Elipsoide de referència

Un elipsoide terrestre^[1] o esferoide terrestre és una figura matemàtica que s'aproxima a la forma de la Terra, i que s'utilisa com sistema de referència per als càlculs en geodèsia, astronomia i les ciències de la Terra. S'han utilisat varis elipsoides diferents com a aproximacions.

És un esferoide (un elipsoide de revolució)^[2] que el seu eix menor (diàmetro més curt), que conecta el pol nort i el pol sur geogràfics, està aproximadament alineat en l'eix de rotació de la Terra. L'elipsoide està definit pel eix equatorial ( $a$ ) i el eix polar ( $b$ ); la seua diferència radial és llaugerament superior a 21 km, o el 0,335 % de $a$ (que no és exactament 6400 km).

Existixen molts métodos per a determinar els eixos d'un elipsoide terrestre, que van des de la medició d'arcs de meridiano fins a la geodèsia satelital moderna o l'anàlisis i interconexió de les rets geodèsiques continentals. Entre els diferents conjunts de senyes que han segut i són utilisats per les agències cartogràfiques nacionals hi ha varis d'especial importància: l'elipsoide de Bessel de 1841, l'elipsoide de Hayford internacional de 1924 i (per al posicionament dels GPS) l'elipsoide del Sistema Geodèsic Mundial.

Història

En els primers models sobre la forma de la terra s'amprava l'esfera, utilisada ya des de l'Antiga Grècia.

En el XVII, hi havia dubtes sobre si la Terra seria una esfera perfecta o no. El 1688, Isaac Newton va resoldre una controvèrsia en Giovanni Domenico Cassini demostrant matemàticament^[3] que la rotació de la Terra generaria un achatamiento en la zona dels pols, i no en l'equador. En la pràctica això no va ser comprovat fins a mig sigle més tart, per part de dos expedicione que l'Acadèmia Francesa de Ciències va enviar per a resoldre la qüestió: una d'elles, dirigida per Pierre Louis Maupertuis (1736-1737), va viajar fins al vall del Torne (prop del pol nort de la Terra); i l'atra, baix el mando de Pierre Bouguer (1735-1744) i Alexis-Claude Clairaut, coneguda com la missió geodèsica francesa, es va dirigir a lo que és l'actual territori de l'Equador, prop de l'equador terrestre. Les seues mides varen demostrar que la Terra era achatada, en un aplanamiento d'1:210. Esta aproximació a la forma real de la Terra es va convertir en el nou elipsoide de referència.

La medició del arc de meridiano va dur en 1791 a la definició del metro com la 10 millonèsima part de la distància idealizada entre el pol i l'equador. Per diferents errors en la medició, que va resultar ser un 0,022% massa curta, es va redefinir en dos ocasions, en 1793, i en 1799. El valor de 1799 es va mantindre durant molts anys com la definició oficial, encara que és un 0,197 ‰ massa curt. En 1983, el metro va ser redefinit com la distància que recorre la llum en el buit en una certa cantitat de temps.

En 1671 un astrònom francés, Jean Richer (1630-1696), va ser enviat per Luis XIV a l'illa de Cayena, en la Guayana francesa per a realisar algunes observacions astronòmiques. El seu rellonge va ser ajustat de manera que la péndola, d'1 metro de llongitut, marcava en exactitut els segons en París (quan la péndola és curta, el seu ritme és més ràpit que quan és llarc). En aplegar a Cayena, que està prop de l'Equador, Richer es va trobar en que el rellonge atrassava prop de dos minuts i mig per dia. Tan pronte com varen ser publicades les lleis de Newton sobre la gravitació (1687) es va poder atribuir el retart del rellonge en Cayena a algun factor que reduïa el valor de la gravetat prop de l'Equador. Pronte es va aplegar a la conclusió de que el menor valor de la gravetat es devia a que la regió equatorial està més llunt del centre de la Terra que les regions situades més al nort o més al sur. Llavors, des d'eixe moment les mides més exactes han revelat que la verdadera forma de la Terra s'assembla a una esfera que ha segut comprimida en els eixos polars i que està llaugerament abultada al voltant de l'Equador. Eixa forma és coneguda, entre atres noms, com a elipsoide achatado.

Tipos

Existixen dos tipos d'elipsoide: mig i de referència.

Un conjunt de senyes que descriu el promig global de la curvatura de la superfície terrestre es denomina elipsoide terrestre mig. Fa referència a una coherència teòrica entre la latitut i la curvatura meridional del geoide. Este últim és propenc al nivell de la mar i, per lo tant, un elipsoide terrestre ideal té el mateix volum que el geoide.

Mentres que l'elipsoide mig de la Terra és la base ideal de la geodèsia global, per a les rets regionals els denominats elipsoide de referència poden ser la millor opció.^[4] Quan les medicions geodèsiques deuen calcular-se sobre una superfície de referència matemàtica, esta superfície deu tindre una curvatura similar a la del geoide regional; de lo contrari, la reducció de les medicions contindrà chicotetes distorsió.

Esta és la raó de la llarga vida dels antics elipsoide de referència com el de Hayford o el de Bessel, a pesar del fet de que els seus eixos principals es desvien varis centenars de metros dels valors moderns. Una atra raó és judicial: per a evitar problemes de delimitació, lo desijable és que les coordenades dels millons de fites que permeten fixar els llímits parcelarios permaneixquen sense canvis durant el major temps possible. Si la seua superfície de referència canvia, les seues coordenades també canvien.

No obstant, per a les rets internacionals, el posicionament GPS o l'astronáutica, estes raons regionals són menys rellevants. Com el coneiximent de la forma de la Terra és cada volta més precís, l'Unió Geocientífica Internacional IUGG generalment adapta els eixos de l'elipsoide de la Terra a les millors senyes disponibles.

Elipsoide de referència

En geodèsia, un elipsoide de referència és una superfície definida matemàticament que s'aproxima a la verdadera i imperfecta forma de la Terra (o de qualsevol atre cos planetari), en oposició a una esfera perfecta, plana i inalterada. Per la seua relativa simplicitat, els elipsoide de referència s'utilisen com la superfície preferida en la que es realisen els càlculs de les rets geodèsiques i es definixen les coordenades dels seus vèrtiços per mig del seu latitut, la seua llongitut i la seua elevació.

En el context de l'estandardisació i les aplicacions geogràfiques, un elipsoide de referència geodèsic és el model matemàtic utilisat com a base per les definicions d'un sistema de referència espacial o d'un sistema de referència geodèsic.

Paràmetros elipsoidales

En geofísica, geodèsia i atres àrees relacionades, la paraula elipsoide s'entén com un elipsoide oblato de revolució, i el terme més antic esferoide oblato a penes s'utilisa.^[5]^[6] Per als cossos que no es poden aproximar be per mig d'un elipsoide de revolució s'utilisa un elipsoide triaxial (o escaleno).

La forma d'un elipsoide de revolució està determinada pels paràmetros de forma de l'elipse que ho definix. El semieix major de la elipse, $a$ , es convertix en el radi equatorial de l'elipsoide: el semieix menor de la elipse, $b$ , es convertix en la distància des del centre fins a cada pol. Estes dos llongituts especifiquen completament la forma de l'elipsoide.

No obstant, en les publicacions de geodèsia, és comuna especificar el semieix major (ràdio equatorial) $a$ i l'achatamiento $f$ , definit com:

f = \frac{a - b}{a} .

És dir, $f$ és la cantitat de aplanamiento en cada pol, en relació en el radi en l'equador. Açò a sovint s'expressa com una fracció 1/ $m$ ; $m = 1/ f$ és llavors el invers del aplanamiento. En geodèsia s'utilisen molts uns atres paràmetros de la elipse, pero tots ells es poden relacionar en un o dos dels mencionats anteriorment ( $a$ , $b$ i $f$ ).

En el passat s'han utilisat molts elipsoide per a modelar la Terra, en distints valors assumits de $a$ i $b$ , aixina com distintes posicions assumides del centre i distintes orientacions de l'eix en relació en la Terra sòlida. A partir de finals de el XX, s'han millorat les medicions de les òrbites dels satèlits i les posicions de les estreles han proporcionat determinacions extremadament precises del centre de masses de la Terra i del seu eix de revolució, i eixos paràmetros s'han adoptat també per a tots els elipsoide de referència moderns.

L'elipsoide WGS-84, àmpliament utilisat per a cartografia i navegació per satèlit, té un $f$ propenc a 1/300 (més precisament, 1/298,257223563, per definició), lo que correspon a una diferència dels semieixos major i menor d'aproximadament Error de Lua: expandTemplate: template "es:formatnum" does not exist. (més precisament, 21,3846857548205 km). En comparació, la Lluna és inclús menys elíptica, en un aplanamiento de menys d'1/825, mentres que el planeta Júpiter és visiblement achatado en aproximadament 1/15 i una de les llunes del planeta Saturn, Telesto, és altament aplanada, i es modeliza per mig d'un elipsoide triaxial en $f$ comprés entre 1/3 i 1/2 (lo que significa que el diàmetro polar està entre el 50% i el 67% de l'equatorial.

Determinació

La mida del arc de meridiano és el método utilisat històricament per a determinar l'elipsoide. Dos medicions d'un arc de meridiano permeten deduir els dos paràmetros necessaris per a determinar un elipsoide de referència. Per eixemple, si les medicions es realisen hipotèticament exactament sobre el pla de l'equador i qualsevol dels pols geogràfics, els radis de curvatura aixina obtinguts estarien relacionats en el radi equatorial i el radi polar, respectivament a i b (vejau: ràdio de curvatura polar i equatorial de la Terra). Llavors, l'achatamiento s'obtindria fàcilment de la seua definició:

f = (a - b) / a

.

Per a dos medicions d'arc cada una en latitut intermiges arbitràries $φ_{i}$ , $i = 1, 2$ , la solució comença a partir d'una aproximació inicial per al radi equatorial $a_{0}$ i per al aplanamiento $f_{0}$ . El ràdio terrestre teòric $M_{0} (φ_{i})$ es pot calcular en la latitut de cada medició d'arc com:

M_{0} (φ_{i}) = \frac{a (1 - e^{2})}{(1 - e_{0}^{2} \sin^{2} φ_{i})^{\frac{3}{2}}}

a on $e_{0}^{2} = 2 f_{0} - f_{0}^{2}$ .^[7]

Llavors, les discrepàncies entre els valors empírics i teòrics del radi de curvatura es poden expressar com $δ M_{i} = M_{i} - M_{0} (φ_{i})$ . Finalment, les correccions per al radi equatorial inicial $δ a$ i el aplanamiento $δ f$ es poden resoldre per mig d'un sistema d'equacions llineals formulat a través de la linealización de $M$ :^[8]

δ M_{i} \approx δ a (\partial M / \partial a) + δ f (\partial M / \partial f)

a on les derivades parcials són:^[8]

\partial M / \partial a \approx 1

\partial M / \partial f \approx - 2 a_{0} (1 - 1.5 \sin^{2} φ_{i})

Els arcs més llarcs en múltiples determinacions de latitut intermija poden determinar completament l'elipsoide que millor s'ajusta a la regió estudiada. En la pràctica, s'utilisen múltiples medicions d'arc per a determinar els paràmetros de l'elipsoide per mig del método d'ajust per mínims quadrats. Els paràmetros determinats són generalment el semieix major, $a$ , i qualsevol dels semieixos menors, $b$ , l'achatamiento o l'excentricitat.

Els errors de medició a escala regional observats en les medicions del radi de curvatura reflectixen el geoide i la deflexión de la vertical, com es detalla en l'artícul dedicat a la nivellació astrogeodésica.

La gravimetria és una atra tècnica utilisada per a determinar el aplanamiento de la Terra, aplicant el teorema de Clairaut.

El geodèsia moderna ya no s'utilisa la medició d'arcs de meridiano simples o rets de triangulació terrestre, sino que es recorre als métodos de geodèsia satelital, i especialment a la gravimetria.

== Coordenades geodèsiques ==

Vore també: Coordenades geodèsiques

Elipsoide terrestres històrics

Archiu:WGS-84mean Earth radius.svg

Ràdios equatorial (

a

), polar (

b

) i mig de la Terra segons es definix en la revisió de 1984 del Sistema Geodèsic Mundial (no a escala)

Els models de elipsoide de referència que s'enumeren a continuació han segut útils en el treball geodèsic, i molts d'ells encara s'utilisen. Els elipsoide més antics duen el nom de la persona que els va definir i s'indica l'any de desenroll. En 1887, un topógrafo anglés, el coronel Alexander Ross Clarke, va rebre la Medalla d'Or de la Royal Society pel seu treball en la determinació de la figura de la Terra. L'elipsoide internacional va ser desenrollat per John Fillmore Hayford en 1910 i adoptat per l'Unió Internacional de Geodèsia i Geofísica (IUGG) en 1924, que ho va recomanar per al seu us internacional.^[9]

En la reunió de 1967 de la IUGG celebrada en Lucerna, Suïssa, es va recomanar l'adopció de l'elipsoide denominat GRS-67 (Geodetic Reference System 1967).^[10] No es va recomanar que el nou elipsoide substituïra a l'Elipsoide Internacional (1924), pero es va advocar pel seu us quan es requerira un major grau de precisió. Va passar a formar part de el GRS-67, que va ser aprovat i adoptat en la reunió de 1971 de la IUGG celebrada en Moscou. Es va utilisar en Austràlia per al Datum Geodèsic Australià i en el South American Datum de 1969.

El GRS-80 (Sistema de Referència Geodética de 1980), aprovat i adoptat per la IUGG en la seua reunió de Canberra, Austràlia, de 1979, es va basar en el radi equatorial (semieix major de l'elipsoide terrestre) $a$ , la massa total $G M$ , el factor de forma dinàmic $J_{2}$ i la velocitat angular de rotació $ω$ , lo que convertix el aplanamiento invers $1 / f$ en una cantitat derivada. La mínima diferència en $1 / f$ observada entre el GRS-80 i el WGS-84 resulta d'una truncació involuntària en les constants definitorias d'este últim: mentres que el WGS-84 va ser dissenyat per a adherir-se estretament a el GRS-80, incidentalment el aplanamiento derivat de l'elipsoide WGS-84 va resultar ser llaugerament diferent del aplanamiento de l'elipsoide GRS-80 perque el coeficient gravitacional harmònic zonal de segon grau normalisat, que es va derivar del valor GRS-80 per a $J_{2}$ , es va truncar a huit dígits significatius en el procés de normalisació.^[11]

Un model elipsoidal descriu solament la geometria de l'elipsoide i una fòrmula del camp de gravetat normal que ho acompanya. Comunament, un model elipsoidal és part d'un datum geodèsic més ampli. Per eixemple, l'antic ED-50 (European Datum 1950) es basa en l'elipsoide de Hayford. El sistema de el WGS84 és peculiar en el sentit de que s'utilisa el mateix nom tant per al sistema de referència geodèsic complet com per al model elipsoidal. No obstant, els dos conceptes (model elipsoidal i sistema de referència geodèsic) seguixen sent distints.

Note's que el mateix elipsoide pot conéixer-se per diferents noms. Per a establir una identificació inequívoca, és millor mencionar les constants que ho definixen.

Nom de l'elipsoide de referència	Ràdio equatorial (m)	Ràdio polar (m)	Aplanamiento invers	On s'utilisa
Maupertuis (1738)	6.397.300	6.363.806,283	191	França
Plessis (1817)	6.376.523,0	6.355.862,9333	308,64	França
Everest (1830)	6.377.299,365	6.356.098,359	300,80172554	Índia
Everest 1830 Modified (1967)	6.377.304,063	6.356.103,0390	300,8017	Malàsia Occidental & Singapur
Everest 1830 (1967 Definition)	6.377.298,556	6.356.097,550	300,8017	Brunei & Malàsia Oriental
Airy (1830)	6.377.563,396	6.356.256,909	299,3249646	Gran Bretanya
Bessel (1841)	6.377.397,155	6.356.078,963	299,1528128	Europa. Japó
Clarke (1866)	6.378.206,4	6.356.583,8	294,9786982	Amèrica del Nort
Clarke (1878)	6.378.190	6.356.456	293,4659980	Amèrica del Nort
Clarke (1880)	6.378.249,145	6.356.514,870	293,465	França. Àfrica
Helmert (1906)	6.378.200	6.356.818,17	298,3	Egipte
Hayford (1910)	6.378.388	6.356.911,946	297	Estats Units
International (1924)	6.378.388	6.356.911,946	297	Europa
Krassovsky (1940)	6.378.245	6.356.863,019	298,3	URSS. Rússia. Romania
WGS66 (1966)	6.378.145	6.356.759,769	298,25	Estats Units/Departament de Defensa
Australian National (1966)	6.378.160	6.356.774,719	298,25	Austràlia
New International (1967)	6.378.157,5	6.356.772,2	298,24961539
GRS-67 (1967)	6.378.160	6.356.774,516	298,247167427
South American (1969)	6.378.160	6.356.774,719	298,25	Amèrica del Sur
WGS-72 (1972)	6.378.135	6.356.750,52	298,26	Estats Units/Departament de Defensa
GRS-80 (1979)	6.378.137	6.356.752,3141	298,257222101	Global ITRS^[12]
WGS-84 (1984)	6.378.137	6.356.752,3142	298,257223563	Global GPS
Servici Internacional de Rotació de la Terra i Sistemes de Referència (1989)	6.378.136	6.356.751,302	298,257
IERS (2003)^[13]	6,378,136.6	6,356,751.9	298.25642	^[12]

Vore també

Referències

↑ Qihe Yang, John Snyder, Waldo Tobler (1999). Map Projection Transformation: Principles and Applications, CRC Press, pp. 13 de 384. ISBN 9780748406678.
↑ Earl F. Burkholder (2017). The 3-D Global Spatial Data Model: Principles and Applications, Second Edition, CRC Press, pp. 151 de 524. ISBN 9781498722179.
↑ Sir Isaac Newton (1729). The mathematical principles of natural philosophy, imprés - Benjamin Motte, pp. 239–. Consultat el 12 d'agost de 2012.
↑ “The Numerics of Computing Geodetic Ellipsoids” (1985). SIAM Review 27 (2): 241–247. doi:10.1137/1027056. Bibcode: 1985SIAMR..27..241A.
↑ Torge, W (2001) Geodesy (3rd edition), published by de Gruyter, ISBN 3-11-017072-8
↑ Snyder, John P. (1993). Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, p. 82. ISBN 0-226-76747-7.
↑ Snyder, John P. (1987). Map Projections — A Working Manual, Washington, D.C.: Government Printing Office, p. 17.
↑ ^8,0 ^8,1 Bomford, G. (1952). Geodesy.
↑ Martin Vermeer, Antti Rasila (2019). Map of the World: An Introduction to Mathematical Geodesy, CRC Press, pp. 131 de 289. ISBN 9780429556500.
↑ (2013) Advances in Positioning and Reference Frames: IAG Scientific Assembly Rio de Janeiro, Brazil, September 3–9, 1997, Springer Science & Business Media, pp. 1 de 398. ISBN 9783662037140.
↑ NIMA Technical Report TR8350.2, "Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships With Local Geodetic Systems", Third Edition, 4 July 1997 [1]
↑ ^12,0 ^12,1 cal senyalar que les millors estimacions actuals, proporcionades per les Convencions IERS, "no deuen confondre's en valors convencionals, com els de el Sistema de Referència Geodèsic GRS80... que s'utilisen, per eixemple, per a expressar coordenades geogràfiques". (chap. 1); cal senyalar ademés que "les solucions ITRF s'especifiquen per mig de coordenades equatorials cartesianes X, I i Z. Si és necessari, es poden transformar en coordenades geogràfiques (λ, φ, h) referides a un elipsoide. En este cas, es recomana l'elipsoide GRS80". (chap. 4).
↑ IERS Conventions (2003) [2] archivat en Wayback Machine. (Chp. 1, page 12)

Bibliografia

P. K. Seidelmann (president), et al. (2005), Informe del grup de treball UAI/IAG sobre coordenades cartogràfiques i elements rotacionales: 2003, Mecànica celest i astronomia dinàmica, 91, págs. 203-215.
Direcció web: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE
Especificació d'implementació de OpenGIS per a informació geogràfica - Accés simple a característiques - Part 1: Arquitectura comuna, Anex B.4. 2005-11-30
Direcció web: https://www.opengeospatial.org

Enllaços externs

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Elipsoide de referencia» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[QYJSWT-1] Qihe Yang, John Snyder, Waldo Tobler (1999). Map Projection Transformation: Principles and Applications, CRC Press, pp. 13 de 384. ISBN 9780748406678.

[EFB-2] Earl F. Burkholder (2017). The 3-D Global Spatial Data Model: Principles and Applications, Second Edition, CRC Press, pp. 151 de 524. ISBN 9781498722179.

[Newton1729-3] Sir Isaac Newton (1729). The mathematical principles of natural philosophy, imprés - Benjamin Motte, pp. 239–. Consultat el 12 d'agost de 2012.

[4] “The Numerics of Computing Geodetic Ellipsoids” (1985). SIAM Review 27 (2): 241–247. doi:10.1137/1027056. Bibcode: 1985SIAMR..27..241A.

[torge-5] Torge, W (2001) Geodesy (3rd edition), published by de Gruyter, ISBN 3-11-017072-8

[flattening-6] Snyder, John P. (1993). Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, p. 82. ISBN 0-226-76747-7.

[7] Snyder, John P. (1987). Map Projections — A Working Manual, Washington, D.C.: Government Printing Office, p. 17.

[Bomford1052-8] 8,0 ^8,1 Bomford, G. (1952). Geodesy.

[MVAR-9] Martin Vermeer, Antti Rasila (2019). Map of the World: An Introduction to Mathematical Geodesy, CRC Press, pp. 131 de 289. ISBN 9780429556500.

[AIP-10] (2013) Advances in Positioning and Reference Frames: IAG Scientific Assembly Rio de Janeiro, Brazil, September 3–9, 1997, Springer Science & Business Media, pp. 1 de 398. ISBN 9783662037140.

[11] NIMA Technical Report TR8350.2, "Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships With Local Geodetic Systems", Third Edition, 4 July 1997 [1]

[IERS-12] 12,0 ^12,1 cal senyalar que les millors estimacions actuals, proporcionades per les Convencions IERS, "no deuen confondre's en valors convencionals, com els de el Sistema de Referència Geodèsic GRS80... que s'utilisen, per eixemple, per a expressar coordenades geogràfiques". (chap. 1); cal senyalar ademés que "les solucions ITRF s'especifiquen per mig de coordenades equatorials cartesianes X, I i Z. Si és necessari, es poden transformar en coordenades geogràfiques (λ, φ, h) referides a un elipsoide. En este cas, es recomana l'elipsoide GRS80". (chap. 4).

[13] IERS Conventions (2003) [2] archivat en Wayback Machine. (Chp. 1, page 12)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]