Mida de Gibbs

En física i matemàtiques, la mida de Gibbs, cridada aixina en honor a Josiah Willard Gibbs, és una mida de provabilitat que es veu en freqüència en molts problemes de teoria de la provabilitat, mecànica estadística i sistemes dinàmics. És una generalisació del conjunt canònic a sistemes infinits.

El conjunt canònic dona la provabilitat de que el sistema X es trobe en l'estat x (equivalent a que la variable aleatòria X tinga el valor x) com

$P(X=x)=\frac{1}{Z(\beta )}\exp (-\beta E(x)).$

Ací, I és una funció de l'espai d'estats als número real; en aplicacions físiques, I(x) s'interpreta com l'energia de la configuració x. El paràmetro β és un paràmetro lliure; en física, és la temperatura inversa. La constant de normalisació Z(β) és la funció de partició. No obstant, en sistemes infinits, l'energia total ya no és un número finito i no es pot utilisar en la construcció tradicional de la distribució de provabilitat d'un conjunt canònic. Els enfocaments tradicionals de la física estadística estudiaven el llímit de les propietats intensives a mida que el tamany d'un sistema finito s'aproxima a l'infinit (el llímit termodinàmic). Quan la funció d'energia pot escriure's com una suma de térmens que solament involucren variables d'un subsistema finito, la noció de mida de Gibbs proporciona un enfocament alternatiu. Les mides de Gibbs varen ser propostes per teòrics de la provabilitat com Dobrushin, Lanford i Ruelle i varen proporcionar un marc per a estudiar directament els sistemes infinits, en lloc de prendre el llímit dels sistemes finitos.

Una mida és una mida de Gibbs si les provabilitats condicionals que induïx en cada subsistema finito satisfan una condició de consistència: si tots els graus de llibertat fòra de l'subsistema finito estan congelats, el conjunt canònic per a l'subsistema subjecte a estes condicions de contorn coincidix en les provabilitats en la mida de Gibbs condicional sobre els graus de llibertat congelats.

El teorema de Hammersley-Clifford implica que qualsevol mida de provabilitat que satisfaça una propietat de Markov és una mida de Gibbs per a una elecció adequada de la funció d'energia (definida localment). Per lo tant, la mida de Gibbs s'aplica a problemes molt estesos fòra de la física, com les rets de Hopfield, les rets de Markov, les Campos aleatoris de Markov i els jocs de potencial racionalmente llimitat en la teoria de jocs i l'economia.

Una mida de Gibbs en un sistema en interaccions locals (de ranc finito) maximizar la densitat d'entropía per a una densitat d'energia esperada donada; o, de forma equivalent, minimisa la densitat d'energia lliure.

La mida de Gibbs d'un sistema infinit no és necessàriament única, en contrast en el conjunt canònic d'un sistema finito, que és únic. L'existència de més d'una mida de Gibbs està associada en fenomens estadístics com la simetria trencada i la coexistència de fases.

Física estadística

El conjunt de mides de Gibbs en un sistema és sempre convexo, per lo que existix una mida de Gibbs única (en el cas de la qual es diu que el sistema és «ergòdic»), o be hi ha infinites (i el sistema es denomina «no ergodic»). En el cas no ergòdic, les mides de Gibbs poden expressar-se com el conjunt de combinacions convexas d'un número molt menor de mides de Gibbs especials conegudes com a «estats purs» (que no deuen confondre's en el concepte relacionat, pero distint, d'estats purs en mecànica quàntica). En aplicacions físiques, el Hamiltoniano (la funció d'energia) sol tindre cert sentit de «localitat», i els estats purs tenen la propietat de descomposició en clústers de que els «subsistema molt separats» són independents. En la pràctica, els sistemes físicament realistes es troben en un d'estos estats purs.

Si el hamiltoniano posseïx una simetria, llavors una mida de Gibbs única (és dir, ergòdica) serà necessàriament invariante baix la simetria. Pero en el cas de mides de Gibbs múltiples (és dir, no ergòdiques), els estats purs normalment “'no”' són invariantes baix la simetria del hamiltoniano. Per eixemple, en el model de Ising ferromagnético infinit per baix de la temperatura crítica, hi ha dos estats purs, els estats «majoritàriament dalt» i «majoritàriament avall», que s'intercanvien baix la simetria ${\mathbb{Z}}_2$ del model.

Propietat de Markov

La propietat de Markov es veu en la mida de Gibbs del model de Ising. La provabilitat de que un espin donat σ_k es trobe en l'estat «s» podria, en principi, dependre dels estats de tots els demés espin del sistema. Per lo tant, podem escriure la provabilitat com

$P({\sigma }_k=s\mid {\sigma }_j,j\ne k)$.

No obstant, en un model de Ising en interaccions de ranc finito (per eixemple, interaccions entre veïns més propencs), en realitat tenim

$P({\sigma }_k=s\mid {\sigma }_j,j\ne k)=P({\sigma }_k=s\mid {\sigma }_j,j\in N_k)$,

a on N_k és un veïnat del lloc k. És dir, la provabilitat en el lloc k depén «solament» dels espin en un veïnat finito. Esta última equació té la forma d'una propietat de Markov local. Les mides en esta propietat es denominen a voltes camps aleatoris de Markov. Més encara, ho contrarie també és cert: «qualsevol» distribució de provabilitat positiva (densitat distinta de zero en tots els llocs) que tinga la propietat de Markov pot representar-se com una mida de Gibbs per a una funció d'energia adequada. Est és el teorema de Hammersley-Clifford.