Model de Heisenberg

El model de Heisenberg és un model de mecànica estadística usat en l'estudi de punts crítics i transicions de fase en sistemes magnètics, en els que els espin es tracten de manera mecano-quàntica. En el model de Ising prototípico, definit en una ret d-dimensional, en cada punt de la ret, un espin ${\sigma }_i\in \{\pm 1\}$ representa un dipol magnètic microscòpic en el que el moment magnètic es dirigix cap a dalt o cap a avall. Llevat per l'acoplament entre moments dipolares magnètics, existix també una versió multipolar del model de Heisenberg cridat d'interacció d'intercanvi multipolar.

Visió general

Per raons mecano-quàntiques, l'acoplament dominant entre dos dipols pot causar que els primers veïns tinguen menors energies quan estan alineats. Baixe esta presunció (que les interaccions magnètiques solament ocorren entre dipols adjacents) el hamiltoniano es pot escriure en la forma

$\hat{H}=-J\sum _{j=1}^N{\sigma }_j{\sigma }_{j+1}-h\sum _{j=1}^N{\sigma }_j$

a on $J$ és la constant d'acoplament d'un model unidimensional consistent en N dipols, representats per vectores clàssics (o espin) σ_j, subjectes a la condició de contorn periòdica ${\sigma }_{N+1}={\sigma }_1$. El model de Heisenberg és un model més realiste en el que es tracten els espin de forma mecano-quàntica, reemplaçant l'espin per un operador quàntic (matrius de Pauli d'espin 1/2), i les constants d'acoplament $J_x,J_y,$ i $J_z$. Aixina, en tres dimensions, el hamiltoniano ve dau per

$\hat{H}=-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^N(J_x{\sigma }_j^x{\sigma }_{j+1}^x+J_y{\sigma }_j^y{\sigma }_{j+1}^y+J_z{\sigma }_j^z{\sigma }_{j+1}^z+h{\sigma }_j^z)$

a on la $h$ en el costat dret de l'equació indica el camp magnètic extern. En condicions de contorn periòdiques, i en espin $s=1/2$, les matrius d'espin vénen donades per

${\sigma }^x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }^y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }^z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

El hamiltoniano actua per tant sobre el producte tensorial $({ℂ}^2{)}^{\otimes N}$, de dimensió $2^N$. L'objectiu és determinar és espectre del hamiltoniano, del com es pot calcular la funció de partició, podent aixina estudiar la termodinàmica del sistema.

Una versió simplificada del model de Heisenberg és el model de Ising unidimensional, a on el camp magnètic transverso està dirigit en l'eix x, mentres que l'interacció es dona solament en la direcció z:

$\hat{H}=-J_z\sum _{j=1}^N{\sigma }_j^z{\sigma }_{j+1}^z-g{J}_z\sum _{j=1}^N{\sigma }_j^x$

En g menuda i g gran, la degeneració del estat fonamental és diferent, lo que implica que deu existir una transició de fase intermija. Es pot resoldre de forma exacta per al punt crític usant l'anàlisis de dualitat. La transició de dualitat de les matrius de Pauli és ${\sigma }_i^z=\prod _{j\le i}{S}_j^x$ i ${\sigma }_i^x=S_i^z{S}_{i+1}^z$, a on $S^x$ i $S^z$ són també matrius de Pauli que obedixen l'àlgebra de matrius de Pauli. Baixe condicions de contorn periòdiques, el hamiltoniano transformat es pot expressar en una forma molt similar:

$\hat{H}=-g{J}_z\sum _{j=1}^N{S}_j^z{S}_{j+1}^z-g{J}_z\sum _{j=1}^N{S}_j^x$

llevat per la $g$ que multiplica al final d'interacció d'espin. Assumint que existix un únic punt crític, podem concloure que la transició de fase ocorre en $g=1$.

En el cas de $J=J_x=J_y\ne J_z=\Delta$, s'obté el model de Heisenberg XXZ. El model de Heisenberg d'espin 1/2 en una dimensió pot resoldre's de forma exacta usant el ansatz de Bethe. En la formulació algebraica, estos es relacionen en àlgebra afins quàntiques particulars i en el grup quàntic elíptic en els casos XXZ i XYZ respectivament. Atres aproximacions ho aborden sense el ansatz de Bethe.

La física del model de Heisenberg depén fortament del signe de la constant d'acoplament $J$ i de la dimensió de l'espai. Per a $J$ positius, l'estat fonamental és sempre ferromagnético. Per a $J$ negatives, l'estat fonamental és antiferromagnético en dos i tres dimensions, és des d'este estat fonamental des del que es planteja el model de Hubbard. En una dimensió la naturalea de les correlació en el model de Heisenberg antiferromagnético depén de l'espin dels dipols magnètics. Si l'espin és sancer, llavors solament es presenta interacció a curt ranc. Un sistema de espin semienteros presenta interacció a ranc cuasi-llarc.

Aplicacions

• Un atre objecte important és l'entropía de entrelazamiento. Una forma de descriure-la és subdividir l'estat fonamental únic en un bloc (varis espin seqüencials) i el restant del sistema (el restant de l'estat fonamental). La entropía del bloc pot considerar-se com a entropía de entrelazamiento. A temperatura nula en la regió crítica (llímit termodinàmic) es relaciona logarítmicamente en el tamany del bloc. En aumentar la temperatura, la dependència logarítmica es convertix en una funció llineal. A altes temperatures la dependència llineal seguix la segona llei de la termodinàmica.

• El model de Heisenberg oferix un eixemple teòric important i tractable per a aplicar el grup de renormalización de la matriu de densitat.