Interacció de bescanvi

Archiu:Canje-espines.png

Dos orbitales d de ions metàlics veïns: l'interacció de bescanvi J es produïx entre dos electrons en el mateix número quàntic d'espin M_s, i impedix que s'acosten massa.

La interacció de bescanvi magnètic (de l'anglés magnetic exchange, o interacció d'intercanvi magnètic) és un efecte descrit per la mecànica quàntica que ocorre entre electrons desapareados del mateix o diferents àtoms o ionés, quan solapan les seues funciones d'ona, açò és, quan estan relativament pròxims. De forma simplificada, l'energia de dos electrons, quan estan molt propencs, depén de la simetria de les seues orbitales, és dir, de la seua distribució en l'espai, i per tant de l'orientació relativa de les seues espin, els seus moments angulars intrínsecs. Esta interacció és una manifestació del principi d'exclusió de Pauli, que té un efecte notable en química i per tant en la vida quotidiana, ya que està relacionat en la repulsió a curt alcanç entre àtoms o molècules, i que impedix que la matèria colapse.^{[nota 1]}^[1] També té una importància fonamental en magnetisme, puix, en alterar l'energia dels estats depenent de la disposició dels espin electrònics, és un dels processos principals pel que els moments magnètics s'alineen entre sí. D'esta forma, està en la base de bona part dels fenomens magnètics, tant els de interés acadèmic com els de importància industrial i social.^{[nota 2]}

El fenomen i els seus efectes principals ya varen ser descrits en el marc de la mecànica quàntica en 1926,^{[nota 3]} pero en les décades següents es varen succeir els diferents models per a descriure fenomens similars o relacionats, o el mateix fenomen en contexts particulars. En magnetisme, s'usen intercambiablemente els térmens bescanvi i bescanvi magnètic en diferents contexts i en diferents accepcions relacionats en esta interacció. Es denomina bescanvi, per eixemple, al paràmetro del hamiltoniano efectiu que descriu a l'interacció de bescanvi, i que és proporcional a la diferència d'energia entre estats en diferent moment magnètic. A voltes s'ampra en contraposició a supercanje, per a indicar que l'interacció té lloc per solapamiento directe entre els orbitales magnètics, i no és mediat per un pont diamagnético. En major o menor propietat, s'usen térmens derivats en diferents models físics que també descriuen la separació energètica d'estats de diferent moment magnètic.

En este artícul es dona una introducció històrica a alguns dels principals conceptes relacionats en el bescanvi magnètic. Primer, es dona una definició quantitativa de la variable més directament relacionada en esta interacció: la cridada integral o energia de bescanvi. Partint d'eixa base, es presenten les principals ferramentes teòriques per a descriure al bescanvi magnètic en la seua forma més senzilla: els hamiltonianos de Ising, de Heisenberg, i el model XY. A continuació, es presenten alguns models per a processos relacionats en el bescanvi, més sofisticats o més complexos, i en general també de més llarc alcanç. Finalment, es mencionen el model de Hubbard i la teoria del funcional de la densitat, i s'expon la seua relació en l'interacció de bescanvi.

Integral o energia de bescanvi

Archiu:Exchange interaction 1. caps block 12

El bescanvi o intercanvi es produïx entre dos electrons 1 i 2, lligats als núcleus a i b.

Els efectes de l'interacció de bescanvi varen ser descoberts independentment pels físics Werner Heisenberg i Paul Dirac en 1926;^[2]^[3] l'interacció de bescanvi també està íntimament relacionada en el del principi d'exclusió de Pauli, enunciat en 1925.^[4] Sorgix de forma natural en considerar la indistinguibilidad d'algunes partícules en la mecànica quàntica: mentres que en mecànica clàssica les partícules són distinguibles i es descriuen en la estadística de Maxwell-Boltzmann, en el context de la mecànica quàntica no existix un procediment físic per a distinguir-les o dir si una partícula observada en un instant és la mateixa que una atra observada en un instant posterior.^{[nota 4]} Esta circumstància fa que el tractament quàntic adequat de les partícules idèntiques requerixca estadística de Bose-Einstein, si les partícules idèntiques són bosones o la de Fermi-Dirac, si són fermiones. En este context, el bescanvi o intercanvi entre dos electrons en posicions ${\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}$ i espin s₁,s₂ o, en general, entre dos fermiones, comporta un canvi de signe de la funció d'onas Ψ que definix matemàticament al sistema:

En este aspecte, els fermiones contrasten en els bosones, per als que l'intercanvi entre dos partícules manté la funció d'ona idèntica. Cal tindre en conte que totes les propietats observables depenen del quadrat de la funció d'ona. L'intercanvi de dos partícules idèntiques, siguen bosones o fermiones, no canvia el valor absolut de la funció d'ona, i per tant no canvia cap propietat física.

La diferència bàsica entre bosones i fermiones és que els primers poden agrupar-se en el mateix estat i posició en un número qualsevol d'ells, com ocorre en els fotons en un làser. Per un atre costat, els fermiones idèntics no poden estar en la mateixa posició i en el mateix estat.^{[nota 5]} Els tres electrons d'un àtom de liti en el seu estat de mínima energia no poden estar en el orbital 1s i en espin dalt, pese a que este siga el orbital més estable: tindrà dos electrons 1s, un en espin dalt i un atre en espin avall, i un electró 2s.

L'interacció de bescanvi no té anàlec clàssic, i altera el valor esperat de l'energia dels estats segons el seu simetria espacial, la qual cosa es traduïx en diferent simetria d'espin i diferent valor esperat del moment magnètic. La energia de bescanvi denotada J₁₂, que es produïx per la repulsió de Coulomb entre dos electrons 1 i 2, que poden ser descrits per les funcions d'ones ϕ_A i ϕ_B, i que tenen el mateix número quàntic d'espin ve donada, en la notació bra-ket de Dirac:

, a on i és la càrrega elemental i r₁₂ és el valor esperat de la distància entre els electrons. A voltes li la crida integral de bescanvi perque també pot expressar-se com una integral a tot l'espai de tipo:

J_{12} = \int ϕ_{A}^{*} (r_{1}) ϕ_{B}^{*} (r_{2}) V_{I} (r_{1}, r_{2}) ϕ_{B} (r_{1}) ϕ_{A} (r_{2}) d r_{1} d r_{2} .

A on ${r_{1}, r_{2}}$ representen a les tres coordenades espacials de cada electró ${x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}}$ , ϕ^* és la funció complexa conjugada de ϕ i l'interacció $V_{I} (r_{1}, r_{2})$ pot tindre la forma $e^{2} / r_{12}$ . Esta integral estabilisa el triplet d'espin, d'acort en la regla de Hund.

Esta interacció és part de la correlació electrònica, i està relacionada en lo que es coneix com buit de Fermi: la tendència d'un electró d'un número quàntic d'espin a no situar-se en el mateix punt de l'espai que un atre electró en el mateix número quàntic d'espin; en oposició a dos bosones, que tendixen a estar més prop de lo que estarien si foren partícules distinguibles.Erro en la cita: Element <ref> no vàlit; les referencies sense nom deuen de tindre contingut Si es calcula el valor esperat de la distància entre dos partícules en un estat simètric o antisimètric, es pot vore l'efecte de l'interacció de bescanvi.Erro en la cita: Element <ref> no vàlit; les referencies sense nom deuen de tindre contingut Aixina, esta interacció és responsable del sumant repulsivo en el potencial de Lennard-Jones, o, en térmens químics, del efecte estérico: lo que fa que dos àtoms «choquen» entre sí en lloc de interpenetrarse lliurement. Dyson i Lenard varen mostrar que, sense la participació d'este efecte, l'atracció entre núcleus i electrons s'impondria sobre les repulsió núcleu-núcleu i electró-electró, lo que tindria com a conseqüència el colapse de la matèria.^[1]

Convé insistir que esta interacció no és de naturalea magnètica, sino elèctrica.^[5] No obstant, com es desenrolla en el restant d'este artícul, alguns dels seus efectes més notables sí són magnètics, i és per eixe motiu que se li crida, en certa impropiedad, bescanvi magnètic. Més encara, com s'explica més avall, s'aplega a cridar per analogia «bescanvi dipolar» o «bescanvi a través de l'espai» a lo que no és sino una interacció magnètica dipolar.

Hamiltonianos de bescanvi directe

En mecànica quàntica, cada propietat física observable es correspon matemàticament en un operador autoadjunto definit sobre el espai de Hilbert que s'usa per a representar els estats físics del sistema. En el cas de l'energia, eixe operador és el hamiltoniano. Quan la dinàmica interna d'un procés no es coneix be, o quan és massa complexa com per a tractar-la explícitament, és molt habitual l'us d'hamiltonianos model aproximats, que es basen en una mecànica fictícia i simplificada per a reproduir els valors d'interés. En este context, hi ha tres hamiltonianos modele clarament diferenciats per a racionalisar els efectes del bescanvi directe, que són més o menys apropiats per a diferents tipos de sistemes i que s'exponen a continuació en l'orde històric en que varen ser proposts.

Hamiltoniano de Ising

Artícul principal → Model de Ising.

El Hamiltoniano de Ising va nàixer com model matemàtic per a explicar el ferromagnetisme a partir de la mecànica estadística. Va ser plantejat com a problema per part de Wilhelm Lenz al seu alumne Ernst Ising, qui ho va resoldre en 1925 per al cas d'una dimensió; en este cas concret no es troba transició a la fase ferromagnética des de la fase paramagnética.^[6] És destacable que encara que posteriorment s'haja adoptat com un hamiltoniano model senzill per a reproduir l'efecte de l'interacció de bescanvi baix determinades condicions, el primer model de Ising va ser solucionat un any abans del descobriment de l'interacció de bescanvi com a efecte mecanocuántico.^[7]

El Hamiltoniano de Ising es basa en la reducció dels possibles valors de l'espin a dos úniques proyeccions s^z sobre l'eix z de valors {+1,-1}:

$s_{i}^{z} = \pm 1$

i per tant l'energia del sistema es definix per efecte Zeeman del camp magnètic extern H_z sobre eixes proyeccions s^z, més una interacció J_ij entre estes. Pel seu orige com a model de mecànica estadística, generalment es planteja per a un conjunt de espin:

$\hat{H} = - \sum_{i j} J_{i j} s_{i}^{z} s_{j}^{z} - H_{z} \sum_{i = 1}^{N} s_{i}^{z}$

En térmens pràctics, té sentit considerar-ho per eixemple quan el desdoblament a camp nul del sistema és tal que, per baix de certa temperatura, l'interacció ocorre solament entre les proyeccions sobre l'eix z de l'espin; en atres paraules, si l'espin residix fonamentalment en un eix, habitualment val la pena simplificar els càlculs considerant solament eixe eix.

Les següents animacions dinàmiques mostren els resultats del model de Ising en dos dimensions per a diferents relacions entre el bescanvi magnètic i la temperatura, de manera que segons s'estiga o no a temperatures per baix del punt crític s'aplega o no a la formació de dominis magnètics. Es veu cóm temperatures per baix del punt crític el sistema s'ordena en dominis magnètics ben diferenciats, que es representen en els diagrames zones de diferents colors. En el punt crític entre el ferromagnetisme i el paramagnetisme, s'escomença a vore esta aparició de dominis, pero no apleguen a consolidar-se.

Erro al crear miniatura:

(A) En el punt crític.
Erro al crear miniatura:

(B) Per baix del punt crític.

Hamiltoniano de Heisenberg

El Hamiltoniano de Heisenberg o de Heisenberg-Dirac-van-Vleck és un hamiltoniano model (fenomenológico) de bescanvi magnètic, propost en 1928 per Werner Heisenberg i Paul Dirac.^[8]^[9] Es pot vore com una generalisació del model de Ising, a on l'espin o l'interacció entre espin no té per qué estar llimitada a un eix, i s'usa el operador de la magnitut total del espin $\hat{S}$ .^[10] Sobre el signe o el prefactor, no hi ha unitat entre físics i diferents escoles de magnetoquímicos, pero en qualsevol cas la magnitut del bescanvi J és proporcional a la diferència d'energia entre els estats de diferent espin i el seu signe es correspon en el caràcter ferromagnético o antiferromagnético de l'interacció.

$\hat{H} = J {\hat{S}}_{1} {\hat{S}}_{2} \lor \hat{H} = - J {\hat{S}}_{1} {\hat{S}}_{2} \lor \hat{H} = - 2 J {\hat{S}}_{1} {\hat{S}}_{2}$

Esquema del bescanvi magnètic

Es mostra una representació simplificada en la figura (a), en la que veem que, partint de dos estats, cada u d'ells corresponent a un electró sobre un centre magnètic, apleguem a dos estats, un d'ells en els moments magnètics dels electrons apareados ferromagnéticamente (paralels) i un atre antiferromagnéticamente (antiparalelos).

La figura (b) dona una image una miqueta més detallada, posant émfasis en la naturalea fermiónica dels electrons, i expressant els estats com determinants de Slater. Aixina, es veu que l'estat ferromagnético és un triplet, i el antiferromagnético un singulete. L'intercanvi entre dos fermiones idèntics va acompanyat d'un canvi de signe de la funció d'ona, aixina, el triplet, que és simètric en l'espin, és antisimètric espacialmente, i el singlete, antisimètric en l'espin, és simètric en l'espai.

L'interacció de bescanvi magnètic entre dos electrons desparejados es deu fonamentalment a la repulsió de Coulomb entre les seues càrregues elèctriques, funcionant baix les lleis de la mecànica quàntica. La contribució de l'interacció magnètica «directa», «dipolar» o «a través de l'espai» és comparativament molt dèbil, i pot ser despreciada de forma casi general (encara que en els casos d'interaccions entre un gran número de espin, com és el cas de plans ferromagnéticos, en un moment magnètic molt gran, l'interacció «a través de l'espai» pren importància.

Model XY

En anys 60 s'estudia el model XY,^[11] com a cas particular del model de Heisenberg, complementari al model de Ising, en el sentit de que el hamiltoniano de Ising es pot derivar del de Heisenberg en J_x = J_i = 0 mentres que el model XY és el que s'obté si J_z = 0.^[7] Es pot pensar que si el model de Ising descriu espin en un eix de fàcil imanación, el model XY descriu espin en un pla de fàcil imanación. Estos tres models s'han denominat casos particulars d'un model N-dimensional, a on N fa referència a la dimensió de cada espin, no a la de la ret que els conté.^[12]

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 F. J. Dyson, A. Lenard, J. Math. Phys. 8, 3, 423-434 (1967); F. J. Dyson, A. Lenard, J. Math. Phys., 9, 5, 698-711 (1968); E. H. Lieb, W. Thirring, Phys. Rev. Lett. 35, 687-689 (1975)
↑ Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik, W. Heisenberg, Zeitschrift für Physik 38, #6–7 (June 1926), pp. 411–426. DOI 10.1007/BF01397160.
↑ On the Theory of Quàntum Mechanics, P. A. M. Dirac, Proceedings of the Royal Society of London, Séries A 112, # (October 1, 1926), pp. 661—677.
↑ Es dona una explicació d'este principi en el seu context històric, incloent la relació en l'energia de bescanvi, en Pauli, W.. «Exclusion Principle and Quàntum Mechanics (Wolfgang Pauli - Nobel Lecture)» (en anglés). Consultat el 11 de juny de 2010. «It became clear that the energy difference between corresponding levels of the two classes has nothing to do with magnetic interactions but is a new type of much larger order of magnitude, which one called exchange energy»
↑ El capítul 8 de (Kahn, 1993) i en particular les pp.155-159 conté prou detalls, a partir del model d'Anderson, sobre les diferents contribucions electròniques a l'interacció de bescanvi en un cas senzill, entre elles el bescanvi cinètic, el bescanvi potencial, diferents formes de transferència electrònica i diferents térmens de polarisació.
↑ Ising, E.: Beitrag zur Theorie dones Ferromagnetismus Zeitschrift für Physik, Bd. 31, S. 253-258, 1925
↑ ^7,0 ^7,1 Les pp. 261-263 de (Kahn, 1993) posen els models de Ising i XY en el context d'un capítul dedicat a les cadenes magnètiques.
↑ Heisenberg, W.(1928).49(9)
↑ Paul Dirac(1926).112
↑ Vore (Kahn, 1993) para més detalls sobre l'obtenció i aplicabilidad del Hamiltoniano HDvV.
↑ Vore, per eixemple, Katsura, S.(1962).127 i Lieb, E.; Schultz, T.; Mattis, D.(1961).16(3)
↑ Stanley, H. E.(1968).20;Stanley, H. E.(1968).(176)

Este artícul conté una traducció derivada de «Interacción de canje» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "nota", pero no es trobà una etiqueta <references group="nota"/>

[DysonLenard-2] 1,0 ^1,1 F. J. Dyson, A. Lenard, J. Math. Phys. 8, 3, 423-434 (1967); F. J. Dyson, A. Lenard, J. Math. Phys., 9, 5, 698-711 (1968); E. H. Lieb, W. Thirring, Phys. Rev. Lett. 35, 687-689 (1975)

[heisenberg-5] Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik, W. Heisenberg, Zeitschrift für Physik 38, #6–7 (June 1926), pp. 411–426. DOI 10.1007/BF01397160.

[dirac-6] On the Theory of Quàntum Mechanics, P. A. M. Dirac, Proceedings of the Royal Society of London, Séries A 112, # (October 1, 1926), pp. 661—677.

[7] Es dona una explicació d'este principi en el seu context històric, incloent la relació en l'energia de bescanvi, en Pauli, W.. «Exclusion Principle and Quàntum Mechanics (Wolfgang Pauli - Nobel Lecture)» (en anglés). Consultat el 11 de juny de 2010. «It became clear that the energy difference between corresponding levels of the two classes has nothing to do with magnetic interactions but is a new type of much larger order of magnitude, which one called exchange energy»

[Anderson-10] El capítul 8 de (Kahn, 1993) i en particular les pp.155-159 conté prou detalls, a partir del model d'Anderson, sobre les diferents contribucions electròniques a l'interacció de bescanvi en un cas senzill, entre elles el bescanvi cinètic, el bescanvi potencial, diferents formes de transferència electrònica i diferents térmens de polarisació.

[11] Ising, E.: Beitrag zur Theorie dones Ferromagnetismus Zeitschrift für Physik, Bd. 31, S. 253-258, 1925

[IsingXY-12] 7,0 ^7,1 Les pp. 261-263 de (Kahn, 1993) posen els models de Ising i XY en el context d'un capítul dedicat a les cadenes magnètiques.

[13] Heisenberg, W.(1928).49(9)

[14] Paul Dirac(1926).112

[15] Vore (Kahn, 1993) para més detalls sobre l'obtenció i aplicabilidad del Hamiltoniano HDvV.

[16] Vore, per eixemple, Katsura, S.(1962).127 i Lieb, E.; Schultz, T.; Mattis, D.(1961).16(3)

[17] Stanley, H. E.(1968).20;Stanley, H. E.(1968).(176)

[nota 1]

[1]

[nota 2]

[nota 3]

[2]

[3]

[4]

[nota 4]

[nota 5]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]