Curva elàstica

La curva elàstica o elàstica és la deformada per flexión del eix llongitudinal d'una voltó recta, la qual es deu a l'aplicació de càrregues travesseres en el pla xy sobre el voltó.

Equació de l'elàstica

L'equació de l'elàstica és l'equació diferencial que, per a un voltó d'eix recte, permet trobar la forma concreta de la curva elàstica. Concretament l'equació de l'elàstica és una equació per al camp de desplaçaments que sofrix l'eix del voltó des de la seua forma recta original a la forma curvada o flectada final. Per a un voltó de material elàstic llineal somés a chicotetes deformacions l'equació diferencial de l'elàstica ve donada per:

A on:
$v(x)$ representa la flecha, ordenada (eix i) o desplaçament vertical, respecte de la posició sense càrregues.
$x$ és l'abscissa (eix X) sobre el voltó.
$M_z(x)$ és el moment flector sobre l'abscissa $x$.
$I_z$ és el segon moment d'àrea o moment d'inèrcia de la secció travessera.
$E$ és el mòdul d'elasticitat del material.

L'equació (1) constituïx solament una aproximació, en la que s'ha supost que les deformacions són molt chicotetes sobre les dimensions del voltó i, per tant, s'ha aproximat el gir d'una secció del voltó en la derivada primera de la flecha. Per a deformacions majors s'obté l'equació més exacta (1'):

L'equació de l'elàstica (1) pot ser reescrita en funció de la càrrega distribuïda q(x) sobre el voltó:

Esta última equació és interessant perque la seua generalisació a elements bidimensionales és precisament l'equació fonamental de govern de plaques o equació de Lagrange per a plaques primes:

A on $D=E{I}_{pl}$ és la rigidea d'una placa prima en flexión.

Eixemple

Erro al crear miniatura:

Voltó deformat per flexión.

Per a un voltó elàstic en la que s'apliquen sol moments M₁ i M₂, la forma de la curva elàstica depén solament de dos paràmetros independents, la forma aproximada de la deformada dependrà del valor i signe relatiu d'estos moments, sent un cas típic el mostrat en la figura adjacent. Escrivint la llei de moments flectores per als punts intermijos del voltó i triant les condicions de contorns apleguem a l'equació diferencial següent:

$\frac{d^{2}v(x)}{d{x}^2}=\frac{1}{E{I}_z}(M_1+\frac{M_2-M_1}{L}x)$

$\{\begin{array}{c}v(L)-v(0)={\delta }_2-{\delta }_1=\delta \\ v^{\prime }(L)-v^{\prime }(0)={\theta }_2-{\theta }_1=\frac{\delta }{L}\end{array}$

La solució analítica d'equació anterior en qualsevol dels dos possibles eleccions de contorn, s'obté com:

Càlcul de deformacions en voltons

Método d'integració

Este método consistix en l'integració de l'equació descrita en la secció anterior. És necessari obtindre primer la llei de variació del moment flector per al voltó estudiat, tal com es va fer en l'eixemple anterior. Una volta coneguda la llei de moments flectores, es procedix per integració directa.

Si es coneix per a un punt concret, digam per eixemple x = a, el desplaçament vertical i l'àngul girat per la curva elàstica al voltant d'eixe punt respecte a la posició original el resultat de la deformació el resultat de l'integració directa és simplement:

Equivalentemente l'expressió anterior pot reescriure's per mig d'integració per parts com una integral simple:

El cridat método de l'àrea-moment és en realitat una versió en térmens geomètrics del método d'integració. D'acort en esta versió la doble integral en l'equació anterior pot calcular-se del següent modo:

1. Es calcula la superfície de l'àrea baix la curva M_z/EI.
2. Es calcula la distància centroide de l'àrea anterior mida a partir de l'eix del voltó.
3. La segona integral buscada és el producte de les dos magnituts anteriors.

Método de superposició

Artícul principal → Pendents i deformacions en voltons.

El método de superposició usa el principi de superposició de la teoria de l'elasticitat llineal. El método de superposició consistix en descompondre el problema inicial de càlcul de voltons en problemes o casos més simples, que sumats o "superposts" són equivalents al problema original. ya que per als casos més senzills existixen taules i fòrmules de pendents i deformacions en voltons en descompondre el problema original com a combinacions dels casos més simples recollits en les taules la solució del problema pot ser calculada sumant resultats d'estes taules i fòrmules.

Vore també

• Fibra neutra
• Método del voltó conjugat
• Pendents i deformacions en voltons
• Teoremes de Mohr