Número quàntic assimutal

El número quàntic assimutal o número quàntic de moment angular orbital és un número quàntic d'un orbital atòmic que determina el seu moment angular orbital i descriu la forma del orbital. El número quàntic assimutal és el segon d'una série de números quàntics que descriuen l'estat quàntic únic d'un electró (els atres són el número quàntic principal, seguint la notació espectroscópica, el número quàntic magnètic, i el número quàntic d'espin). També és conegut com el número quàntic del moment angular orbital o número quàntic secundari, i se simbolisa com ℓ (L minúscula).

Derivació

El número quàntic assimutal, associat en els estats d'energia dels electrons d'un àtom, és un conjunt de quatre números quàntics: n, ℓ, m_ℓ i m_s. Estos especifiquen l'estat quàntic únic i complet d'un sol electró en un àtom, i forma part de la seua funció d'ona o orbital. La funció d'ona de l'equació d'ona de Schrödinger es reduïx a tres equacions que una volta resoltes, conduïxen als tres primers números quàntics. Per lo tant, les equacions per als tres primers números quàntics estan interrelacionadas. El número quàntic assimutal va sorgir en la solució de la part polar de l'equació d'ona. Per a facilitar la comprensió d'este concepte del azimut, també pot resultar útil revisar el sistema de coordenades esfèriques o atres sistemes alternatius de coordenades matemàtiques, ademés del sistema de coordenades cartesianas. Generalment, el sistema de coordenades esfèriques funciona millor en models esfèrics, el sistema de coordenades cilíndriques en cilindres, el sistema cartesiano en volums en general, etc.

El moment angular d'un electró atòmic, L, està relacionat en el seu número quàntic ℓ per mig de la següent equació:

${𝐋}^2\Psi ={\hslash }^2\ell (\ell +1)\Psi$

a on ħ és la constant de Planck reduïda, L² és l'operador del moment angular orbital i $\Psi$ és la funció d'ona de l'electró. El número quàntic ℓ sempre és un sancer no negatiu. Mentres que molts llibres de text d'introducció a la mecànica quàntica es referixen a L, per sí mateixa L no té cap significat real, llevat en el seu us com l'operador de moment angular. Quan es fa referència al moment angular, lo millor és usar simplement el número quàntic ℓ.

Funcions d'ona dels orbitales atòmics d'un àtom d'hidrogen. El número quàntic principal està a la dreta de cada fila i el número quàntic assimutal és indicat per una lletra al principi de cada columna.

Els orbitales atòmics tenen formes distintives indicades per lletres. En l'ilustració, les lletres s, p, i d descriuen les formes del orbital atòmic.

Les seues funcions d'ona prenen la forma d'harmònics esfèrics, i aixina són descrits pels polinomis de Legendre. Els diversos orbitales relacionats en els diferents valors de ℓ sò a voltes cridats subcapas, i (principalment per raons històriques) es denominen per lletres, de la següent manera:

ℓ	Lletra	Cantitat màxima d'electrons	Forma	Nom
0	s	2	esfera	definida (sharp)
1	p	6	dos mancuernas (dumbbells)	principal
2	d	10	quatre mancuernas o forma única 1	difuso
3	f	14	huit mancuernas o forma única 2	fundamental
4	g	18	dotze mancuernas o forma única 3
5	h	22
6	i	26

Cada u dels diferents estats de moment angular poden prendre 2 (2 ℓ + 1) electrons. Açò es deu a que el tercer número quàntic mℓ (que pot ser considerat en térmens generals com la proyecció quantificada del vector de moment angular sobre l'eix Z) s'estén des de -ℓ a ℓ en unitats sanceres, i per tant hi ha 2ℓ + 1 estats possibles. Cada orbital n, ℓ, mℓ distint pot ser ocupat per dos electrons en espin oposts (dau pel número quàntic m_s), donant 2(2ℓ + 1) electrons en general. Els orbitales en un valor més alt de ℓ a l'expost en la taula són perfectament admissibles, pero estos valors cobrixen tots els àtoms descoberts fins ara.

Per a un valor donat del número quàntic principal n, els possibles valors de ℓ es donen en el ranc de 0 a n - 1. Per lo tant, la capa n = 1 solament posseïx una subcapa s i solament pot prendre dos electrons; la capa n = 2 posseïx una subcapa s i una p, i en general pot prendre huit electrons; la capa n = 3 posseïx subcapas s, p i d, i té un màxim de 18 electrons; i aixina successivament. En general, el número màxim d'electrons en l'enèsim nivell d'energia és 2n².

El número quàntic del moment angular, ℓ, regula el número de nodos plans que passen pel núcleu. Un nodo pla pot ser descrit en una ona electromagnètica com el punt mig entre la cresta i la vall, el qual té magnitut zero. En un orbital s, cap nodo passa pel núcleu, per tant el número quàntic assimutal ℓ corresponent pren el valor de 0. En un orbital p, un nodo travessa el núcleu i per lo tant ℓ té el valor d'1. L té el valor √2ħ.

En funció del valor de n, existix un número quàntic de moment angular ℓ i la série següent. A continuació s'indiquen les llongituts d'ona per a un àtom d'hidrogen:

n = 1, L = 0, série de Lyman (ultravioleta)

n = 2, L = √2ħ, série de Balmer (visible)

n = 3, L = √6ħ, serie de Ritz-Paschen (infrarrojo d'ona curta)

n = 5, L = 2√5ħ, serie de Pfund (infrarrojo d'ona llarga).

Adició de moments angulars cuantizados

Vore també: Acoplament de moment angular

Donat un moment angular total cuantizado $\overrightarrow{ȷ}$ que és la suma de dos moments angulars cuantizados individuals $\overrightarrow{{\ell }_1}$ i $\overrightarrow{{\ell }_2}$,

$\overrightarrow{ȷ}=\overrightarrow{{\ell }_1}+\overrightarrow{{\ell }_2}$

el número quàntic $j$ associat en la seua magnitut pot variar des de $|{\ell }_1-{\ell }_2|$ fins a ${\ell }_1+{\ell }_2$ en mides sanceres a on ${\ell }_1$ i ${\ell }_2$ són els números quàntics corresponents a les magnituts del moment angular individual.

Moment angular total d'un electró en l'àtom

Artícul principal → Número quàntic de moment angular total.

Archiu:Caps block 2 coupling.svg

"Cons vectorials" del moment angular total J (púrpura), orbital L (blava), i d'espin S (verda). Els cons sorgixen per l'incerteza quàntica en medir les components del moment angular.

Per l'interacció espin-òrbita en l'àtom, el moment angular orbital no commuta en el hamiltoniano ni en l'espin. Per lo tant estos canvien en el temps. No obstant, el moment angular total J commuta en el hamiltoniano i aixina és constant. J es definix per mig de

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$

sent L el moment angular orbital i S l'espin. El moment angular total complix en les mateixes relacions de conmutación que el moment angular orbital, és dir

$[J_i,J_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{J}_k$

de la que seguix

$[J_i,J^2]=0$

a on J_i representa J_x, J_i, i J_z.

Els números quàntics que descriuen el sistema (constants en el temps) ara són j i m_j, definits a través de l'acció de J sobre la funció d'ona $\Psi$

${𝐉}^2\Psi ={\hslash }^{2}j(j+1)\Psi$

${𝐉}_z\Psi =\hslash m_j\Psi$

Aixina que j es relaciona en la norma del moment angular total i m_j en la seua proyecció a lo llarc d'un eix especificat.

Com en qualsevol moment angular en la mecànica quàntica, la proyecció de J a lo llarc d'atres eixos no poden ser co-definida en J_z, degut a que no commuten.

Relació entre els números quàntics nous i vells

Vore també: Número quàntic

j i m_j, junt en la paritat del estat quàntic, remplazan els números quàntics ℓ, m_ℓ i m_s (la proyecció de l'espin a lo llarc de l'eix especificat). Els primers números quàntics poden estar relacionats en els últims.

Ademés, els vectores propis de j, m_j i la paritat, que també són vectores propis del hamiltoniano, són combinacions llineals dels vectores propis de ℓ, m_ℓ i m_s.