Beta termodinàmica

Archiu:ColdnessScale.svg

Escala de conversió de temperatura/fredor del SI: Les temperatures en l'escala Kelvin es mostren en blava (escala Celsius en vert, escala Fahrenheit en roig), els valors de fredor en gigaoctets per nanojulio es mostren en negre. La temperatura infinita (fredor zero) es mostra en la part superior del diagrama; els valors positius de fredor/temperatura estan a la dreta, els valors negatius a l'esquerra.

En la termodinàmica estadística, la beta termodinàmica, també coneguda com a fredor, és el recíproc de la temperatura termodinàmica d'un sistema:$$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}$$ (a on T és la temperatura i k_B és la constant de Boltzmann).

La beta termodinàmica té unitats recíproques a les de l'energia (en unitats SI, recíprocs de juliol, $[\beta ]={\text{J}}^{-1}$). En unitats no tèrmiques, també pot medir-se en byte per juliol, o més convenientment, gigaoctet per nanojulio; 1 K⁻¹ equival a aproximadament 13,062 gigaoctets per nanojulio; a temperatura ambiente: T = 300K, β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV⁻¹ ≈ 2.4×10²⁰ J⁻¹. El factor de conversió és 1 GB/nJ = $8\ln 2\times 10^{18}$ J⁻¹.

Descripció

La beta termodinàmica és essencialment la conexió entre la teoria de l'informació i l'interpretació de la mecànica estadística d'un sistema físic a través del seu entropía i la termodinàmica associada en la seua energia. Expressa la resposta de la entropía davant un aument d'energia. Si s'afig una menuda cantitat d'energia al sistema, llavors β descriu quànt es aleatorizará el sistema.

Per mig de la definició estadística de la temperatura com a funció de la entropía, la funció de fredor pot calcular-se en el conjunt microcanónico a partir de la fòrmula

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T},=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}{\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,N}$

(és dir, la derivada parcial de la entropía S respecte a l'energia I a volum constant V i número de partícules N).

Ventages

Encara que és completament equivalent en contingut conceptual a la temperatura, β es considera generalment una cantitat més fonamental que la temperatura pel fenomen de la temperatura negativa, en el qual β és contínua en creuar zero mentres que T presenta una singularitat.

Ademés, β té la ventaja de ser més fàcil d'entendre causalmente: si s'afig una menuda cantitat de calor a un sistema, β és l'aument d'entropía dividit per l'aument de calor. La temperatura és difícil d'interpretar en el mateix sentit, ya que no és possible "afegir entropía" a un sistema llevat indirectament, modificant atres cantitats com la temperatura, el volum o el número de partícules.

Interpretació estadística

Des del punt de vista estadístic, β és una cantitat numèrica que relaciona dos sistemes macroscòpics en equilibri. La formulació exacta és la següent. Considerem dos sistemes, 1 i 2, en contacte tèrmic, en energies respectives I₁ i I₂. Suponem que I₁ + I₂ = una constant I. El número de microestats de cada sistema es denotarà per Ω₁ i Ω₂. Baixe les nostres suposicions, Ω_i depén solament de I_i. També assumim que qualsevol microestat del sistema 1 consistent en I₁ pot coexistir en qualsevol microestat del sistema 2 consistent en I₂. Per lo tant, el número de microestats per al sistema combinat és

$\Omega ={\Omega }_1(E_1){\Omega }_2(E_2)={\Omega }_1(E_1){\Omega }_2(E-E_1).,$

Derivarem β a partir de la suposició fonamental de la mecànica estadística:

Quan el sistema combinat alcança l'equilibri, el número Ω s'maximizar.

(En atres paraules, el sistema busca naturalment el número màxim de microestats.) Per lo tant, en equilibri,

$\frac{d}{d{E}_1}\Omega ={\Omega }_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\Omega }_1(E_1)+{\Omega }_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\Omega }_2(E_2)\cdot \frac{d{E}_2}{d{E}_1}=0.$

Pero I₁ + I₂ = I implica

$\frac{d{E}_2}{d{E}_1}=-1.$

Aixina que

${\Omega }_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\Omega }_1(E_1)-{\Omega }_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\Omega }_2(E_2)=0$

és dir,

$\frac{d}{d{E}_1}\ln {\Omega }_1=\frac{d}{d{E}_2}\ln {\Omega }_2\text{en equilibrio.}$

La relació anterior motiva una definició de β:

$\beta =\frac{d\ln \Omega }{dE}.$