Tercer problema de Hilbert
El tercer problema de Hilbert, forma part de la llista de 23 qüestions presentada en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert, i va anar el primer en resoldre's. El problema està relacionat en la següent pregunta:
|
Basat en escrits anteriors de Gauss,[1] Hilbert conjeturó que açò no sempre és possible. Açò va ser confirmat durant el mateix any en el que es va publicar la llista pel seu alumne Max Dehn, qui va demostrar que la resposta en general és "no", en trobar un contraeixemple.[2]
La resposta per a la pregunta anàloga sobre polígons en 2 dimensions és "sí" i es coneixia des de feya molt temps; segons una proposició coneguda com el teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien.
Encara que Hilbert i Dehn no ho sabien, el tercer problema de Hilbert també va ser propost independentment per Władysław Kretkowski per a un concurs de matemàtiques de 1882 organisat per l'Acadèmia d'Arts i Ciències de Cracovia, i va ser resolt per Ludwik Antoni Birkenmajer en un método diferent al de Dehn. Birkenmajer no va publicar el resultat i el manuscrit original que contenia la seua solució va ser redescubierto anys despuix.[3]
Història i motivació
[editar | editar còdic]La fòrmula per al volum d'una pírámide,
ya era coneguda per Euclides, pero totes les proves implicaven alguna forma de llímit d'una successió o de càlcul infinitesimal, en particular per mig del método exhaustiu o, en una forma més moderna, segons el principi de Cavalieri. Es poden provar fòrmules similars en geometria plana en mijos més elementals. Gauss va llamentar este defecte en dos de les seues cartes a Christian Ludwig Gerling, qui va demostrar que dos tetraedres simètrics són equidescomponibles.[3]
Les cartes de Gauss varen ser la motivació de Hilbert: ¿és possible demostrar l'igualtat de volum utilisant métodos elementals de "tallar i pegar"? Perque si no, també és impossible una prova elemental del resultat de Euclides.
La resposta de Dehn
[editar | editar còdic]La prova de Dehn és una instància en la que s'usa l'àlgebra abstracta per a provar un resultat d'impossibilitat en geometria. Atres eixemples són la duplicació de la gaveta i la trisecció de l'àngul.
Dos poliedres es denominen "congruentemente seccionables" si el primer es pot tallar en un número finito de peces polièdriques que es poden tornar a ensamblar per a produir el segon. Qualssevol dos poliedres congruentemente seccionables tenen el mateix volum. Hilbert centra la seua pregunta sobre la conversió.
Per a cada poliedre P, Dehn definix un valor, ara conegut com invariante de Dehn D(P), en la següent propietat:
- Si P es talla en dos peces polièdriques P1 i P2 en un tall pla, llavors D(P) = D(P1)+D(P2).
D'açò es deduïx que
- Si P es talla en n peces polièdriques P1, ..., Pn, llavors D(P)=D(P1)+...+D(Pn)
i en particular
- Si dos poliedres són congruentemente seccionables, llavors tenen el mateix invariante de Dehn.
Despuix demostra que cada gaveta té una invariante de Dehn zero, mentres que cada tetraedre regular té un invariante de Dehn distint de zero. Açò resol l'assunt.
El invariante d'un poliedre es definix en funció de les llongituts de les seues arestes i els ànguls entre les seues cares. Deu tindre's en conte que si un poliedre es talla en dos, algunes arestes es tallen en dos i, per lo tant, les contribucions corresponents als invariantes de Dehn deuen ser aditivas respecte a les llongituts de les noves arestes resultants. De la mateixa manera, si es talla un poliedre a lo llarc d'una aresta, l'àngul corresponent es talla en dos. No obstant, normalment tallar un poliedre introduïx noves arestes i ànguls; i es deu tindre la seguritat de que les contribucions d'estos elements es cancelen. Els dos ànguls introduïts sempre sumaran π; per lo tant, es definix el invariante de Dehn de modo que els múltiples d'ànguls de π donen una contribució neta de zero.
Tots els requisits anteriors es poden complir si es definix D(P) com un element del producte tensorial de número real R i l'espai cocient R/(Qπ), en el que tots els múltiples racionals de π són zero. Per als presents propòsits, és suficient considerar açò com un producte tensorial de Z-mòduls (o equivalentemente, de grups abelianos). No obstant, la prova més difícil de lo contrari (vore més avall) fa us de l'estructura d'espai vectorial: ya que abdós factors són espais vectorials sobre Q, el producte tensorial pot prendre's sobre Q.
Siga ℓ(i) la llongitut de l'aresta i i θ (i) siga l'àngul diedro entre les dos cares que es troben en i, medit en radianes. El invariante de Dehn es definix llavors com
a on la suma es pren sobre totes les arestes i del poliedre P. És una valuación.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Carl Friedrich Gauss: Werke, vol. 8, pp. 241 and 244
- ↑ Dehn, Max (1901). “Ueber donen Rauminhalt”. Mathematische Annalen 55 (3): 465–478. doi:.
- ↑ 3,0 3,1 Ciesielska, Danuta. “Equidecomposability of Polyhedra: A Solution of Hilbert's Third Problem in Kraków before ICM 1900” (en). The Mathematical Intelligencer 40 (2): 55–63. doi:. ISSN 0343-6993.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Tercer problema de Hilbert» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.