Interpolació tricúbica

En el camp matemàtic del anàlisis numèric, la interpolació tricúbica és un método per a obtindre valors en punts arbitraris en l'espai tridimensional d'una funció definida en un retícul regular. L'enfocament implica aproximar la funció localment per mig d'una expressió de la forma

$f(x,y,z)=\sum _{i=0}^3\sum _{j=0}^3\sum _{k=0}^3{a}_{ijk}{x}^i{y}^j{z}^k.$

Esta forma té 64 coeficients $a_{ijk}$. Requerir que la funció tinga un valor donat o derivada direccional donada en un punt impon una restricció llineal als 64 coeficients.

El terme interpolació tricúbica s'utilisa en més d'un context. Alguns experiments medixen tant el valor d'una funció com les seues derivades espacials, i és desijable interpolar preservant els valors i les derivades mides en els punts de la cuadrícula. Estos proporcionen 32 restriccions sobre els coeficients, i es poden proporcionar atres 32 restriccions exigint suavitat en derivades més altes.

En atres contexts, es poden obtindre els 64 coeficients considerant una cuadrícula de 3×3×3 chicotetes gavetes que rodegen a la gaveta dins del com s'evalua la funció, i ajustant la funció en els 64 punts en els cantons d'esta cuadrícula.

L'artícul interpolador cúbic de Hermite indica que el método és equivalent a una aplicació seqüencial de interpoladores cúbics unidimensionals. Siga ${\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{T}}_x(a_{-1},a_0,a_1,a_2)$ el valor d'un polinomi cúbic monovariable (per eixemple, restringit per valors, $a_{-1}$, $a_0$, $a_1$, $a_2$ de punts consecutius de la cuadrícula) evaluat en $x$. En molts casos útils, estos polinomis cúbics tenen la forma ${\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{T}}_x(u_{-1},u_0,u_1,u_2)={𝐯}_x\cdot (u_{-1},u_0,u_1,u_2)$ per a algun vector ${𝐯}_x$, que és una funció de $x$ únicament. El interpolador tricúbico equival a:

$\begin{array}{cc}s(i,j,k)& =\text{ El valor en el punto de la cuadrícula }(i,j,k)\\ t(i,j,z)& ={\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{T}}_z(s(i,j,-1),s(i,j,0),s(i,j,1),s(i,j,2))\\ u(i,y,z)& ={\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{T}}_y(t(i,-1,z),t(i,0,z),t(i,1,z),t(i,2,z))\\ f(x,y,z)& ={\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{T}}_x(u(-1,y,z),u(0,y,z),u(1,y,z),u(2,y,z))\end{array}$

a on $i,j,k\in \{-1,0,1,2\}$ i $x,y,z\in [0,1]$.

A primera vista, podria semblar més convenient utilisar les 21 cridades a $\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{T}$ descrites anteriorment en lloc de la matriu de $64\times 64$ descrita en Lekien i Marsden. No obstant, una implementació adequada utilisant un format dispers per a la matriu (que és prou dispers), fa que esta última siga més eficient. Este aspecte és encara molt més pronunciat quan es necessita obtindre una interpolació en varis llocs dins de la mateixa gaveta. En este cas, la matriu $64\times 64$ s'usa una volta per a calcular els coeficients d'interpolació per a tota la gaveta. Després, els coeficients s'almagasenen i s'utilisen per a l'interpolació en qualsevol ubicació dins de la gaveta. En comparació, l'us seqüencial d'integradors unidimensionals ${\mathrm{C}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{T}}_x$ funciona extremadament mal per a interpolacions repetides, perque cada pas computacional deu repetir-se per a cada nova ubicació.

Vore també

• Interpolador cúbic de Hermite
• Interpolació bicúbica
• Interpolació trilineal