Superfície de Bézier

Les superfícies de Bézier són un tipo de splines utilisats en la modelació per mig de computació gràfica, en el disseny assistit per computadora i en el método dels elements finitos. De la mateixa manera que les curves de Bézier, una superfície de Bézier està definida per un conjunt de punts de control. Similar a l'interpolació en molts aspectes, una diferència clau és que la superfície, en general, no passa pels punts de control centrals; i més be, es "estira" cap a ells com si cada u anara una força atractiva. Són visualment intuïtius i, per a moltes aplicacions, matemàticament convenients.^[1]

Història

Les superfícies de Bézier varen ser descrites per primera volta en 1962 per l'ingenier francés Pierre Bézier,^[2] qui les va idear per a dissenyar carrosseries d'automòvil en l'empresa Rernault. Les superfícies de Bézier poden ser de qualsevol grau, pero les bicúbicas generalment proporcionen suficients graus de llibertat per a la majoria de les aplicacions.

Equació

Una superfície de Bézier donada de grau (n, m) es definix per un conjunt de (n + 1)(m +&nbsp ;1) punts de control 'k_i,j, a on i = 0, ..., n i j = 0, ..., m. Assigna el quadrat unitat a una superfície suau i contínua incrustada dins de l'espai que conté els ki,j elements, per eixemple, si els k_i,j són tots punts en un univers de quatre dimensions, llavors la superfície estarà dins d'un espai de quatre dimensions.

Una superfície de Bézier bidimensional es pot definir com la superfície paramètrica a on la posició d'un punt p en funció de les coordenades paramètriques o,v ve donada per:^[3]

𝐩 (u, v) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} B_{i}^{n} (u) B_{j}^{m} (v) 𝐤_{i, j}

evaluada sobre el quadrat unitari, a on

B_{i}^{n} (u) = (\binom{n}{i}) u^{i} (1 - u)^{n - i}

és una base de polinomis de Bernstein, i

(\binom{n}{i}) = \frac{n!}{i! (n - i)!}

és un coeficient binomial.

Algunes propietats de les superfícies Bézier són:

Una superfície de Bézier es transformarà de la mateixa manera que els seus punts de control en qualsevol aplicació llineal o translació.
Totes les llínees rectes o = constant i v = constant en l'espai (o, v) i, en particular, les quatre vores del quadrat unitari deformat (o, v) són curves de Bézier.
Una superfície de Bézier queda completament dins de l'envolvente convexa dels seus punts de control i, per lo tant, també completament dins del quadre delimitador dels seus punts de control en qualsevol sistema de coordenades cartesianas determinat.
Els punts del pegat corresponents als cantons del quadrat unitari deformat coincidixen en quatre dels punts de control.
No obstant, una superfície de Bézier generalment no passa pels seus atres punts de control.

Generalment, l'us més comú de les superfícies de Bézier és com a rets de pegats bicúbicos (a on m = n = 3). La geometria d'un únic pegat bicúbico queda aixina completament definida per un conjunt de 16 punts de control. Per lo general, estos elements es vinculen entre sí per a formar un spline superficial, de manera similar a com les curves de Bézier s'enllacen per a formar una curva B-spline.

Les superfícies de Bézier més simples es formen a partir de pegats biquadràtics (m = n = 2), o triànguls de Bézier.

Superfícies Bézier en infografías

Les malles de pegats de Bézier són superiors a les malles triangulars com a representació de superfícies planes. Requerixen menys punts (i per lo tant, menys memòria) per a representar superfícies curves, són més fàcils de manipular i tenen propietats de continuïtat molt millors. Ademés, atres superfícies paramètriques comunes, com esferas i cilindres, poden aproximar-se be per mig d'un número relativament chicotet de pegats de Bézier cúbics.

No obstant, les malles de pegats de Bézier són difícils de renderizar directament. Un problema en els pegats de Bézier és que calcular les seues interseccions en llínees rectes és difícil, lo que els fa incómodos per al traçat de rajos pur o atres tècniques geomètriques directes que no utilisen recursos de subdivisió o d'aproximacions successives. També són difícils de combinar directament en algoritmes de proyecció en perspectiva.

Per esta raó, les malles de pegats de Bézier, se solen descompondre en malles de triànguls plans per mig d'un sistema de canonada de renderizado en 3D. En el renderizado d'alta calitat, la subdivisió s'ajusta per a que siga tan fina que no es puguen vore els llímits dels triànguls individuals. Per a evitar una apariència de taques, generalment s'apliquen detalls fins a les superfícies de Bézier en esta etapa usant mapage de textures, mapeado topològic i atres tècniques de sombreado.

Un pegat de Bézier de grau (m, n) es pot construir a partir de dos triànguls de Bézier de grau m + n, o d'un sol triàngul de Bézier de grau m + n, en el domini d'entrada com un quadrat en lloc d'un triàngul.

Un triàngul de Bézier de grau m també es pot construir a partir d'una superfície de Bézier de grau (m, m), en els punts de control de modo que una vora quede esclafat fins a formar un punt, o en el domini d'entrada com un triàngul en lloc d'un quadrat.

Vore també

Referències

↑ Alexandre Hardy, Willi-hans Steeb (2008). Mathematical Tools In Computer Graphics With C# Implementations, World Scientific Publishing Company, pp. 173 de 496. ISBN 9789813101371.
↑ (2020) Atles of Digital Architecture: Terminology, Concepts, Methods, Tools, Examples, Phenomena, Birkhäuser, pp. 74 de 760. ISBN 9783035620115.
↑ Farin, Gerald (2002). Curves and Surfaces for CAGD, 5th edició, Academic Press. ISBN 1-55860-737-4.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Superficie de Bézier» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[AHWS-1] Alexandre Hardy, Willi-hans Steeb (2008). Mathematical Tools In Computer Graphics With C# Implementations, World Scientific Publishing Company, pp. 173 de 496. ISBN 9789813101371.

[ADA-2] (2020) Atles of Digital Architecture: Terminology, Concepts, Methods, Tools, Examples, Phenomena, Birkhäuser, pp. 74 de 760. ISBN 9783035620115.

[3] Farin, Gerald (2002). Curves and Surfaces for CAGD, 5th edició, Academic Press. ISBN 1-55860-737-4.

[1]

[2]

[3]