Interpolació trilineal

La interpolació trilineal és un método d'interpolació multivariable en un retícul regular tridimensional. S'aproxima linealment al valor d'una funció en un punt intermig $(x,y,z)$ dins d'un prisma rectangular axial local, utilisant les senyes de la funció en els punts del retícul. Per a un retícul no estructurat arbitrari (com s'usa en l'anàlisis del método dels elements finitos), es deuen usar atres métodos d'interpolació. Si tots els elements de la malla són tetraedres (símplices 3D), llavors les coordenades baricéntricas proporciona un procediment de càlcul més senzill.

L'interpolació trilineal s'utilisa en freqüència en l'anàlisis numèric, l'anàlisis de senyes i la computació gràfica.

Comparat en l'interpolació llineal i en la bilineal

L'interpolació trilineal és l'extensió de l'interpolació llineal, que opera en espais en dimensió $D=1$, i de l'interpolació bilineal, que opera en la dimensió $D=2$, a la dimensió $D=3$. Tots estos sistemes d'interpolació utilisen polinomis d'orde 1, lo que proporciona una precisió d'orde 2, i requerixen $2^D=8$ valors predefinits adjacents que rodegen el punt d'interpolació. Hi ha vàries formes d'aplegar a l'interpolació trilineal, que és equivalent a l'interpolació tridimensional tensorial d'orde 1 en B-splines, i l'operador d'interpolació trilineal també és un producte tensorial de 3 operadors d'interpolació llineal.

Método

Huit punts dels cantons d'una gaveta que rodegen al punt d'interpolació C

Erro al crear miniatura:

Representació de l'interpolació 3D

Archiu:Trilinear interpolation visualisation.svg

Una visualisació geomètrica de l'interpolació trilineal. El producte del valor en el punt desijat i el volum total és igual a la suma dels productes del valor en cada cantó i el volum parcial diagonalment opost al cantó

En una ret periòdica i cúbica, siguen $x_{\text{d}}$, $y_{\text{d}}$ i $z_{\text{d}}$ siguen les diferències entre cada u de $x$, $y$, $z$ i la coordenada més chicoteta relacionada, és dir:

$\begin{array}{c}{x}_{\text{d}}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\\ y_{\text{d}}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}\\ z_{\text{d}}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}\end{array}$

a on $x_0$ indica el punt de ret baix de $x$, i $x_1$ indica el punt de ret per damunt de $x$ i de manera similar per a $y_0,y_1,z_0$ i $z_1$.

Primer es interpola en $x$ (imagine's que s'està "espentant" la cara de la gaveta definida per $C_{0jk}$ cap a la cara oposta, definida per $C_{1jk}$), donant:

$\begin{array}{cc}{c}_{00}& =c_{000}(1-x_{\text{d}})+c_{100}{x}_{\text{d}}\\ c_{01}& =c_{001}(1-x_{\text{d}})+c_{101}{x}_{\text{d}}\\ c_{10}& =c_{010}(1-x_{\text{d}})+c_{110}{x}_{\text{d}}\\ c_{11}& =c_{011}(1-x_{\text{d}})+c_{111}{x}_{\text{d}}\end{array}$

a on $c_{000}$ significa el valor de la funció de $(x_0,y_0,z_0).$ A continuació, es interpolan estos valors (en $y$, "espentant" de $C_{i0k}$ a $C_{i1k}$), donant:

$\begin{array}{cc}{c}_0& =c_{00}(1-y_{\text{d}})+c_{10}{y}_{\text{d}}\\ c_1& =c_{01}(1-y_{\text{d}})+c_{11}{y}_{\text{d}}\end{array}$

Finalment, es interpolan estos valors en $z$ (recorrent una recta):

$c=c_0(1-z_{\text{d}})+c_1{z}_{\text{d}}.$

Açò dona un valor previst per al punt.

El resultat de l'interpolació trilineal és independent de l'orde dels passos d'interpolació en els tres eixos: qualsevol atre orde, per eixemple en $x$, després en $y$ i finalment en $z$, produïx el mateix valor.

Les operacions anteriors es poden visualisar de la següent manera: Primer es localisen els huit cantons d'una gaveta que rodegen al punt d'interés. Estos cantons tenen els valors $c_{000}$, $c_{100}$, $c_{010}$, $c_{110}$, $c_{001}$, $c_{101}$, $c_{011}$, $c_{111}$.

A continuació, es realisa una interpolació llineal entre $c_{000}$ i $c_{100}$ per a trobar $c_{00}$, $c_{001}$ i $c_{101}$ per a trobar $c_{01}$, $c_{011}$ i $c_{111}$ per a trobar $c_{11}$, $c_{010}$ i $c_{110}$ per a trobar $c_{10}$.

Ara es interpola entre $c_{00}$ i $c_{10}$ per a trobar $c_0$, $c_{01}$ i $c_{11}$ per a trobar $c_1$. Finalment, es calcula el valor $c$ per mig d'interpolació llineal de $c_0$ i $c_1$.

En la pràctica, una interpolació trilineal és idèntica a dos interpolacions bilineales combinades en una interpolació llineal:

$c\approx l(b(c_{000},c_{010},c_{100},c_{110}),b(c_{001},c_{011},c_{101},c_{111}))$

Algoritme alternatiu

Una forma alternativa d'escriure la solució al problema d'interpolació és

$f(x,y,z)\approx a_0+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_{4}xy+a_{5}xz+a_{6}yz+a_{7}xyz$

a on els coeficients es troben resolent el sistema llineal

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccccccc}1& x_0& y_0& z_0& x_0{y}_0& x_0{z}_0& y_0{z}_0& x_0{y}_0{z}_0\\ 1& x_1& y_0& z_0& x_1{y}_0& x_1{z}_0& y_0{z}_0& x_1{y}_0{z}_0\\ 1& x_0& y_1& z_0& x_0{y}_1& x_0{z}_0& y_1{z}_0& x_0{y}_1{z}_0\\ 1& x_1& y_1& z_0& x_1{y}_1& x_1{z}_0& y_1{z}_0& x_1{y}_1{z}_0\\ 1& x_0& y_0& z_1& x_0{y}_0& x_0{z}_1& y_0{z}_1& x_0{y}_0{z}_1\\ 1& x_1& y_0& z_1& x_1{y}_0& x_1{z}_1& y_0{z}_1& x_1{y}_0{z}_1\\ 1& x_0& y_1& z_1& x_0{y}_1& x_0{z}_1& y_1{z}_1& x_0{y}_1{z}_1\\ 1& x_1& y_1& z_1& x_1{y}_1& x_1{z}_1& y_1{z}_1& x_1{y}_1{z}_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ a_5\\ a_6\\ a_7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_{000}\\ c_{100}\\ c_{010}\\ c_{110}\\ c_{001}\\ c_{101}\\ c_{011}\\ c_{111}\end{array}\right],\end{array}$

donant el resultat

$\begin{array}{cc}{a}_0=& \frac{-c_{000}{x}_1{y}_1{z}_1+c_{001}{x}_1{y}_1{z}_0+c_{010}{x}_1{y}_0{z}_1-c_{011}{x}_1{y}_0{z}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)}+\\ & \frac{c_{100}{x}_0{y}_1{z}_1-c_{101}{x}_0{y}_1{z}_0-c_{110}{x}_0{y}_0{z}_1+c_{111}{x}_0{y}_0{z}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)},\\ a_1=& \frac{c_{000}{y}_1{z}_1-c_{001}{y}_1{z}_0-c_{010}{y}_0{z}_1+c_{011}{y}_0{z}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)}+\\ & \frac{-c_{100}{y}_1{z}_1+c_{101}{y}_1{z}_0+c_{110}{y}_0{z}_1-c_{111}{y}_0{z}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)},\\ a_2=& \frac{c_{000}{x}_1{z}_1-c_{001}{x}_1{z}_0-c_{010}{x}_1{z}_1+c_{011}{x}_1{z}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)}+\\ & \frac{-c_{100}{x}_0{z}_1+c_{101}{x}_0{z}_0+c_{110}{x}_0{z}_1-c_{111}{x}_0{z}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)},\\ a_3=& \frac{c_{000}{x}_1{y}_1-c_{001}{x}_1{y}_1-c_{010}{x}_1{y}_0+c_{011}{x}_1{y}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)}+\\ & \frac{-c_{100}{x}_0{y}_1+c_{101}{x}_0{y}_1+c_{110}{x}_0{y}_0-c_{111}{x}_0{y}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)},\\ a_4=& \frac{-c_{000}{z}_1+c_{001}{z}_0+c_{010}{z}_1-c_{011}{z}_0+c_{100}{z}_1-c_{101}{z}_0-c_{110}{z}_1+c_{111}{z}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)},\\ a_5=& \frac{-c_{000}{y}_1+c_{001}{y}_1+c_{010}{y}_0-c_{011}{y}_0+c_{100}{y}_1-c_{101}{y}_1-c_{110}{y}_0+c_{111}{y}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)},\\ a_6=& \frac{-c_{000}{x}_1+c_{001}{x}_1+c_{010}{x}_1-c_{011}{x}_1+c_{100}{x}_0-c_{101}{x}_0-c_{110}{x}_0+c_{111}{x}_0}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)},\\ a_7=& \frac{c_{000}-c_{001}-c_{010}+c_{011}-c_{100}+c_{101}+c_{110}-c_{111}}{(x_0-x_1)(y_0-y_1)(z_0-z_1)}.\end{array}$

Vore també

• Interpolació llineal
• Interpolació bilineal
• Interpolació tricúbica
• Interpolació llineal esfèrica