Poliedre flexible

Poliedre de Steffen, el poliedre flexible no autocruzante més simple possible

En geometria, un poliedre flexible és un poliedre (més precisament, una superfície polièdrica que carix d'algunes cares en el seu contorn exterior), la forma del qual es pot canviar contínuament sense alterar la forma de cap de les seues cares. El teorema de rigidea de Cauchy demostra que en la dimensió 3 dit poliedre no pot ser convexo (açò també és cert en dimensions superiors).

Els primers eixemples de poliedres flexibles, ara cridats octaedres de Bricard, varen ser descoberts per Bricard (1897). Són superfícies auto-intersecadas isomètriques sobre un octaedre. El primer eixemple d'una superfície flexible que no es interseca a sí mateixa en ${ℝ}^3$, la esfera de Connelly, va ser descoberta per Connelly (1977). El poliedre de Steffen és un atre eixemple de poliedre flexible que no s'auto-interseca derivat de l'octaedre de Bricard.

Conjectura de les manches

A finals de la década de 1970, Connelly i Dennis Sullivan varen formular la conjectura de les manches, afirmant que el volum d'un poliedre flexible és invariante baix flexión. Esta conjectura va ser provada per a poliedres homeomorfos a una esfera per Sabitov (1995) usant teoria d'eliminació, i després va ser provat per a superfícies polièdriques bidimensionales orientables generals per Connelly (1997). La prova estén la fòrmula de Piero della Francesca per al volum d'un tetraedre a una fòrmula per al volum de qualsevol poliedre. La fòrmula estesa mostra que el volum deu ser una raïl d'un polinomi els coeficients del qual depenen solament de les llongituts de les arestes del poliedre. Ya que les llongituts de les vores no poden canviar a mida que es flexiona el poliedre, el volum deu permanéixer en una de les finitas raïls del polinomi, en lloc de canviar contínuament.

Seccionamiento congruent

Connelly conjeturó que l'invariante de Dehn d'un poliedre flexible es manté invariante baix flexión. Açò es va conéixer com la conjectura de les manches forta o (en acabant de que es va provar en 2018) la teorema de les manches forta.

La curvatura mija total d'un poliedre flexible, definida com la suma dels productes de les llongituts de les arestes pels seus ànguls diedros exteriors, és una funció de l'invariante de Dehn que també se sap que permaneix constant mentres un poliedre es flexiona.

Vore també

• Flexágono
• Origami rígit

Bibliografia

Fonts primàries

• .
• .
• (1897).«Mémoire sur la théorie de l'octaèdre vaig articular».J. Math. Pures Appl..5(3)

113–148.

• (1977).«A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra».Publications Mathématiques de l'IHÉS.47(47)

333–338.ISSN 1618-1913.doi:10.1007/BF02684342.

• (1997).«The bellows conjecture».Beiträge zur Algebra und Geometrie.38(1)

1–10.ISSN 0138-4821.Consultat el 2 de febrer de 2021.

• .
• .

• (1995).«On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron».Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk.50(2)

223–224.ISSN 0042-1316.

• .
• .

Fonts secundàries

• .
• .
• .
• .