Interpolació polinòmica

En anàlisis numèric, la interpolació polinòmica (o polinomial) és una tècnica d'interpolació d'un conjunt de senyes o d'una funció per un polinomi. És dir, dau cert número de punts obtinguts per mostreig o a partir d'un experiment es pretén trobar un polinomi que passe per tots els punts.

Eixemple d'interpolació polinòmica d'un conjunt de senyes.

Definició

Donada una funció $f$ de la qual es coneixen els seus valors en un número finit d'abscisses $x_0,x_1,\mathrm{...},x_m$, es diu interpolació polinòmica al procés de trobar un polinomi $p_m(x)$ de grau menor o igual a m, complint $p_m(x_k)=f(x_k),\mathrm{\forall }k=0,1,\mathrm{...},m$.

A este polinomi se li crida Polinomi interpolador de grau m de la funció f.

Motivació del polinomi interpolador

La interpolació polinòmica és un método usat per a conéixer, d'un modo aproximeuo, els valors que pren certa funció de la qual solament es coneix la seua image en un número finit d'abscissas. A sovint, ni tan sols es coneixerà l'expressió de la funció i solament es dispondrà dels valors que pren per a dites abscisses.

L'objectiu serà trobar un polinomi que complixca lo abans mencionat i que permeta trobar aproximacions d'atres valors desconeguts per a la funció en una precisió desijable fixada. Per això, per a cada polinomi interpolador es dispondrà d'una fòrmula de l'error d'interpolació que permetrà ajustar la precisió del polinomi.

És fàcil demostrar, usant el determinant de Vandermonde, que per n punts, en l'única condició de que para cada x hi haja una sola i, sempre es pot trobar un polinomi de grau menor o igual a (n-1) que passe pels n punts.

Vore també

• Models de regressió múltiple postulats i no postulats

Referències

• A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams (1993). Útils bàsics de Càlcul Numèric. Llabor/Publicacions de la UAB.

Joaquín M. Ortega Aramburu (2002). Introducció a l'Anàlisi Matemàtica (2a edició, català). Publicacions de la UAB.

• Burden, R.L., Faires, J.D., Anàlisis Numèric, Grup Editorial Iberoamericà, 1985.