes no es varen publicar fins a 1687 en els Principia, en els que va descriure els seus lleis del moviment i el seu llei de gravitació universal. La segona de les seues tres lleis del moviment diu:

l'acceleració d'un cos és paralela i directament proporcional a la ret força que actua sobre el cos, se situa en la direcció de la força neta, i és inversamente proporcional a la massa del cos:

$𝐅=m𝐚=m\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}$

A on:

• $𝐅$ és el vector de la força
• $m$ és la massa del cos sobre la que està actuant la força
• $𝐚$ és el vector de l'acceleració, la segona derivada respecte al temps del vector de posició $𝐫$

Estrictament parlant, esta forma de l'equació solament s'aplica a un objecte de massa constant, i la seua validea està lligada als supòsits simplificadores fets a continuació.

Archiu:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg

Llei de Newton de la gravitació universal: una massa puntual m₁ atrau a una atra massa puntual m₂ en una força F₂ que és proporcional al producte de les dos masses i inversamente proporcional al quadrat de la distància (r) entre elles. Independentment de les masses o la distància, les magnituts de |F₁| i |F₂ | sempre seran iguals i de signe contrari. G és la constant de gravitació universal.

La llei de gravitació de Newton diu:

Cada punt material atrau a cada atra massa puntual eixercint una força dirigida segons la recta que passa per abdós punts. La força és proporcional al producte de les dos masses i inversamente proporcional al quadrat de la distància entre les masses puntuals:

$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$

a on:

• $F$ és la magnitut de la força gravitacional entre les dos masses puntuals
• $G$ és la constant de gravitació universal
• $m_1$ és la massa del primer punt material
• $m_2$ és la massa del segon punt material
• $r$ és la distància entre les dos masses puntuals

A partir de les lleis del moviment i la llei de la gravitació universal, Newton va poder deduir les lleis de Kepler, demostrant la coherència entre l'observació i la teoria. Les lleis de Kepler i Newton varen formar la base de la mecànica celest moderna fins que Albert Einstein va introduir els conceptes de relativitat especial i general a principis de el XX. Per a la majoria de les aplicacions, el moviment de Kepler s'aproxima als moviments dels planetes i els satèlits en un grau relativament alt de precisió i s'usa àmpliament en astronomia i astrodinámica.

Simplificació del problema dels dos cossos

Vore també: Òrbita

Per a resoldre el moviment d'un objecte en un sistema de dos cossos, es poden fer dos suposicions simplificadoras:

1. Els cossos són esféricamente simètrics i poden tractar-se com a masses puntuals.

2. No hi ha forces externes o internes que actuen sobre els cossos a banda de la seua gravitació mútua.

Les formes dels grans cossos celests estan prop de les esferes. Per simetria, la força gravitacional neta que atrau un punt de massa cap a una esfera homogénea deu dirigir-se cap al seu centre. El teorema de la capa esfèrica (també provat per Isaac Newton) establix que la magnitut d'esta força és la mateixa que si tota la massa estiguera concentrada en el centre de l'esfera, inclús si la densitat de l'esfera varia en la profunditat (com ocorre en la majoria dels cossos celests). D'açò es desprén immediatament que l'atracció entre dos esferes homogénees és com si abdós tingueren la seua massa concentrada en el seu centre.

Els objectes més menuts, com asteroides o naus espacials a sovint tenen una forma que es desvia fortament d'una esfera. Pero les forces gravitacionals produïdes per estes irregularitats són generalment chicotetes en comparació a la gravetat del cos central. La diferència entre una forma irregular i una esfera perfecta també disminuïx en les distàncies, i la majoria de les distàncies orbitales són molt grans en comparació al diàmetro d'un chicotet cos en òrbita. Per lo tant, per a algunes aplicacions, l'irregularitat de la forma pot despreciar-se sense un impacte significatiu en la precisió.

Els planetes giren a velocitats variables i, per lo tant, poden adoptar una forma llaugerament oblonga per la força centrífuga. En cossos molt oblongos, l'atracció gravitatoria es desviarà una miqueta de la d'una esfera homogénea. Este fenomen és prou notable per als satèlits artificials de la Terra, especialment aquells en òrbites baixes. A distàncies majors, l'efecte d'este achatamiento es torna insignificant. Els moviments planetaris en el sistema solar es poden calcular en suficient precisió si es tracten com a masses puntuals.

Dos objectes puntuals en masses $m_1$ i $m_2$ i vectores de posició ${𝐫}_1$ i ${𝐫}_2$ en un sistema de referència inercial, experimenten les següents forces gravitacionals:

$m_1{\ddot{𝐫}}_1=\frac{-G{m}_1{m}_2}{r^2}\widehat{𝐫}$

$m_2{\ddot{𝐫}}_2=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\widehat{𝐫}$

a on $𝐫$ és el vector de posició relatiu de la massa 1 sobre la massa 2, expressat com:

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$

i $\widehat{𝐫}$ és el vector unitari en eixa direcció i $r$ és la llongitut d'eixe vector.

Dividint per les seues respectives masses i restant la segona equació de la primera, s'obté l'equació del moviment per a l'acceleració del primer objecte sobre el segon: Plantilla:NumBlk

En moltes aplicacions, es pot fer una tercera suposició simplificadora:

3. Quan es compara en el cos central, la massa del cos en òrbita és insignificant. Matemàticament, m₁ >> m₂, i per lo tant μ = G (m₁ + m₂)≈Gm₁.

Esta suposició no és necessària per a resoldre el problema dels dos cossos, pero simplifica els càlculs, particularment en els satèlits que orbitan la Terra i els planetes que giren al voltant del sol. Inclús la massa de Júpiter és inferior a la del sol en un factor de 1047, lo que constituiria un error del 0,096% en el valor de μ. Excepcions notables inclouen el sistema Terra-Lluna (proporció de massa de 81,3), el sistema de Plutó-Caronte (relació de massa de 8,9) i els sistemes d'estreles binarias.

Baixe estes suposicions, l'equació diferencial per al cas dels dos cossos es pot resoldre matemàticament per complet i l'òrbita resultant, que seguix les lleis del moviment planetari de Kepler, es diu una "òrbita de Kepler". Les òrbites de tots els planetes es poden calcular en alta precisió per mig d'òrbites de Kepler al voltant del Sol. Les chicotetes desviacions es deuen a les atraccions gravitacionals molt més dèbils entre els planetes, i en el cas de Mercurio, per la relativitat general. Les òrbites dels satèlits artificials al voltant de la Terra són, en una aproximació raonable, òrbites de Kepler en menuts destorbament per l'atracció gravitacional del sol, la lluna i el achatamiento de la Terra. En aplicacions d'alta precisió per a les quals l'equació de moviment deu integrar-se numèricament en totes les forces gravitacionals i no gravitatorias (com la pressió de radiació i l'arrastre atmosfèric) que es tenen en conte, els conceptes d'òrbita de Kepler són de suma importància i molt utilisats.

Elements Keplerianos

Archiu:Orbit1.svg

Elements orbitales Keplerianos

Artícul principal → Elements orbitales.

Val la pena mencionar que qualsevol trayectòria kepleriana es pot definir per mig de sis paràmetros. El moviment d'un objecte que es mou en l'espai tridimensional es caracterisa per un vector de posició i un vector de velocitat. Cada vector té tres components, per lo que el número total de valors necessaris per a definir una trayectòria a través de l'espai és sis. Una òrbita generalment està definida per sis elements (coneguts com "elements keplerianos") que es poden calcular a partir de la seua posició i la seua velocitat, tres dels quals ya s'han discutit. Estos elements són convenients ya que dels sis, cinc són immutables per a una òrbita imperturbable (en un marcat contrast en dos vectores en constant canvi). L'ubicació futura d'un objecte dins de la seua òrbita pot predir-se i la seua nova posició i velocitat poden obtindre's fàcilment a partir dels elements orbitales.

Dos definixen el tamany i la forma de la trayectòria:

• Semieje major ($a$)
• Excentricitat ($e$)

Tres definixen l'orientació del pla orbital:

• Inclinament orbital ($i$) definix l'àngul entre el pla orbital i el pla de referència.
• Llongitut del nodo ascendent ($\Omega$) definix l'àngul entre la direcció de referència i el creuament cap a dalt de l'òrbita en el pla de referència (el nodo ascendent).
• Argument del periastro ($\omega$) definix l'àngul entre el nodo ascendent i la periapsis.

I finalment:

• Anomalia verdadera ($\nu$) definix la posició del cos en òrbita en la trayectòria, mida des de la periapsis. Es poden usar varis valors alternatius en lloc d'anomalies verdaderes, sent els més comuns l'anomalia mija $M$ i el temps transcorregut des de la periapsis $T$.

Degut a que $i$, $\Omega$ i $\omega$ són simplement mides angulars que definixen l'orientació de la trayectòria en el marc de referència, no són estrictament necessàries quan es discutix el moviment de l'objecte dins del pla orbital. S'han mencionat ací per a completar la visió astronòmica del problema, pero no es requerixen per a les demostracions que figuren a continuació.