Medició de l'arc de meridiano de Delambre i Méchain

La medició de l'arc de meridiano de Delambre i Méchain va ser un alçament geodèsic realisat pels científics francesos Jean-Baptiste Joseph Delambre i Pierre Méchain entre 1792 i 1798 per encàrrec de l'Acadèmia de Ciències de França, en la finalitat de medir una secció entre Dunkerque i Barcelona per a determinar la llongitut del meridiano de París. L'alçament va servir com a base per a la definició original del metro com a unitat de llongitut.

Este treball és una fita clau en la història del metro i del sistema mètric decimal, aixina com en l'història de la determinació de la massa de la Terra. D'igual manera, ocupa un lloc destacat en l'història de la geodèsia i especialment en la determinació de la forma de la Terra. L'introducció del metro i del sistema mètric va ser certament conseqüència de les dificultats experimentades pels [[Missió geodèsica francesa|geodestas de el XVIII]] per a tindre en cada lloc una unitat de llongitut suficientment precisa i fiable i, en principi, fàcilment reproduible. El metro i el sistema mètric decimal són sense dubte, en la Declaració dels Drets de l'Home i del Ciutadà, un dels llegats més importants de la Revolució francesa.

Context històric

El metro i el sistema mètric decimal com a fills de la Revolució Francesa

És sabut que les lleis de la Naturalea no depenen de l'elecció d'unitats de mida. Per eixemple, l'atracció gravitatoria sempre disminuirà com l'invers del quadrat de la distància, independentment de si la distància s'expressa en toesas o en metros. Sempre serà proporcional al producte de les massas dels dos cossos que s'atrauen, ya siga que estes masses s'expressen en onces o en quilograms. Estrictament parlant, es podria inclús expressar una de les masses en onces i l'atra en grams, per eixemple. Lo que canviarà en les unitats elegides, per lo tant, no són les relacions entre cantitats físiques, sino solament els valors numèrics de les constants involucrades en estes relacions. En l'eixemple considerat, és el valor numèric de la constant gravitatoria el que variarà segons el sistema d'unitats adoptat. Per lo tant, a primera vista no es pot dir que un sistema d'unitats siga millor que un atre. És el fet de que ha demostrat ser pràctic en el seu us i especialment el fet de que ha aplegat a ser acceptat per la majoria de les nacions civilisades lo que li dona al sistema mètric la seua superioritat. Alguns Estats s'han mostrat contraris durant molt temps a acceptar este sistema de mides, per raons de prestigi nacional o simplement per raons d'hostilitat cap a França. No obstant, des d'un principi havia segut concebut en l'idea de ser un sistema supranacional, que no pertanyia a cap nació en particular sino a tota la humanitat, d'acort en les idees generoses que prevalien baix la França revolucionària. Esta és la raó per la qual el metro es va definir inicialment no com qualsevol llongitut materialisada en un lloc determinat d'un país en particular, sino com la “dèu millonèsima part d'un quarto de meridiano terrestre”. En principi, tot lo món tenia accés a ell, pero l'unitat de mida no pertanyia a ningú en particular.

Al voltant de 1770 es va terminar el treball de triangulació necessari per a realisar la medició d'un meridiano en França, si s'exceptua la llabor d'alguns operadors de Cassini que varen continuar materialisant la ret geodèsica del mapa de França, la malla del qual de primer orde es va publicar en la seua totalitat en 1783. La comparació de les toesas utilisades en distintes missions geodèsiques (en Laponia, en el Perú, en La Veta i en França) havia demostrat que totes estes mides eren pràcticament iguals, en màrgens d'error d'unes poques centèsimes de llínea. La toesa de Perú va ser adoptada com a estàndar i es va convertir en la toesa de l'Acadèmia. És a esta toesa a la que les medicions subsegüents devien estar relacionades. Desafortunadament, açò no va resoldre la qüestió de l'unificació de les mides, que en tot el Regne de França (sense mencionar atres nacions) varen mantindre feroçment la seua independència anàrquica, a pesar de varis intents d'unificació. Esta situació, que va resultar ser greu en les seues conseqüències en vàries ocasions, ya no podia durar eternament, pero les coses no varen canviar fins que l'Assamblea Constituent va nomenar en 1790 (un any despuix de l'inici de la revolució francesa), a proposta de Charles Maurice de Talleyrand (1754-1838), una comissió composta pels reputats científics Jean-Charles de Broda (1733-1799), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Gaspard Monge (1746-1818) i Nicolas de Condorcet (1743-1794). Este últim va presentar un informe el 19 de març de 1791 en el que proponia una doble opció per a unificar les mides de llongitut: l'unitat seria la llongitut d'una péndola en un semiperíodo d'un segon en la latitut 45° al nivell de la mar, o be la dèu millonèsima part de la llongitut d'un quarto d'un meridiano terrestre. El 26 de març de 1791, l'Assamblea Constituent va adoptar este informe i el Rei Luis XVI de França, encara en representació del poder eixecutiu en este moment, va encarregar a l'Acadèmia el nomenament de comissionats per a la seua eixecució. L'astrònom Cassini IV, el matemàtic Legendre i l'astrònom Méchain varen ser els encarregats de medir el meridiano. Els dos primers pronte es varen retirar i varen ser reemplaçats pel jove astrònom Jean-Baptiste Joseph Delambre.

Treball teòric preliminar: trigonometria esferoidal

Abans de descriure breument este nou meridiano de París, també cridat “Meridiano de Delambre i Méchain”, convé recordar que durant els vint o trenta anys anteriors a la revolució francesa, la geodèsia havia posat a prova la sagacitat de destacats científics, com Euler, Monge o Laplace en relació en una série de temes d'estudi: la força d'atracció gravitatoria en un elipsoide, la teoria de l'equilibri de cossos en rotació, i la teoria general de superfícies. Les solucions a estos problemes teòrics varen demostrar ser de gran interés per a tractar aplicacions geodèsiques de caràcter pràctic. Aixina, Euler en 1760 i després Monge en 1771 varen definir els elements fonamentals de la geometria de les superfícies, branca que es convertiria en la geometria diferencial, que va incloure la definició d'elements com la curvatura, les llínees dibuixades sobre superfícies, les llínees geodèsiques i les llínees de curvatura. Meusnier va formular en 1776 una teorema que jugaria un paper important en la geometria diferencial. En 1773, Laplace, llavors de 24 anys, alumne i protegit de D'Alembert, va publicar les seues primeres memòries de mecànica celest, en les que es va ocupar de l'estabilitat dels eixos principals de les òrbites planetàries.

En 1785, es va presentar una memòria a l'Acadèmia en la que Legendre va introduir la noció de potencial, idea que assignava expressament a Laplace, fundant la teoria de funcions esfèriques, una ferramenta matemàtica essencial en la geodèsia teòrica. En este mateix any de 1785 també es va publicar una memòria de Laplace titulada Teoria de les atraccions dels esferoides i la forma dels planetes a la que va seguir en 1786 una Memòria sobre la forma de la Terra. Laplace va combinar en esta obra vàries medicions d'arcs de meridiano per a obtindre un achatamiento de la Terra d'1/250, mentres que pel método gravimétrico, d'acort en el teorema de Clairaut, s'obtenia un resultat de tan sol 1/321. Encara en 1785, l'astrònom Lalande (1732-1807) havia obtingut per la mateixa teoria de Clairaut un aplanamiento d'1/302. Dos anys més tart, en 1787, Legendre va publicar la seua Memòria sobre operacions trigonométricas, els resultats de les quals depenen de la forma de la Terra, a on enuncia en particular, sense demostrar-ho, una teorema que s'ha fet famós i que du el seu nom. En este document s'estudiaven les fòrmules necessàries per a la reducció i el càlcul dels triànguls en la superfície d'un esferoide, situant sobre bases sòlides la trigonometria esferoidal. Esta última constituïx una generalisació de la trigonometria esfèrica, una extensió la necessitat de la qual ya s'havia sentit en el treball del meridiano de Jean Dominique i de Jacques Cassini, pero que no havia segut tractada de manera del tot satisfactòria en els treballs teòrics de Clairaut (que dataven de 1733 i 1739), d'Euler (que dataven de 1744) i d'Achille Pierre Dionis du Séjour (que dataven de 1778). Les fòrmules de Legendre es varen aplicar als triànguls formats entre Dunkerque i Greenwich en estendre el meridiano de Delambre i Méchain cap a Anglaterra.

Hi ha una demostració de el "teorema de Legendre" i les fòrmules per a resoldre un dels problemes inversos, en el cas particular en que un dels costats del triàngul esferoidal és molt menut en comparació als demés, en un treball de Delambre publicat en 1799 i titulat Métodos analítics per a la determinació d'un arc del Meridiano en París. Este llibre conté al principi (pàgines 1-16) un breu artícul de Legendre en el que explica el "Método per a determinar la llongitut exacta del quarto de meridiano". No obstant, Legendre encara no demostra la teorema que du el seu nom, sino que deixa esta tasca (per al cas particular citat) a Delambre. De fet, és en l'obra en qüestió a on figura el primer text que aporta la teoria completa de la trigonometria esferoidal aplicada al càlcul de la llínea meridiana i l'excentricitat de l'elipsoide terrestre.

L'obra de Delambre, l'objectiu essencial de la qual és resumir l'aparat matemàtic utilisat entre 1793 i 1799 per als càlculs del nou metro, dona explícitament, en fer-la operativa, la teoria de l'arc independent del achatamiento terrestre. És un primer gran resultat que la nova trigonometria esferoidal oferix a la geodèsia, i que tindrà la seua importància en els posteriors treballs geodèsics per a fonamentar el sistema mètric.

Baixe l'efecte de les operacions geodèsiques que aumentarien ràpidament no solament en França sino també en els països veïns, especialment pels èxits militars obtinguts pels eixèrcits revolucionaris i després napoleònics, la trigonometria esferoidal es va convertir en una branca per dret propi de la geodèsia teòrica, passant a ser una teoria matemàtica autònoma. En primer lloc, és en 1806 quan Legendre prova per primera volta la seua teorema en tota generalitat, i insistix en l'independència del seu resultat sobre el achatamiento de l'esferoide considerat, de la latitut del vèrtiç del triàngul estudiat i de les direccions assimutals dels costats. L'obra en la que Legendre va resoldre aixina el problema fonamental de la trigonometria esferoidal du per títul "Anàlisis de triànguls traçats sobre la superfície d'un esferoide". Després, el mateix any 1806 va aparéixer en Itàlia un treball titulat Elementi vaig donar trigonometria sferoidica en el que Barnabá Oriani (1752-1832), ya conegut pels seus bells treballs geodèsics, completa una miqueta la teoria de Legendre. Oriani determina les tres equacions fonamentals de la trigonometria esferoidal, desenrollant-les en série i truncant-les a un orde arbitrari d'aproximació, i resol el problema invers de trobar la latitut d'un punt en un esferoide a partir de la latitut i del azimut d'un atre punt en la llínea geodèsica, suponent que es coneix la distància entre els dos punts. De fet, este treball de Oriani presenta la solució completa dels dotze problemes més importants de la trigonometria esferoidal. Esta teoria encara va conéixer una miqueta més alvance alguns desenrolls d'orde pràctic baix l'impuls de Louis Puissant (1769-1843), pero en lo essencial es pot considerar que constituïa una disciplina ya madura a partir de 1806.

Progrés científic en geodèsia

Mentres que es realisaven numerosos alvanços en la geodèsia teòrica, la geodèsia observacional no estava ociosa. En primer lloc, deuen recordar-se els experiments en 1775 de Nevil Maskelyne en el monte Schiehallion (en Escòcia) per a determinar la massa de la Terra. Per un atre costat, encara que no es tracta d'una observació geodèsica en sentit estricte sino d'un gran descobriment astronòmic, cal mencionar l'observació, el 13 de març de 1781, del nou planeta Urà, realisada per William Herschel usant un telescopi de la seua pròpia fabricació, que en eixe moment podria dir-se que era el millor del món. Herschel no va anar inicialment un astrònom, sino un músic enamorat de l'òptica i la cultura científica. De la mateixa manera que el seu compatriota, el gran músic Haendel, va nàixer en Hannover i havia emigrat a Anglaterra seguint al rei Jorge III del Regne Unit. És l'autor d'atres descobriments astronòmics importants, en particular dels sistemes d'estreles dobles observats en 1782, i del moviment de sistema solar cap a un ápex ubicat en la constelació d'Hércules. Posteriorment, en 1802, Herschel va advertir que l'espectre de la llum solar s'estenia cap a freqüències més baixes que les de la llum roja, descobrint aixina la radiació infrarroja.

En 1783, Jean-François Pilâtre de Rozier va realisar un primer ascens en un globo aerostático. En 1787, Jean-Charles de Broda va descriure les millores que convenia aportar als instruments de geodèsia i este mateix any es va escomençar a treballar en el nou círcul repetidor de Broda en les prolongacions del meridiano de França. Primer, segons una proposta anterior de Cassini de Thury, es varen portar a terme operacions d'enllaç entre l'Observatori de París i el Real Observatori de Greenwich en els suburbis de Londres. L'enllaç va ser realisat conjuntament pel general britànic William Roy (1726-1790) per Anglaterra, i per Cassini de Thury, Méchain i Legendre per França. El meridiano de La Caille, prolongat fins a Calais, el veta Blanc-Nez i el mont Lambert prop de Boulogne-sur-Mer va permetre la conexió en la costa anglesa en Dover i Fairlight Down. Una cadena geodèsica formada per una vintena de triànguls unia estos vèrtiços en Greenwich del costat anglés.

La medició del meridiano

En 1791, l'Acadèmia de Ciències de França va decidir definir el metro com una diezmillonésima part de la distància des de l'equador fins al pol nort o sur. Esta nova definició va reemplaçar a una proposta de definició anterior basada en el periodo d'una péndola, perque la llaugera variació de la força de gravetat de la Terra sobre la seua superfície afecta al periodo de la péndola. Per a establir una base universalment acceptada per a la definició del metro, es necessitaven realisar medicions més precises d'un meridiano. L'Acadèmia de Ciències de França va encarregar la realisació d'una expedició dirigida per Jean-Baptiste Joseph Delambre i Pierre Méchain, que va durar des de 1792 fins a 1799, en el propòsit de medir en la major precisió possible la distància entre un campanar en Dunkerque i el castell de Montjuïc en Barcelona. Esta secció del meridiano, que se supon que tenia la mateixa llongitut que el meridiano de París, serviria com a base per a determinar la llongitut del arc de meridiano que conecta el Pol Nort en l'Equador.

A finals de juny 1792, Delambre i Méchain junt en els seus operaris varen iniciar l'eixecució dels treballs de medició del meridiano que els havia encomanat un decret de 1791 per a determinar exactament la llongitut Q d'un quarto de meridiano, en l'objectiu de fixar el valor del metro per la relació:

• 1 metro = 10^–7 Q

Una volta iniciats els treballs, Delambre va tindre molts contactes en la Guàrdia Nacional local entre 1792 i 1793, i a penes va poder treballar de manera efectiva. Méchain, mentrestant, s'havia anat a Espanya, i gojant de condicions climàtiques i d'una visibilitat excepcionals, havia pres mides en nou estacions en dos mesos i havia començat les observacions astronòmiques necessàries en Montjuïc, en les rodalies de Barcelona. També va pensar en unir les illes Balears a la cadena de triangulació del continent. Pero va ser víctima d'un greu accident que ho va immovilisar durant casi un any. Ademés, la guerra franc-espanyola declarada el 7 de març de 1793 va supondre la paralisació dels treballs, per lo que va aprofitar esta detenció per a recalcular la latitut de la ciutat catalana. Desafortunadament per a ell, la seua segona medició no va coincidir en la primera, i posteriorment mai podria realisar els treballs necessaris per a comprovar esta medició, per lo que retornaria a França en un estat d'estrés que es va convertir en depressió.

Delambre va escriure en una nota que havia elegit una de les dos versions de les senyes de Méchain, pero que no ho faria saber al públic, ya que va considerar que la gent no necessitava conéixer estos detalls.

Una volta en França, Méchain va poder participar en els treballs finals del tram de meridiano entre Dunkerque i Perpinyà, sent designat per al càrrec de director del Observatori de París que posteriorment quedaria baix la responsabilitat del Bureau dones Llongituts. Pero el proyecte de prolongar el meridiano de França a Balears seguia en l'agenda, i Méchain ho va reprendre en 1803. Desafortunadament, no va poder completar-ho, perque va morir sobtadament de febra groga en Castelló de la Plana el 20 de setembre de 1804. La finalisació de l'alçament geodèsic es va encomanar, a proposta de Laplace, a Jean Baptiste Biot (1776-1862) i a François Arago (1786-1853). El treball va començar novament en 1807 i es va terminar en 1808.

Resultat de la medició

El problema en l'enfocament donat a la medició del meridiano és que la forma exacta de la Terra no és una forma matemàtica simple, com una esfera o un esferoide, una condició necessària per a poder definir en el nivell de precisió requerit un estàndart de llongitut. La forma irregular i particular de la Terra suavisada al nivell de la mar està representada per un model matemàtic cridat geoide, que lliteralment significa "en forma de Terra". A pesar d'estos problemes, en 1793 França va adoptar esta definició del metro com la seua unitat oficial de llongitut, basant-se en els resultats provisionals d'esta expedició. No obstant, posteriorment es va determinar que la primera barra del metro prototip era curta en aproximadament 200 micrómetros en part per un error de càlcul del achatamiento de la Terra, lo que feya que el prototip fora un 0,02% més curt que la definició original proposta del metro. Independentment, esta llongitut es va convertir en l'estàndart francés i va ser adoptada progressivament per atres països d'Europa. És per això que la circumferència polar de la Terra és de 40.008 km, en lloc de 40.000 km.