Número quàntic de moment angular total

Archiu:Caps block 0 coupling.svg

"Cons vectorials" del moment angular total $J$ (púrpura), moment angular orbital $L$ (blau), i moment angular d'espin $S$ (vert). Els cons sorgixen per l'incertitut quàntica en medir les components del moment angular.

En mecànica quàntica, el número quàntic de moment angular total és un número quàntic que cuantiza el moment angular total d'una partícula donada, per mig de la combinació de la seua moment angular orbital i el seu moment angular intrínsec o propi (és dir, el seu espin).

Si $𝐬$ és el moment angular d'espin de la partícula i $\ell$ és el vector moment angular orbital, el moment angular total $𝐣$ és

$𝐣=𝐬+\ell$

El número quàntic associat és el número quàntic principal de moment angular total $j$. Pot prendre la següent gama de valors, compresos entre $\ell -s$ i $\ell +s$, podent prendre solament increments sancers:

$|\ell -s|\le j\le \ell +s$

a on $\ell$ és el número quàntic assimutal (cuantización del moment angular orbital), i $s$ és el número quàntic d'espin (cuantización de l'espin).

La relació entre el vector moment angular total $𝐣$ i el número quàntic de moment angular total $j$ ve donada per la relació habitual (vore número quàntic de moment angular)

$|𝐣|=\sqrt{j(j+1)}\hslash$

La proyecció sobre l'eix $\hat{z}$ del vector $𝐣$ ve donada per

$j_z=m_j\hslash$

a on $m_j$ és el número quàntic secundari de moment angular total. Pot prendre valors des de $-j$ a $+j$ incrementant-se per unitats sanceres. Açò genera $2j+1$ valors diferents de '$m_j$.

El moment angular total es correspon en l'invariante de Casimir del àlgebra de Lie baix(3) del grup de rotació en tres dimensions.

Definició vectorial

Per l'interacció espin-òrbita en l'àtom, el moment angular orbital no commuta en el hamiltoniano ni en l'espin. Per lo tant estos canvien en el temps. No obstant, el moment angular total $\overrightarrow{J}$ commuta en el hamiltoniano i aixina és constant. $\overrightarrow{J}$ es definix per mig de

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$

sent $L$ el moment angular orbital i $S$ l'espin. El moment angular total complix en les mateixes relacions de conmutación que el moment angular orbital, és dir

$[J_i,J_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{J}_k$

de la que se seguix

$[J_i,J^2]=0$

a on $J_i$ representa $J_x$, $J_y$, i $J_z$.

Els números quàntics que descriuen el sistema (constants en el temps) ara són $j$ i $m_j$, definits a través de l'acció de $J$ sobre la funció d'ona $\Psi$

${𝐉}^2\Psi ={\hslash }^{2}j(j+1)\Psi$

${𝐉}_z\Psi =\hslash m_j\Psi$

Aixina que $j$ es relaciona en la norma del moment angular total i $m_j$ en la seua proyecció a lo llarc d'un eix especificat.

Com en qualsevol moment angular en la mecànica quàntica, la proyecció de $J$ a lo llarc d'atres eixos no poden ser co-definida en $J_z$, degut a que no commuten.