Mapa regular (teoria de grafos)

Vore també: Mapa regular (geometria algebraica)

Archiu:Hexagonal Hosohedron.svg

El hosoedro hexagonal, un mapa regular sobre l'esfera en dos vèrtiços, sis arestes, sis cares i 24 banderes

Archiu:Regmap-6340.png

El mapa regular {6,3}_4,0 sobre un bou, en 16 cares, 32 vèrtiços i 48 arestes

En matemàtiques, un mapa regular és un teselado simètric d'una superfície tancada. Més precisament, és una descomposició d'una varietat bidimensional (com una esfera, un bou o un pla proyectivo) en discs topològics de tal manera que cada bandera (una triple incidència de vèrtiç-aresta-cara) es pot transformar en qualsevol atra bandera per mig d'una simetria de la descomposició. Els mapes regulars són, en cert sentit, generalisacions topològiques dels sòlits platònics. La teoria de mapes i la seua classificació està relacionada en la teoria de les superfícies de Riemann, la geometria hiperbòlica i la teoria de Galois. Els mapes regulars es classifiquen segons: el genus i l'orientabilidad de la superfície de respal, el grafo subjacent o el grup d'automorfismes.

Resumixen

Els mapes regulars generalment es definixen i estudien de tres maneres: topológicamente, en teoria de grups i en teoria de grafos.

Enfocament topològic

Topológicamente, un mapa és una descomposició 2-celes d'una 2-varietat compacta i tancada.

El genus g d'un mapa M ve dau per la relació de Euler $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ que és igual a $2-2g$ si el mapa és orientable, i $2-g$ si el mapa no és orientable. És un fet crucial que hi ha un número finito (distint de zero) de mapes regulars per a cada gènero orientable, llevat el bou.

Enfocament en teoria de grups

En teoria de grups, la representació de permutació d'un mapa regular M és un grup de permutació C transitivo, sobre un conjunt $\Omega$ de banderes, generat per tres involució lliures de punts fixos r₀, r₁ i r₂, que satisfà (r₀r₂)²= I. En esta definició, les cares són les òrbites de F = <r₀, r ₁>, les arestes són les òrbites de I = <r₀, r₂>, i els vèrtiços són les òrbites de V = <r₁,  r₂>.

De manera més abstracta, el grup d'automorfismes de qualsevol mapa regular és l'image homomórfica no degenerada d'un <2,m,n>-grup triangular.

Enfocament en teoria de grafos

Teòricament, un mapa és un grafo cúbic $\Gamma$ en arestes de color blau, groc o roig, tal que: $\Gamma$ és conexo, cada vèrtiç incidix en una aresta de cada color, i els cicles d'arestes que no són de color groc tenen una llongitut de 4. Tinga's en conte que $\Gamma$ és el grafo de banderes o mapa de grafo codificat (GEM) del mapa, definit en el conjunt de vèrtiços de banderes $\Omega$ i no és l'esquelet G= (V,I) del mapa. En general,|$\Omega$|= 4|I|.

Un mapa M és regular si Aut(M) actua regularment en les banderes. Aut(M) d'un mapa regular és transitivo en els vèrtiços, arestes i cares de M. Es diu que una funció M és reflexiva si Aut(M) és regular i conté un automorfisme $\varphi$ que fixa tant un vèrtiç v com una cara f, pero invertix l'orde de les arestes. Un mapa que és regular pero no reflexiu es diu que és quiral.

Eixemples

Archiu:Hemicube.svg

El hemicubo, un mapa regular

• El gran dodecaedre és un mapa regular en cares pentagonals en una superfície orientable de gènero 4.
• El hemicubo és un mapa regular de tipo {4,3} en el pla proyectivo.
• El hemidodecaedro és un mapa regular produït per la incrustación pentagonal del grafo de Petersen en el pla proyectivo.
• El p-hosoedro és un mapa regular de tipo {2,p}.

• El grafo de Dyck és un mapa regular de 12 octògons en una superfície de gènero 3. El seu grafo subjacent, el grafo de Dyck, també pot formar un mapa regular de 16 hexàgons en un bou.

La següent és una llista completa de mapes regulars en superfícies de característica de Euler, χ positiva: l'esfera i el pla proyectivo.

χ	g	Schläfli	Vèrtiços	Arestes	Cares	Grup	Orde	Grafo		Notes
2	0	{p,2}	p	p	2	C2 × Diedralp	4p	Cp	Archiu:Undirected 6 cycle.svg	Diedro
2	0	{2,p}	2	p	p	C2 × Dihp	4p	p-fold K2		Hosoedro
2	0	{3,3}	4	6	4	S4	24	K4	Archiu:3-simplex graph.svg	Tetraedre
2	0	{4,3}	8	12	6	C2 × S4	48	K4 × K2	Archiu:3-cube column graph.svg	Gaveta
2	0	{3,4}	6	12	8	C2 × S4	48	K2,2,2	Archiu:Complex tripartite graph octahedron.svg	Octaedre
2	0	{5,3}	20	30	12	C2 × A5	120		Archiu:Dodecahedron caps block 4 projection.svg	Dodecaedre
2	0	{3,5}	12	30	20	C2 × A5	120	K6 × K2	Archiu:Icosahedron caps block 5 projection.svg	Icosaedre
1	n1	{2p,2}/2	p	p	1	Dih2p	4p	Cp	Archiu:Undirected 6 cycle.svg	Hemi-dihedron
1	n1	{2,2p}/2	2	p	p	Dih2p	4p	p-fold K2		Hemi-hosohedron
1	n1	{4,3}/2	4	6	3	S4	24	K4	Archiu:3-simplex graph.svg	Hemicubo
1	n1	{3,4}/2	3	6	4	S4	24	2-fold K3		Hemioctaedro
1	n1	{5,3}/2	10	15	6	A5	60	Grafo de Petersen	Archiu:Petersen1 tiny.svg	Hemidodecaedro
1	n1	{3,5}/2	6	15	10	A5	60	K6	Archiu:5-simplex graph.svg	Hemiicosaedro

Les imàgens a continuació mostren tres dels 20 mapes regulars en el bou triple, etiquetats en els seus símbols de Schläfli.

• {6,4}
  {6,4}
• {4,8}
  {4,8}
• {8,4}
  {8,4}

Bibliografia

• .
• .
• .
• .
• .
• .