Teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien

Segons la teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien, un quadrat pot tallar-se en trossos que poden ser reorganisats en un triàngul d'àrea igual

En geometria, la teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien, nomenat aixina per William Wallace, Farkas Bolyai i Paul Gerwien, és una teorema relacionada en les dissecció de polígons. Contesta a la pregunta de quan un polígon pot ser construït a partir d'un atre tallant l'original en un número finito de peces, recomponent-ho en translacions i rotacions. La teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien diu que açò pot fer-se si i solament si els dos polígons tenen la mateixa àrea.

Història

Farkas Bolyai va ser el primer en formular la qüestió. Gerwien va provar la teorema en 1833, pero de fet Wallace havia provat ya el mateix resultat en 1807. Segons atres fonts, Bolyai i Gerwien haurien provat independentment la teorema en 1833 i 1835, respectivament.

Formulació

Hi ha vàries maneres en les que esta teorema pot ser formulat. La versió més comuna utilisa el concepte de «equidescomponibilidad» de polígons: dos polígons són equidescomponibles si poden ser partits en un número finito de triànguls que solament diferixen per isometría (de fet solament per la combinació d'una translació i una rotació). En este cas la teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien diu que dos polígons són equidescomponibles si i solament si tenen la mateixa àrea.

Una atra formulació s'expressa en térmens de congruència de tijera: dos polígons són congruents de tijera si poden ser descomposts en un número finito de polígons que són congruents per parelles. La congruència de tijera és una relació d'equivalència. En este cas la teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien diu que les classes d'equivalència d'esta relació contenen precisament estos polígons que tenen la mateixa àrea.

Notes sobre la demostració

Davant tot, esta prova requerix un polígon intermig. En la formulació de la teorema que utilisa congruència de tijera, l'us d'este intermig pot ser reformulat utilisant el fet que les congruència de tijera són transitivas. I com abdós polígons són congruents de tijera a l'intermig, són congruents de tijera entre sí.

La demostració d'esta teorema és constructiva i no requerix l'axioma d'elecció, encara que alguns atres problemes de dissecció (p. eix. Problema de la quadratura del círcul de Tarski) ho necessiten. En este cas, la descomposició i reensamblaje poden ser portats a terme físicament: les peces poden, en teoria, ser tallades en tijeras d'un paper i reensembladas a mà.

No obstant, el número de peces requerit per a compondre un polígon d'un atre utilisant este procediment, generalment supera de llunt el número mínim de polígons necessitat.