Interpolador cúbic de Hermite

Archiu:HermiteBasis.svg

Les quatre funcions bàsiques de Hermite. El interpolante en cada subintervalo és una combinació llineal d'estes quatre funcions

En anàlisis numèric, un interpolador cúbic de Hermite és un tipo de spline en el que cada peça és un polinomi de tercer grau determinat segons les condicions de Hermite, és dir, pels valors dels punts de pas i per la primera derivada en els punts finals de l'interval del domini corresponent.

Els splines cúbics de Hermite s'utilisen normalment per a l'interpolació de senyes numèriques especificades en un conjunt de valors d'argument donats $x_1,x_2,\dots ,x_n$, per a obtindre una funció contínua. Les senyes deuen consistir en el valor de la funció desijada i la derivada en cada $x_k$. Si solament es proporcionen els valors, les derivades poden estimar-se a partir d'ells. La fòrmula de Hermite s'aplica a cada interval $(x_k,x_{k+1})$ per separat. El spline resultant serà continu i tindrà una primera derivada contínua.

Els splines polinòmics cúbics es poden especificar d'atres formes, sent la curva de Bézier la més comuna. No obstant, estos dos métodos proporcionen el mateix conjunt de splines i les senyes es poden convertir fàcilment entre les formes Bézier i de Hermite; per això els noms se solen utilisar com si foren sinònims.

Els splines polinomiales cúbics s'utilisen àmpliament en computació gràfica i modelació geomètrica per a obtindre curvas o trayectòrias de moviment que passen per punts específics del pla o del espai tridimensional. En estes aplicacions, cada coordenada del pla o espai es interpola per separat per mig d'una funció spline cúbica d'un paràmetro t independent. Els splines polinomiales cúbics també s'utilisen àmpliament en aplicacions d'anàlisis estructural, com curves elàstiques. També s'han aplicat splines polinòmics cúbics a l'anàlisis de mortalitat i a la prognosis de mortalitat.

Els splines cúbics es poden estendre a funcions de dos o més paràmetros, de vàries maneres. Els splines bicúbicos (utilisant interpolació bicúbica) s'utilisen a sovint per a interpolar senyes en una cuadrícula rectangular regular, com el valor dels píxelés en una image digital o les senyes d'altitut d'un terreny. Els pegats de superfície bicúbica, definits per tres splines bicúbicos, són una ferramenta essencial en gràfics per computadora.

Els splines cúbics a sovint es denominen csplines, especialment en gràfics per computadora. Les splines de Hermite duen el nom del matemàtic francés Charles Hermite.

Interpolació en un sol interval

Interval unitari [0, 1]

En l'interval unitari $[0,1]$, donat un punt inicial ${𝒑}_0$ en $t=0$ i un punt final ${𝒑}_1$ en $t=1$ en tangente inicial ${𝒎}_0$ en $t=0$ i tangente final ${𝒎}_1$ en $t=1$, el polinomi es pot definir per

$𝒑(t)=(2t^3-3t^2+1){𝒑}_0+(t^3-2t^2+t){𝒎}_0+(-2t^3+3t^2){𝒑}_1+(t^3-t^2){𝒎}_1,$

a on t ∈ [0, 1].

Interpolació en un interval arbitrari

L'interpolació de $x$ en un interval arbitrari $(x_k,x_{k+1})$ es realisa assignant este últim a $[0,1]$ per mig d'un canvi de variable afí (de grau 1). La fòrmula és:

$𝒑(x)=h_{00}(t){𝒑}_k+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_k){𝒎}_k+h_{01}(t){𝒑}_{k+1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_k){𝒎}_{k+1},$

a on $t=(x-x_k)/(x_{k+1}-x_k)$ i $h$ es referixen a les funcions bàsiques, definides més alvance. Tinga's en conte que els valors de la tangente han segut escalats per $x_{k+1}-x_k$ en comparació a l'equació en l'interval unitari.

Unicitat

La fòrmula especificada anteriorment proporciona l'única ruta polinòmica de tercer grau entre els dos punts en les tangentes donades.

Demostració. Sean $P,Q$ dos polinomis de tercer grau que satisfan les condicions de contorn donades. Definixca's $R=Q-P,$ llavors:

$R(0)=Q(0)-P(0)=0,$

$R(1)=Q(1)-P(1)=0.$

Ya que tant $Q$ com $P$ són polinomis de tercer grau, $R$ és com a màxim un polinomi de tercer grau. Llavors, $R$ deu tindre la forma

$R(x)=ax(x-1)(x-r).$

Calcular la derivada dona

$R^{\prime }(x)=ax(x-1)+ax(x-r)+a(x-1)(x-r).$

Se sap ademés que

$R^{\prime }(0)=Q^{\prime }(0)-P^{\prime }(0)=0,$

$R^{\prime }(1)=Q^{\prime }(1)-P^{\prime }(1)=0,$

Combinant (Plantilla:EquationNote) i (Plantilla:EquationNote) es deduïx que $a=0$, i per lo tant, $R=0,$ i en conseqüència $P=Q.$

Representacions

Es pot escriure el polinomi d'interpolació com

$𝒑(t)=h_{00}(t){𝒑}_0+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_k){𝒎}_0+h_{01}(t){𝒑}_1+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_k){𝒎}_1$

a on $h_{00}$, $h_{10}$, $h_{01}$, $h_{11}$ són funcions de base de Hermite, que es poden escriure de diferents maneres, cada una de les quals revela propietats diferents:

	Expandit	Factorizado	Bernstein
$h_{00}(t)$	$2t^3-3t^2+1$	$(1+2t)(1-t{)}^2$	$B_0(t)+B_1(t)$
$h_{10}(t)$	$t^3-2t^2+t$	$t(1-t{)}^2$	$\frac{1}{3}{B}_1(t)$
$h_{01}(t)$	$-2t^3+3t^2$	$t^2(3-2t)$	$B_3(t)+B_2(t)$
$h_{11}(t)$	$t^3-t^2$	$t^2(t-1)$	$-\frac{1}{3}{B}_2(t)$

La columna "Expandit" mostra la representació utilisada en la definició anterior.

La columna "Factorizado" mostra immediatament que $h_{10}$ i $h_{11}$ són zero en els llímits. Ademés, es pot concloure que $h_{01}$ i $h_{11}$ tenen una raïl de multiplicitat 2 en 0, i $h_{00}$ i $h_{10}$ tenen eixe zero en 1, per lo que tenen pendent 0 en eixos llímits.

La columna "Bernstein" mostra la descomposició de les funcions bàsiques de Hermite en polinomis de Bernstein d'orde 3:

$B_k(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k})\cdot t^k\cdot (1-t{)}^{3-k}.$

Usant esta conexió es pot expressar l'interpolació cúbica de Hermite en térmens d'una curva de Bézier cúbica sobre els quatre valors ${𝒑}_0,{𝒑}_0+\frac{1}{3}{𝒎}_0,{𝒑}_1-\frac{1}{3}{𝒎}_1,{𝒑}_1$ i fer l'interpolació de Hermite usant l'algoritme de De Casteljau, en el que es demostra que en un pegat de Bézier cúbic els dos punts de control en el mig determinen les tangentes de la curva d'interpolació en els respectius punts exteriors.

També es pot escriure el polinomi en forma estàndar com

$𝒑(t)=(2{𝒑}_0+{𝒎}_0-2{𝒑}_1+{𝒎}_1)t^3+(-3{𝒑}_0+3{𝒑}_1-2{𝒎}_0-{𝒎}_1)t^2+{𝒎}_{0}t+{𝒑}_0$

a on els punts de control i les tangentes són coeficients. Açò permet una evaluació eficient del polinomi en varis valors de t, ya que els coeficients constants es poden calcular una volta i reutilisar.

Interpolació d'un conjunt de senyes

Un conjunt de senyes, $(x_k,{𝒑}_k)$ per a $k=1,\dots ,n$, es pot interpolar aplicant el procediment anterior en cada interval, a on les tangentes s'elegixen de manera adequada, lo que significa que les tangentes dels intervals que compartixen punts finals són iguals. La curva interpolada consta llavors de splines cúbics de Hermite per parts i és globalment diferenciable de forma contínua en $(x_1,x_n)$.

L'elecció de tangentes no és única, i hi ha vàries opcions disponibles.

Diferències finitas

Archiu:Finite difference spline example.png

Eixemple en tangentes per diferències finitas

L'opció més senzilla és aplicar el método de les diferències finitas a tres punts, lo que no requerix llongituts d'interval constants:

${𝒎}_k=\frac{1}{2}(\frac{{𝒑}_{k+1}-{𝒑}_k}{x_{k+1}-x_k}+\frac{{𝒑}_k-{𝒑}_{k-1}}{x_k-x_{k-1}})$

per a punts interns $k=2,\dots ,n-1$ i diferència unilateral en els punts finals del conjunt de senyes.

Spline cardinal

Archiu:Cardinal Spline Example.png

Eixemple de spline cardinal en 2D. La llínea representa la curva i els quadrats representen els punts de control ${𝒑}_k$. Observe's que la curva no aplega al primer ni a l'últim punt. Estos punts, no obstant, afecten a la forma de la curva. El paràmetro de tensió utilisat és 0,1

Un spline cardinal, a voltes cridat spline canònic, s'obté si:

${𝒎}_k=(1-c)\frac{{𝒑}_{k+1}-{𝒑}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}$

lo que s'utilisa per a calcular les tangentes. El paràmetro c és un paràmetro de tensió que deu estar en l'interval [0, 1]. En cert sentit, açò pot interpretar-se com la llongitut de la tangente. En elegir c = 1 s'obtenen totes les tangentes zero, i en elegir c = 0 s'obté un spline de Catmull-Rom en el cas d'parametrización uniforme.

Spline de Catmull–Rom

Vore també: Spline centrípeto de Catmull-Rom

Archiu:Cubic interpolation visualisation.svg

Interpretació geomètrica de l'interpolació cúbica de Catmull-Rom del punt negre en abscisses espayades uniformement.

Per a tangentes fixades com

${𝒎}_k=\frac{{𝒑}_{k+1}-{𝒑}_{k-1}}{2}$

s'obté un spline de Catmull-Rom, sent un cas especial de spline cardinal. Açò supon un espayat de paràmetros uniforme.

La curva du el nom d'Edwin Catmull i Raphael Rom. La principal ventaja d'esta tècnica és que els punts en el conjunt original també constituïxen els punts de control de la curva spline. Es requerixen dos punts adicionals en cada extrem de la curva. L'implementació uniforme de Catmull-Rom pot produir bucles i autointersecciones. Les implementacions cordales i del spline centrípeto de Catmull-Rom resolen este problema, pero utilisen un càlcul llaugerament diferent. En computació gràfica, els splines de Catmull-Rom s'utilisen en freqüència per a obtindre un moviment interpolado suau entre fotogrames de referència. Per eixemple, la majoria de les animacions de trayectòria de cambra generades a partir de fotogrames clau discrets es manegen per mig de splines de Catmull-Rom. Són populars principalment per ser relativament fàcils de calcular, lo que garantisa que cada posició del fotograma clau s'alcançarà exactament i també garantisa que les tangentes de la curva generada siguen contínues en múltiples segments.

Spline de Kochanek-Bartels

Artícul principal → Spline de Kochanek-Bartels.

Un spline de Kochanek-Bartels és una generalisació adicional sobre cóm elegir les tangentes donats els punts de senyes ${𝒑}_{k-1}$, ${𝒑}_k$ i ${𝒑}_{k+1}$, en tres paràmetros possibles: tensió, biaix i un paràmetro de continuïtat.

Interpolació cúbica monòtona

Artícul principal → Interpolació cúbica monòtona.

Si s'utilisa un spline cúbic de Hermite de qualsevol dels tipos enumerats anteriorment per a l'interpolació d'un conjunt de senyes monòton, la funció interpolada no serà necessàriament monòtona, pero la monotonicidad es pot preservar ajustant les tangentes.

Vore també

• Interpolació bicúbica, una generalisació dos dimensions.
• Interpolació tricúbica, una generalisació a tres dimensions.
• Interpolació polinòmica de Hermite
• Interpolació multivariable
• Interpolació en splines
• Interpolació en splines discrets