Potencial de Lennard-Jones

Potencial de Lennard-Jones

Potencial de Lennard-Jones per a un dímer d'argón.

Un parell d'àtoms o molèculas neutres estan subjectes a dos forces distintes en el llímit d'una gran separació i d'una chicoteta separació: una força atractiva actua a grans distàncies (forces de dispersió) i una força repulsiva actuant a chicotetes distàncies (el resultat de la sobreposición dels orbitales electrònics, conegut com la repulsió de Pauli). El potencial de Lennard-Jones (també conegut com el potencial L-J, el potencial 6-12 o, en menor freqüència, com el potencial 12-6) és un model matemàtic senzill per a representar este comportament.

Va ser propost en 1924 pel matemàtic i físic teòric anglés John Lennard-Jones (1894-1954).

Formulació

El potencial de Lennard-Jones és de la forma:

$V(r)=4ϵ[{\left(\frac{\sigma }{r}\right)}^{12}-{\left(\frac{\sigma }{r}\right)}^6]$

a on:

• $ϵ$ és la profunditat del potencial,
• $\sigma$ és la distància (finita) en la que el potencial entre partícules és un mínim i
• r és la distància entre partícules.

Estos paràmetros poden ser ajustats per a reproduir senyes experimentals o poden ser deduïts de resultats molt precisos de càlculs de química quàntica. El terme $r^{-12}$ descriu la repulsió i el terme $r^{-6}$ descriu l'atracció.

La funció que descriu la força a la que estan subjectes les partícules és oposta al gradient del potencial dalt descrit:

$\overrightarrow{F}(r)=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V(r)=-\frac{dV(r)}{dr}\hat{r}=4ϵ(12\frac{{\sigma }^{12}}{r^{13}}-6\frac{{\sigma }^6}{r^7})\hat{r}$

El potencial de Lennard-Jones és una aproximació. La forma del terme que descriu la repulsió no té cap justificació teòrica; la força repulsiva deu dependre exponencialment de la distància, pero el terme de la fòrmula de L-J és més convenient per la facilitat i eficiència de calcular r¹² com el quadrat de r⁶. El seu orige físic està relacionat al principi d'exclusió de Pauli: quan dos núvols electrònics circulant els àtoms s'escomencen a sobrepondre, l'energia del sistema aumenta abruptament. L'exponent 12 va ser elegit exclusivament per la seua facilitat de càlcul.

Formes alternatives

La funció del potencial de Lennard-Jones comunament s'escriu de la següent forma:

$V(r)=ϵ[{\left(\frac{r_{min}}{r}\right)}^{12}-2{\left(\frac{r_{min}}{r}\right)}^6]$

a on $r_{min}$ = $2^{1/6}\sigma$ és la distància en la que el potencial es troba en un mínim.

La formulació més senzilla, usada comunament per software de simulació, és:

$V(r)=\frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^6}$

a on:

• $A=4ϵ{\sigma }^{12}B=4ϵ{\sigma }^6\sigma ={\left(\frac{A}{B}\right)}^{\frac{1}{6}}ϵ=\frac{B^2}{4A}$