Problema de la quadratura del círcul de Tarski

El problema de la quadratura del círcul de Tarski és el repte, plantejat per Alfred Tarski en 1925, de prendre un círcul en el pla, dividir-ho en una série finita de peces i tornar a ensamblar les peces per a obtindre un quadrat que tinga la mateixa àrea. Açò va ser provat possible per Miklós Laczkovich en 1990, encara que la descomposició fa un us important del axioma d'elecció i no és per tant constructiva. La descomposició de Laczkovich usa al voltant de 10⁵⁰ peces diferents.

En particular, és impossible disseccionar un círcul i fer un quadrat utilisant peces que podrien ser tallades en tijeras (és dir, tenint la frontera de la curva de Jordan). Les peces usades en la demostració de Laczkovich són subconjunts no mesurables.

De fet Laczkovich va demostrar que l'ensamblage pot realisar-se usant solament translacions; les rotacions no són requerides. A lo llarc del camí, també ha demostrat que qualsevol polígon simple en el pla pot ser descompost en una série de peces finitas i tornat a ensamblar usant solament translacions per a formar un quadrat en la mateixa àrea. El teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien és un resultat relacionat pero molt més senzill: afirma que un pot conseguir tal descomposició d'un polígon simple en una série finita de peces poligonales si les translacions i les rotacions estan permeses per a l'ensamblage.

D'un resultat de Wilson (2005) es deduïx que és possible triar les peces de tal manera que poden ser mogudes contínuament mentres que queden disjuntas per a produir el quadrat. Ademés, este enunciat més fort pot ser provat també per a que es conseguixca solament per mig de translacions.

Estos resultats deurien comparar-se en les descomposicions molt més paradòxiques en tres dimensions proporcionades per la paradoxa de Banach–Tarski; aquelles descomposicions inclús poden canviar el volum d'un conjunt. Aixina i tot, en el pla, una descomposició en una série finita de peces té que preservar la suma de les mides de Banach de les peces, i per tant no pot canviar l'àrea total d'un conjunt Plantilla:Harv.

Vore també

• Quadratura del círcul

Referències

• .
• .
• .
• .
• .
• .