Interacció d'intercanvi multipolar

Es troba que materials magnètics en interacció espin-òrbita forta, tals com: LaFeAsO,^[1] PrFe4P12^[2] , YbRu2Ge2,^[3] UO2,^[4] NpO2,^[5] Ce1−xLaxB6,^[6] URu2Si2^[7] i molts atres composts tenen un ordenament magnètic constituït per multipolos d'alt ranc (cuádruple, óctuple, etc).^[8] Pel fort acoplament espin-òrbita, els multipolos es presenten automàticament en sistemes a on el número quàntic de moment angular total, J, és major que 1/2. Si estos multipolos s'acoplen per algun mecanisme d'intercanvi, estos multipolos poden tendir a tindre un ordenament com el d'un problema de Heisenberg convencional d'espin 1/2. Ademés de l'ordenament multipolar, es creu que molts atres fenomens amagats estan estretament relacionats en les interaccions multipolares.

Expansió d'operadors tensoriales

Conceptes bàsics

Considere's un sistema mecano-quàntic en un espai de Hilbert generat per $| j, m_{j} ⟩$ , a on $j$ és el moment angular total i $m_{j}$ és la seua proyecció en l'eix de cuantización. Llavors qualsevol operador quàntic pot representar-se usant el conjunt base ${| j, m_{j} ⟩}$ com una matriu de dimensió $(2 j + 1)$ . Ademés, es poden definir $(2 j + 1)^{2}$ matrius per a expandir completament qualsevol operador quàntic en este espai de Hilbert. Prenent com a eixemple J=1/2, un operador As pot expandir com

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] = 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 3 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] + 4 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = 1 L_{1, 1} + 2 L_{1, 2} + 3 L_{2, 1} + 4 L_{2, 2}

Òbviament, les matrius: $L_{i j} = | i ⟩ ⟨ j |$ formen una base en l'espai d'operadors. Qualsevol operador quàntic definit en este espai de Hilbert pot expandir-se en els operadors ${L_{i j}}$ . En avant, cridem a estes matrius una superbase per a distinguir-la de la base pròpia dels estats quàntics. Més específicament, la superbase anterior ${L_{i j}}$ pugues llarmarse superbase de transició ya que descriu la transició entre els estats $| i ⟩$ i $| j ⟩$ . De fet, esta no és l'única superbase que permet el truc. També podem usar les matrius de Pauli junt en la matriu identitat per a formar una superbase

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] = \frac{5}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + \frac{i}{2} [\begin{matrix} 0 & i \\ - i & 0 \end{matrix}] + \frac{3}{2} [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + \frac{5}{2} [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = \frac{5}{2} I + \frac{i}{2} σ_{y} + \frac{3}{2} σ_{z} + \frac{5}{2} σ_{x}

Ya que les propietats rotacionales de $σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}$ seguixen les mateixes regles que el tensor d'harmònics cúbics de ranc 1 $T_{x}, T_{y}, T_{z}$ i que la matriu identitat $I$ seguix les mateixes regles que el tensor de ranc 0 $T_{s}$ , la base ${I, σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}}$ pugues llarmarse superbase cúbica. Una atra superbase àmpliament utilisada és la superbase harmònica esfèrica, que es construïx reemplaçant els $σ_{x}, σ_{y}$ pels operadors escala ${I, σ_{- 1}, σ_{0}, σ_{+ 1}}$

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] = \frac{5}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + \frac{3}{2} [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] - 3 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] = \frac{5}{2} I + 2 σ_{+ 1} + \frac{3}{2} σ_{0} - 3 σ_{- 1}

De nova, $σ_{- 1}, σ_{0}, σ_{+ 1}$ compartixen les mateixes propietats rotacionales que els tensors harmònics esfèrics de ranc 1 $Y_{- 1}^{1}, Y_{0}^{1}, Y_{- 1}^{1}$ , per lo que es coneix com superbase esfèrica.

Ya que els orbitales atòmics $s, p, d, f$ també estan descrits per funcions harmòniques esfèriques o cúbiques, es pot imaginar o visualisar estos operadors usant les funcions d'ona de orbitales atòmics, a pesar de que són essencialment matrius i no funcions espacials.

Si estenem el problema a $J = 1$ , necessitarem 9 matrius per a formar una superbase. Per a la superbase de transició, tenim ${L_{i j}; i, j = 1 \sim 3}$ . Per a la superbase cúbica tenim ${T_{s}, T_{x}, T_{y}, T_{z}, T_{x y}, T_{y z}, T_{z x}, T_{x^{2} - y^{2}}, T_{3 z^{2} - r^{2}}}$ . Per a la superbase esfèrica, tenim ${Y_{0}^{0}, Y_{- 1}^{1}, Y_{0}^{1}, Y_{- 1}^{1}, Y_{- 2}^{2}, Y_{- 1}^{2}, Y_{0}^{2}, Y_{1}^{2}, Y_{2}^{2}}$ . En teoria de grups, $T_{s} / Y_{0}^{0}$ es coneix com a tensor escalar o de ranc 0, els $T_{x, y z,} / Y_{- 1, 0, + 1}^{1}$ es coneixen com a tensors dipolares o de ranc 1 i els $T_{x y, y z, z x, x^{2} - y^{2}, 3 z^{2} - r^{2}} / Y_{- 2, - 1, 0, + 1, + 2}^{2}$ Es coneixen com a tensors cuadrupolares o de ranc 2.

Este eixemple mostra que, per a un problema de multiplete $J$ , es necessitaran operadors de tots els rancs $0 \sim 2 J$ per a formar una superbase completa. Ademés, per a un sistema en $J = 1$ , el seu matriu de densitat deu tindre components cuadrupolares. Esta és la raó per la que el problema en $J > 1 / 2$ presentarà automàticament multipolos d'alt ranc en el sistema.^[9]

Definicions formals

Archiu:Tensor operator.png

Elements de matriu i part real de les funcions harmòniques corresponents de la base d'operadors cúbica en el cas J=1.

Una definició general de la superbase harmònica esfèrica d'un problema de multiplete $J$ es pot expressar com

Y_{K}^{Q} (J) = \sum_{M M^{'}} (- 1)^{J - M} (2 K + 1)^{2} \times (\begin{matrix} J & J & K^{^{'}} \\ M^{^{'}} & M & Q \end{matrix}) | J M ⟩ ⟨ J M^{^{'}} |,

a on el paréntesis denota un símbol 3-j; K és el ranc que varia entre $0 \sim 2 J$ ; Q és l'índex de proyecció del ranc K que varia entre -K i +K. Una superbase harmònica cúbica a on tots els operadors tensoriales siguen hermíticos es pot definir com

T_{K}^{Q} = \frac{1}{\sqrt{2}} [(- 1)^{Q} Y_{K}^{Q} (J) + Y_{K}^{- Q} (J)]

T_{K}^{- Q} = \frac{i}{\sqrt{2}} [Y_{K}^{- Q} (J) - (- 1)^{Q} Y_{K}^{- Q} (J)]

Aixina, qualsevol operador quàntic $A$ definit en l'espai de Hilbert de multiplete $J$ pot expandir-se com

A = \sum_{K, Q} α_{K}^{Q} Y_{K}^{Q} = \sum_{K, Q} β_{K}^{Q} T_{K}^{Q} = \sum_{i, j} γ_{i, j} L_{i, j}

a on els coeficients de l'expansió es poden obtindre prenent la traça, açò és, $α_{K}^{Q} = T r [A Y_{K}^{Q †}]$ . Aparentment, es poden fer combinacions llineals d'estos operadors per a formar una nova superbase que tinga diferents simetria.

Descripció multiintercambio

Usant el teorema d'adició d'operadors tensoriales, el producte d'un tensor de ranc n i un tensor de ranc m pot generar un nou tensor de ranc n+m |n-m|. Ademés, un tensor de ranc alt pot expressar-se com el producte de tensors de ranc baix. Esta convenció és útil per a interpretar els térmens d'intercanvi multipolar d'alt ranc com un procés de "multiintercambio" de dipols (o seudoespines). Per eixemple, per als operadors tensoriales harmònics esfèrics del cas $J = 1$ , tenim:

Y_{2}^{- 2} = 2 Y_{1}^{- 1} Y_{1}^{- 1}

Y_{2}^{- 1} = \sqrt{2} (Y_{1}^{- 1} Y_{1}^{0} + Y_{1}^{0} Y_{1}^{- 1})

Y_{2}^{0} = \sqrt{24} / 6 (Y_{1}^{- 1} Y_{1}^{+ 1} + 2 Y_{1}^{0} Y_{1}^{0} + Y_{1}^{+ 1} Y_{1}^{- 1})

Y_{2}^{+ 1} = \sqrt{2} (Y_{1}^{0} Y_{1}^{+ 1} + Y_{1}^{+ 1} Y_{1}^{0})

Y_{2}^{+ 2} = 2 Y_{1}^{+ 1} Y_{1}^{+ 1}

Aixina, una interacció cuadrupolo-cuadrupolo pot considerar-se com una interacció dipol-dipol de dos passos. Per eixemple, $Y_{2_{i}}^{+ 2_{i}} Y_{2_{j}}^{- 2_{j}} = 4 Y_{1_{i}}^{+ 1_{i}} Y_{1_{i}}^{+ 1_{i}} Y_{1_{j}}^{- 1_{j}} Y_{1_{j}}^{- 1_{j}}$ , de manera que el pas de transició cuadrupolar $Y_{2_{i}}^{+ 2_{i}}$ en la posició $i$ es convertix ara en dos passos de transició dipolar $Y_{1_{i}}^{+ 1_{i}} Y_{1_{i}}^{+ 1_{i}}$ . Per tant, no solament apareixen intercanvis entre distintes posicions sino també intercanvis en la pròpia posició (cridats multiintercambios). Si $J$ és encara major, es poden esperar térmens de autointercambio més complicats. No obstant, ha de notar-se que açò no és una expansió per destorbament sino una tècnica matemàtica. Els térmens de ranc alt no són necessàriament més menuts que els térmens de ranc baix. En molts sistemes, els térmens de ranc alt són més importants que els de ranc baix.

Interaccions d'intercanvi multipolares

Existixen quatre mecanismes principals per a induir interaccions d'intercanvi entre dos moments magnètics en un sistema: intercanvi directe, RKKY, superintercambio i ret de espin. Independentment de quin terme siga dominant, una forma general d'interacció d'intercanvi es pot escriure com

H = \sum_{i j} \sum_{K Q} C_{K_{i} K_{j}}^{Q i Q_{j}} T_{K_{i}}^{Q_{i}} T_{K_{j}}^{Q_{j}}

a on $i, j$ són els índexs de la posició i $C_{K_{i} K_{j}}^{Q i Q_{j}}$ és la constant d'acoplament que acopla dos moments multipolares $T_{K_{i}}^{Q_{i}}$ i $T_{K_{j}}^{Q_{j}}$ . S'obté de forma immediata que si $K$ es restringix únicament a 1, el hamiltoniano es reduïx al model de Heisenberg convencional.

Una característica important del hamiltoniano d'intercanvi multipolar és el seu anisotropía. El valor de la constant d'acoplament $C_{K_{i} K_{j}}^{Q i Q_{j}}$ és habitualment molt sensible a l'àngul relatiu entre dos multipolos. Al contrari que en el hamiltoniano habitual d'intercanvi sol d'espin, en el que les constants d'acoplament són isótropo en un sistema homogéneu, els orbitales atòmics, altament anisótropos (recorde's la forma de les funcions d'ona dels $s, p, d, f$ ), acoplats als moments magnètics del sistema introduiran inevitablement una gran anisotropía inclús en un sistema homogéneu. Esta és una de les principals raons per les que la majoria d'ordenaments multipolares tendixen a ser no colineales.

Referències

↑ F. Cricchio, O. Granes, and L. Nordstrom, Phys. Rev. B. 81, 140403 (2010); R. S. Gonnelli, D. Daghero, M. Tortello, G. A. Ummarino, V. A. Stepanov, J. S. Kim, and R. K. Kremer, Phys. Rev. B 79, 184526 (2009)
↑ A. Kiss and Y. Kuramoto, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 2530 (2005); H. Sato, T. Sakakibara, T. Tayama, T. Onimaru, H. Sugawara, and H. Sato, J. Phys. Soc. Jpn. 76, 064701 (2007)
↑ T. Takimoto and P. Thalmeier, Phys. Rev. B 77, 045105 (2008)
↑ S.-T. Pi, R. Nanguneri, and S. Savrasov, Phys. Rev. Lett. 112, 077203 (2014); P. Giannozzi and P. Erdos, J. Mag. Mag Mater. 67, 75 (1987). V. S. Mironov, L. F. Chibotaru, and A. Ceulemans, Adv. Quan. Chem. 44, 599 (2003); S. Carretta, P. Santini, R. Caciuffo, and G. Amoretti, Phys. Rev. Lett. 105, 167201 (2010); R. Caciuffo, P. Santini, S. Carretta, G. Amoretti, A. Hiess, N. Magnani, L. P. Regnault, and G. H. Lander, Phys. Rev. B 84, 104409 (2011)
↑ P. Santini and G. Amoretti, Phys. Rev. Lett. 85, 2188 (2000); P. Santini, S. Carretta, N. Magnani, G. Amoretti, and R. Caciuffo, Phys. Rev. Lett. 97, 207203 (2006); K. Kubo and T. Hotta, Phys. Rev. B 71, 140404 (2005)
↑ D. Mannix, Y. Tanaka, D. Carbone, N. Bernhoeft, and S. Kunii, Phys. Rev. Lett. 95, 117206 (2005)
↑ P. Chandra, P. Coleman, J. A. Mydosh, and V. Tripathi, Nature (London) 417, 831 (2002); Francesco Cricchio, Fredrik Bultmark, Oscar Granes, and Lars Nordstrom, Phys. Rev. Lett. 103, 107202 (2009); Hiroaki Ikeda, Michi-To Suzuki, Ryotaro Arita, Tetsuya Takimoto, Takasada Shibauchi, and Yuji Matsuda, Nat. Phys. 8, 528 (2012); A. Kiss and P. Fazekas, Phys. Rev. B 71, 054415 (2005); J. G. Rau and H.-Y. Kee, Phys. Rev. B 85, 245112 (2012)
↑ R. Caciuffo et al., Rev. Mod. Phys. 81, 807 (2009)
↑ S.-T. Pi, R. Nanguneri, and S. Savrasov, Phys. Rev. Lett. 112, 077203 (2014); S.-T. Pi, R. Nanguneri, and S. Savrasov, Phys. Rev. B 90, 045148 (2014)

Este artícul conté una traducció derivada de «Interacción de intercambio multipolar» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[LaFeAsO-1] F. Cricchio, O. Granes, and L. Nordstrom, Phys. Rev. B. 81, 140403 (2010); R. S. Gonnelli, D. Daghero, M. Tortello, G. A. Ummarino, V. A. Stepanov, J. S. Kim, and R. K. Kremer, Phys. Rev. B 79, 184526 (2009)

[PrFe4P12-2] A. Kiss and Y. Kuramoto, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 2530 (2005); H. Sato, T. Sakakibara, T. Tayama, T. Onimaru, H. Sugawara, and H. Sato, J. Phys. Soc. Jpn. 76, 064701 (2007)

[YbRu2Ge2-3] T. Takimoto and P. Thalmeier, Phys. Rev. B 77, 045105 (2008)

[UO2-4] S.-T. Pi, R. Nanguneri, and S. Savrasov, Phys. Rev. Lett. 112, 077203 (2014); P. Giannozzi and P. Erdos, J. Mag. Mag Mater. 67, 75 (1987). V. S. Mironov, L. F. Chibotaru, and A. Ceulemans, Adv. Quan. Chem. 44, 599 (2003); S. Carretta, P. Santini, R. Caciuffo, and G. Amoretti, Phys. Rev. Lett. 105, 167201 (2010); R. Caciuffo, P. Santini, S. Carretta, G. Amoretti, A. Hiess, N. Magnani, L. P. Regnault, and G. H. Lander, Phys. Rev. B 84, 104409 (2011)

[NpO2-5] P. Santini and G. Amoretti, Phys. Rev. Lett. 85, 2188 (2000); P. Santini, S. Carretta, N. Magnani, G. Amoretti, and R. Caciuffo, Phys. Rev. Lett. 97, 207203 (2006); K. Kubo and T. Hotta, Phys. Rev. B 71, 140404 (2005)

[Ce1−xLaxB6-6] D. Mannix, Y. Tanaka, D. Carbone, N. Bernhoeft, and S. Kunii, Phys. Rev. Lett. 95, 117206 (2005)

[URu2Si2-7] P. Chandra, P. Coleman, J. A. Mydosh, and V. Tripathi, Nature (London) 417, 831 (2002); Francesco Cricchio, Fredrik Bultmark, Oscar Granes, and Lars Nordstrom, Phys. Rev. Lett. 103, 107202 (2009); Hiroaki Ikeda, Michi-To Suzuki, Ryotaro Arita, Tetsuya Takimoto, Takasada Shibauchi, and Yuji Matsuda, Nat. Phys. 8, 528 (2012); A. Kiss and P. Fazekas, Phys. Rev. B 71, 054415 (2005); J. G. Rau and H.-Y. Kee, Phys. Rev. B 85, 245112 (2012)

[Review-8] R. Caciuffo et al., Rev. Mod. Phys. 81, 807 (2009)

[multipolar_exchange-9] S.-T. Pi, R. Nanguneri, and S. Savrasov, Phys. Rev. Lett. 112, 077203 (2014); S.-T. Pi, R. Nanguneri, and S. Savrasov, Phys. Rev. B 90, 045148 (2014)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]