Triàngul de Bézier

Un eixemple de triàngul de Bézier en els punts de control marcats

Un triàngul de Bézier és un tipo especial de superfície de Bézier, que es crea per mig d'interpolació (llineal, quadràtica, cúbica o de grau superior) a partir d'un conjunt de punts de control.

Triàngul de Bézier d'orde n

Un triàngul de Bézier general de nésimo orde té (n +1)(n + 2)/2 punts de control αⁱβ^jγ^k, a on i, j, k són número entero no negatius tals que i + j + k = n. La superfície es definix llavors com

$(\alpha s+\beta t+\gamma u{)}^n=\sum _{\begin{array}{c}i+j+k=n\\ i,j,k\ge 0\end{array}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{ijk})s^i{t}^j{u}^k{\alpha }^i{\beta }^j{\gamma }^k=\sum _{\begin{array}{c}i+j+k=n\\ i,j,k\ge 0\end{array}}\frac{n!}{i!j!k!}{s}^i{t}^j{u}^k{\alpha }^i{\beta }^j{\gamma }^k$

per a tots els número real no negatius s + t + o = 1.

En orde llineal ($n=1$), el triàngul de Bézier resultant és en realitat un triàngul pla regular, en els vèrtiços del triàngul iguals als tres punts de control. Un triàngul de Bézier quadràtic ($n=2$) presenta 6 punts de control, tots ubicats en les vores. El triàngul de Bézier cúbic ($n=3$) està definit per 10 punts de control i és el triàngul de Bézier d'orde més baix que té un punt de control intern, no ubicat en les vores. En tots els casos, les arestes del triàngul seran curves de Bézier del mateix grau.

Triàngul cúbic de Bézier

Un triàngul cúbic de Bézier és una superfície definida per l'equació

$\begin{array}{cc}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u{)}^3=& {\beta }^3{t}^3+3\alpha {\beta }^{2}s{t}^2+3{\beta }^2\gamma t^{2}u+\\ & 3{\alpha }^2\beta s^{2}t+6\alpha \beta \gamma stu+3\beta {\gamma }^{2}t{u}^2+\\ & {\alpha }^3{s}^3+3{\alpha }^2\gamma s^{2}u+3\alpha {\gamma }^{2}s{u}^2+{\gamma }^3{u}^3\end{array}$

a on α³, β³, γ³, α²β, αβ², β²γ, βγ², αγ², α²γ i αβγ són els punts de control del triàngul i s, t, o (en 0 ≤ ' 's, t, o ≤ 1 i s + t + o = 1) són els barycentric coordinates dins del triàngul.

Alternativament, un triàngul cúbic de Bézier es pot expressar en una formulació més generalisada com

$\begin{array}{cc}p(s,t,u)& =\sum _{\begin{array}{c}i+j+k=3\\ i,j,k\ge 0\end{array}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{ijk})s^i{t}^j{u}^k{\alpha }^i{\beta }^j{\gamma }^k=\sum _{\begin{array}{c}i+j+k=3\\ i,j,k\ge 0\end{array}}\frac{6}{i!j!k!}{s}^i{t}^j{u}^k{\alpha }^i{\beta }^j{\gamma }^k\end{array}$

de conformitat en la formulació del triàngul de Bézier d'orde n.

Els cantons del triàngul són els punts α³, β³ i γ³. Les vores del triàngul són en sí mateixos curves de Bézier, en els mateixos punts de control que el triàngul de Bézier.

En eliminar el terme γo, s'obté una curva de Bézier regular. Ademés, encara que no és molt útil per a mostrar-se en la pantalla plana d'una computadora, en agregar térmens adicionals, s'obté un tetraedre de Bézier o politopo de Bézier.

Per la naturalea de l'equació, tot el triàngul estarà contingut dins del volum rodejat pels punts de control, i les transformacions afins dels punts de control transformaran correctament tot el triàngul de la mateixa manera.

Reducció a la mitat d'un triàngul de Bézier cúbic

Una ventaja dels triànguls de Bézier en gràfics per computadora és que dividir el triàngul de Bézier en dos triànguls de Bézier separats solament requerix suma i divisió per dos, en lloc de l'aritmètica de menge flotant. Açò significa que, si ben els triànguls de Bézier són suaus, es poden aproximar fàcilment utilisant triànguls regulars dividint recursivamente el triàngul en dos fins que els triànguls resultants es consideren lo suficientment menuts.

A continuació es calculen els nous punts de control per a la mitat del triàngul de Bézier complet, en el cantó α³ (un cantó a mig camí en la curva de Bézier entre α³ i β³), i el tercer cantó γ³.

$\left(\begin{array}{c}{𝜶}^3\text{'}\\ {𝜶}^2𝜷\text{'}\\ 𝜶{𝜷}^2\text{'}\\ {𝜷}^3\text{'}\\ {𝜶}^2𝜸\text{'}\\ 𝜶𝜷𝜸\text{'}\\ {𝜷}^2𝜸\text{'}\\ 𝜶{𝜸}^2\text{'}\\ 𝜷{𝜸}^2\text{'}\\ {𝜸}^3\text{'}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{2}{4}& \frac{1}{4}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{8}& \frac{3}{8}& \frac{3}{8}& \frac{1}{8}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{4}& \frac{2}{4}& \frac{1}{4}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{𝜶}^3\\ {𝜶}^2𝜷\\ 𝜶{𝜷}^2\\ {𝜷}^3\\ {𝜶}^2𝜸\\ 𝜶𝜷𝜸\\ {𝜷}^2𝜸\\ 𝜶{𝜸}^2\\ 𝜷{𝜸}^2\\ {𝜸}^3\end{array}\right)$

de manera equivalent, usant solament la suma i la divisió per dos,

$\begin{array}{ccc}& & {\beta }^3:=(\alpha {\beta }^2+{\beta }^3)/2\\ & \alpha {\beta }^2:=({\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2)/2& {\beta }^3:=(\alpha {\beta }^2+{\beta }^3)/2\\ {\alpha }^2\beta :=({\alpha }^3+{\alpha }^2\beta )/2& \alpha {\beta }^2:=({\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2)/2& {\beta }^3:=(\alpha {\beta }^2+{\beta }^3)/2\end{array}$

$\begin{array}{cc}& {\beta }^2\gamma :=(\alpha \beta \gamma +{\beta }^2\gamma )/2\\ \alpha \beta \gamma :=({\alpha }^2\gamma +\alpha \beta \gamma )/2& {\beta }^2\gamma :=(\alpha \beta \gamma +{\beta }^2\gamma )/2\end{array}$

$\beta {\gamma }^2:=(\alpha {\gamma }^2+\beta {\gamma }^2)/2$

a on := significa reemplaçar el vector de l'esquerra pel vector de la dreta.

Tinga's en conte que dividir per la mitat un triàngul de Bézier és similar a dividir per la mitat les curves de Bézier de tots els órdens fins a l'orde del triàngul de Bézier.

Vore també

• Curva de Bézier
• Superfície de Bézier (els pegats biquadràtics són rectànguls de Bézier)
• Superfície