Ansatz de Bethe

En física, el ansatz de Bethe és un método de suposició (ansatz) per a trobar les funcions d'ona exactes de certs models quàntics unidimensionals de molts cossos. Va ser inventat per Hans Bethe en 1931 per a resoldre el model de Heisenberg unidimensional antiferromagnético. Des de llavors, el método s'ha estés a atres models en una dimensió: la cadena de Heisenberg (anisotrópica) (model XXZ), l'interacció de Lieb-Liniger del gas de Bose, el model Hubbard, el model de Kondo, el modele d'impurees d'Anderson, el model de Richardson, entre uns atres.

Introducció

En el marc de la mecànica quàntica de molts cossos, els models que es poden resoldre per mig del ansatz de Bethe es contrasten en els models de fermiones lliures (no interactuantes). En un model lliure, la dinàmica és reducible a un cos: la funció d'ona de molts cossos per a fermiones (o bosones) és el producte antisimetrizado (o simetrizado) de funcions d'ona d'una sola partícula. En canvi, els models solubles pel ansatz de Bethe són interactuantes: el sector de dos cossos presenta una matriu de dispersió no trivial que, en general, depén dels moments de les partícules.

No obstant, la dinàmica d'estos models interactuantes és encara reducible en el sentit de que la matriu de dispersió de molts cossos es factoriza com un producte de matrius de dispersió de dos cossos. Les colisions múltiples ocorren com una seqüència de colisions binarias, i la funció d'ona de molts cossos es pot construir a partir de les funcions d'ona de dos cossos. Esta propietat fonamental està garantisada per l'equació de Yang-Baxter, que assegura la consistència del ansatz quan més de dos partícules interactuen simultàneament.

Forma general del ansatz de Bethe

La forma genèrica del ansatz de Bethe per a una funció d'ona de molts cossos (en una ret unidimensional o en el continu) és la següent. Per a un sistema de $M$ partícules (o espin) en posicions $j_1,j_2,\dots ,j_M$ (que poden ser discretes o contínues), es propon:

$${\Psi }_M(j_1,\dots ,j_M)=(\prod _{M\ge a>b\ge 1}\mathrm{sgn}(j_a-j_b))\sum _{P\in {𝒫}_M}(-1{)}^{[P]}\exp (i\sum _{a=1}^M{k}_{P_a}{j}_a+\frac{i}{2}\sum _{M\ge a>b\ge 1}\mathrm{sgn}(j_a-j_b)\varphi (k_{P_a},k_{P_b}))$$

a on:

• $M$ és el número de partícules (o número de espin invertits).
• $j_a$ són les coordenades (posicions) de les partícules.
• ${𝒫}_M$ és el conjunt de totes les permutació dels sancers $1,\dots ,M$.
• $k_a$ és el moment (o cuasimomento) de la $a$-ésima partícula.
• $\varphi (k_a,k_b)$ és el desplaçament de fase de dispersió (phase shift) entre les partícules $a$ i $b$.
• $(-1{)}^{[P]}$ és el signe de la permutació $P$ (per a fermiones; per a bosones s'usa $+1$).
• $\mathrm{sgn}$ és la funció signe, que ordena les partícules.

Esta forma és universal per a una àmplia classe de sistemes unidimensionals integrables (a lo manco per a aquells sense estructura de "anidamiento" adicional). La parametrización dels moments i la funció de desplaçament de fase depenen del model específic. El principi d'exclusió de Pauli se satisfà automàticament per a fermiones; per a bosones interactuantes, el ansatz produïx un comportament efímer similar al fermiónico (efecte de "exclusió estadística").