Invariante de Dehn

Dissecció d'un quadrat i un triàngul equilátero entre sí. No existix tal dissecció per a la gaveta i el tetraedre regular

En geometria, el invariante de Dehn d'un poliedre és un valor que s'usa per a determinar si els poliedres poden ser congruentemente disseccionats entre sí o si poden reblir l'espai. Du el nom de Max Dehn, qui ho va usar per a resoldre el tercer problema de Hilbert, que versa sobre si tots els poliedres en el mateix volum són congruentemente diseccionables entre sí. La condició trobada per Dehn pren la forma:

Dos poliedres tenen una dissecció en peces polièdriques que es poden tornar a ensamblar en qualsevol d'ells, si i solament si els seus volums i els seus invariantes de Dehn són iguals.

Un poliedre es pot tallar i tornar a ensamblar per a teselar l'espai tridimensional si i solament si el seu invariante de Dehn és zero, per lo que tindre el invariante de Dehn zero és una condició necessària per a ser un poliedre que reblix l'espai. El invariante de Dehn d'un poliedre flexible lliure d'auto-intersecció és invariante a mida que es flexiona.

El invariante de Dehn és zero per a un gaveta, pero distint de zero per als atres sòlits platònics, lo que implica que els atres sòlits no poden enlosar l'espai i que no es poden disseccionar en una gaveta. Tots els sòlits arquimedianos tenen invariantes de Dehn que són combinacions racionals dels invariantes dels sòlits platònics. En particular, l'octaedre truncat també reblix l'espai i té un invariante de Dehn zero com la gaveta.

Els invariantes de Dehn dels poliedres són elements d'un espai vectorial de dimensió infinita. Com grup abeliano, este espai és part d'una successió exacta que involucra una homologia de grup.

També es poden definir invariantes similars per a alguns atres rompecabezas de dissecció, inclós el problema de disseccionar un polígon rectilíneo entre sí per mig de corts i translacions d'eixos paralels.

Antecedents

En dos dimensions, el teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien establix que dos polígons qualssevol d'igual àrea es poden tallar en peces poligonales i tornar a ensamblarse entre sí. David Hilbert es va interessar en este resultat com una forma de axiomatizar l'àrea, en relació en els axioma de Hilbert per a la geometria euclidea. En el tercer problema de Hilbert, va plantejar la qüestió de si dos poliedres de volums iguals sempre es poden tallar en peces polièdriques i tornar a ensamblarse entre sí. L'alumne de Hilbert, Max Dehn, en la seua tesis d'habilitació de 1900, va idear el invariante de Dehn per a demostrar que açò no sempre és possible, proporcionant una solució negativa al problema de Hilbert. Encara que Dehn va formular el seu invariante de manera diferent, l'enfocament modern és descriure-ho com un valor en un producte tensorial, seguint a Jessen (1968).

Definició

La definició de l'invariante de Dehn requerix una noció de poliedre segons la que les llongituts i els ànguls diedros entre les cares estan ben definides. Més comunament, s'aplica als poliedres els llímits dels quals són varietats, incrustats en un número finit de plans en l'espai euclídeo. No obstant, el invariante de Dehn també s'ha considerat per a poliedres en geometria esfèrica o en l'espai hiperbòlic, i per a certs poliedres autocruzados en l'espai euclídeo.

Els valors de l'invariante de Dehn pertanyen a un grup abeliano definit com el producte tensorial

$ℝ{\otimes }_{\mathbb{Z}}ℝ/2\pi \mathbb{Z}.$

El factor de l'esquerra d'este producte tensorial és el conjunt de número real (en este cas que representen les llongituts de les arestes dels poliedres) i el factor de la dreta representa els ànguls diedros en radianes, donat com a números en mòdul 2π. Algunes fonts prenen els ànguls en mòdul π en lloc de mòdul 2π, o dividixen els ànguls per π i usen $ℝ/\mathbb{Z}$ en lloc de $ℝ/2\pi \mathbb{Z}$, pero açò no significa cap diferència en el producte tensorial resultant, ya que qualsevol múltiple racional de π en el factor correcte es convertix en zero en el producte.

El invariante de Dehn d'un poliedre en llongituts de vora ${\ell }_i$ i ànguls diedros de vora ${\theta }_i$ és la suma

$\sum _i{\ell }_i\otimes {\theta }_i.$

Una descripció alternativa pero equivalent de l'invariante de Dehn implica l'elecció d'una base, un subconjunt infinit $B$ dels número real de modo que cada número real es pot expressar de forma única com una suma d'un número finit de múltiples racionals d'elements de $B$. Per lo tant, com a grup aditiu, $ℝ$ és isomòrfic a ${\mathbb{Q}}^{(B)}$, la suma directa de còpies de $\mathbb{Q}$ en un sumant per a cada element de $B$. Si $B$ s'elegix en esment per a que π (o un múltiple racional de π) siga un dels seus elements, i $B^{\prime }$ siga el restant de la base en este element exclós, llavors el producte tensorial $ℝ\otimes ℝ/2\pi \mathbb{Z}$ és l'espai vectorial real (de dimensió infinita) ${ℝ}^{(B^{\prime })}$. El invariante de Dehn es pot expressar descomponent cada àngul diedro ${\theta }_i$ en una suma finita d'elements de la base

${\theta }_i=\sum _{j=0}^{k_i}{q}_{i,j}{b}_{i,j}$

a on $q_{i,j}$ és racional, $b_{i,j}$ és un dels número real en la base de Hamel, i estos elements de la base estan numerats per a que $b_{i,0}$ siga un múltiple racional de π que pertany a $B$ pero no a $B^{\prime }$. En esta descomposició, el invariante de Dehn és

$\sum _i\sum _{j=1}^{k_i}{\ell }_i{q}_{i,j}{e}_{i,j},$

a on cada $e_{i,j}$ és el vector unitari estàndar en ${ℝ}^{(B^{\prime })}$ corresponent a l'element de la base $b_{i,j}$. Deu tindre's en conte que la suma ací comença en $j=1$, per a ometre el terme corresponent als múltiples racionals de π.

Encara que la formulació de la base de Hamel sembla involucrar l'axioma d'elecció, açò pot evitar-se (quan es considera qualsevol conjunt finit específic de poliedres) restringint l'atenció a l'espai vectorial de dimensió finita generat sobre $\mathbb{Q}$ pels ànguls diedros dels poliedres. Esta formulació alternativa mostra que als valors de l'invariante de Dehn se'ls pot donar l'estructura adicional d'un espai vectorial real.

Per a un poliedre ideal en un espai hiperbòlic, les llongituts de les arestes són infinites, lo que fa que la definició habitual de l'invariante de Dehn siga inaplicable. No obstant, el invariante de Dehn es pot estendre a estos poliedres usant una horobola per a truncar els seus vèrtiços i calculant el invariante de Dehn de la manera habitual per a la forma truncada resultant, ignorant les arestes adicionals creats per este procés de truncació. El resultat no depén de l'elecció de les horósferas per a la truncació, sempre que cada una tall solament un vèrtiç del poliedre donat.