Interpolació polinòmica de Hermite

En l'anàlisis numèric, la interpolació de Hermite, nomenada aixina en honor a Charles Hermite, és un método d'interpolació de punts de senyes com una funció polinòmica. El polinomi de Hermite generat està estretament relacionat en el polinomi de Newton, mentres que abdós es deriven del càlcul de diferències dividides.

Consistix en buscar un polinomi per péntols $H_n(x)$ que siga cúbic en cada subintervalo $[x_{(i-1)},x_i],1\le i\le n$ i que complixca $f^{\prime }(x)$ en els punts $\{x_0,\mathrm{...},x_n\}$, a on $f(x)$ és la funció que es vol interpolar.

La funció $H_n(x)$ queda determinada en forma única per estes condicions i el seu càlcul requerix de la solució de $n$ sistemes llineals d'equacions de tamany $4\times 4$ cada u.

La desventaja de l'interpolació d'Hermite és que requerix de la disponibilitat dels $\{f^{\prime }(x_i),0\le i\le n\}$ la qual cosa no és el cas en moltes aplicacions.

Use

Eixemple

Considerada la funció $f(x)=x^8+1$, evaluant la funció i les seues primeres dos derivades en $x\in \{-1,0,1\}$, s'obtenen les següents senyes:

x	ƒ(x)	ƒ'(x)	ƒ''(x)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

ya que tenim dos derivades per a treballar, construirem el conjunt $\{z_i\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$. La nostra taula de diferències dividides és llavors:

$\begin{array}{cccccccccc}{z}_0=-1& f[z_0]=2& & & & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_0)}{1}=-8& & & & & & & \\ z_1=-1& f[z_1]=2& & \frac{f^{″}(z_1)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_1)}{1}=-8& & f[z_3,z_2,z_1,z_0]=-21& & & & & \\ z_2=-1& f[z_2]=2& & f[z_3,z_2,z_1]=7& & 15& & & & \\ & & f[z_3,z_2]=-1& & f[z_4,z_3,z_2,z_1]=-6& & -10& & & \\ z_3=0& f[z_3]=1& & f[z_4,z_3,z_2]=1& & 5& & 4& & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_3)}{1}=0& & f[z_5,z_4,z_3,z_2]=-1& & -2& & -1& \\ z_4=0& f[z_4]=1& & \frac{f^{″}(z_4)}{2}=0& & 1& & 2& & 1\\ & & \frac{f^{\prime }(z_4)}{1}=0& & f[z_6,z_5,z_4,z_3]=1& & 2& & 1& \\ z_5=0& f[z_5]=1& & f[z_6,z_5,z_4]=1& & 5& & 4& & \\ & & f[z_6,z_5]=1& & f[z_7,z_6,z_5,z_4]=6& & 10& & & \\ z_6=1& f[z_6]=2& & f[z_7,z_6,z_5]=7& & 15& & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_7)}{1}=8& & f[z_8,z_7,z_6,z_5]=21& & & & & \\ z_7=1& f[z_7]=2& & \frac{f^{″}(z_7)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_8)}{1}=8& & & & & & & \\ z_8=1& f[z_8]=2& & & & & & & & \end{array}$

i el polinomi generat és

$\begin{array}{cc}P(x)& =2-8(x+1)+28(x+1{)}^2-21(x+1{)}^3+15x(x+1{)}^3-10x^2(x+1{)}^3\\ & +4x^3(x+1{)}^3-1x^3(x+1{)}^3(x-1)+x^3(x+1{)}^3(x-1{)}^2\\ & =2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^2-63x^2+45x^2-10x^2-21x^3\\ & +45x^3-30x^3+4x^3+x^3+x^3+15x^4-30x^4+12x^4+2x^4+x^4\\ & -10x^5+12x^5-2x^5+4x^5-2x^5-2x^5-x^6+x^6-x^7+x^7+x^8\\ & =x^8+1.\end{array}$

per mig de l'adopció dels coeficients de la diagonal de la taula de diferència dividida, i multiplicant el k-ésimo coeficient per $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_i)$, com ho faríem en generar un polinomi de Newton.

Vore també

• Interpolació polinòmica radial

Bibliografia

• (2004) Numerical Analysis, Belmont: Brooks/Cole.
• American Mathematical Monthly.67(1)

42–46.