Gas de Bose

Un gas de Bose ideal és una versió mecànic-quàntica del gas ideal clàssic. Els gasos de Bose estan composts de bosonés, els quals tenen un valor sancer d'espin i obedixen l'estadística de Bose-Einstein. La mecànica estadística dels bosones va ser desenrollada per Satyendra Nath Bose per a un gas de fotons, i va ser estesa per a partícules en massa per Albert Einstein, qui es va donar conte de que un gas ideal de bosones formaria un estat condensado a una temperatura lo suficientment baixa, a diferència d'un gas ideal clàssic. Este estat és conegut com condensado de Bose-Einstein.

Aproximació de Thomas–Fermi

Vore també: model de Thomas-Fermi

La termodinàmica d'un gas de Bose ideal es pot calcular de manera més eficaç utilisant la funció de partició macrocanónica. Dita funció, per a un gas de Bose està donada per:

$𝒵(z,\beta ,V)=\prod _i{(1-z{e}^{-\beta {ϵ}_i})}^{-g_i}.$

Cada terme en el producte correspon a una energia particular ε_i , g_i  és el número d'estats en energia εi  i z  és l'activitat absoluta (o «fugacitat»), la qual pot expressar-se també en térmens del potencial químic μ definint:

$z(\beta ,\mu )=e^{\beta \mu }$

i β definida com:

$\beta =\frac{1}{kT},$

a on k  és la constant de Boltzmann i T  és la temperatura. Totes les cantitats termodinàmiques poden derivar-se de la funció de partició macrocanónica. Considerarem a totes les cantitats termodinàmiques com a funcions d'únicament tres variables z , β (o T ), i V. Totes les derivades parcials es prenen sobre una d'estes tres variables, prenent com a constants les atres dos. És més convenient treballar en el gran potencial adimensional, definit com:

$\Omega =-\ln (𝒵)=\sum _i{g}_i\ln (1-z{e}^{-\beta {ϵ}_i}).$

En el model de Thomas-Fermi, es fa la suposició de que l'energia promig és molt major a la diferència entre els diferents nivells per la qual cosa, la suma en l'equació anterior pot aproximar-se com una integral:

$\Omega \approx \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (1-z{e}^{-\beta E})dg.$

La degeneració dg  pot expressar-se en moltes situacions diferents en la fòrmula general:

$dg=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}\frac{E^{\alpha -1}}{E_c^{\alpha }}dE$

a on α és una constant, $E_c$ és una «energia crítica», i Γ és la funció Gamma. Per eixemple, per a un gas de Bose massiu dins d'una caixa, α = 3/2 i l'energia crítica està donada per:

$\frac{1}{(\beta E_c{)}^{\alpha }}=\frac{Vf}{{\Lambda }^3},$

a on Λ és la llongitut d'ona tèrmica de De Broglie. Per a un gas de Bose en una trampa harmònica tindrem que α = 3 i l'energia crítica està donada per:

$\frac{1}{(\beta E_c{)}^{\alpha }}=\frac{f}{(\hslash \omega \beta {)}^3},$

a on V(r) = mω²r²/2  és el potencial harmònic. Es pot vore que I_c  és funció únicament del volum.

Podem resoldre l'equació per al gran potencial integrant la série de Taylor de l'integrant, terme a terme, o donant-nos conte que este és proporcional a la transformada de Mellin d'Li₁[z exp(-β I)], sent Li_s(x) la funció polilogarítmica. La solució és:

$\Omega \approx -\frac{{\text{Li}}_{\alpha +1}(z)}{{\left(\beta E_c\right)}^{\alpha }}.$

El problema en esta aproximació contínua per a un gas de Bose és que l'estat base ha segut ignorat de manera efectiva, donant una degeneració de zero per a una energia zero. Esta imprecisió es torna séria quan es treballa en un condensado de Bose-Einstein i serà tractada en la següent secció.

Inclusió de l'estat base

El número total de partícules es troba a partir del gran potencial:

$N=-z\frac{\partial \Omega }{\partial z}\approx \frac{{\text{Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_c{)}^{\alpha }}.$

El terme que conté el polilogaritmo deu ser sempre real i positiu, i el màxim valor possible ocorre a z =1 , que és a on té el valor de ζ(α), en ζ la funció zeta de Riemann. Per a un valor fix de N , el màxim valor possible que β pot tindre és un valor crític β_c , a on

$N=\frac{\zeta (\alpha )}{({\beta }_c{E}_c{)}^{\alpha }}.$

Açò correspon a una temperatura crítica T_c = 1/kβ_c, baix de la qual l'aproximació de Thomas-Fermi deixa de ser vàlida. L'equació anterior pot resoldre's per a la temperatura crítica:

$T_c={\left(\frac{N}{\zeta (\alpha )}\right)}^{1/\alpha }\frac{E_c}{k}$

Per eixemple, per a $\alpha =3/2$, i usant el valor anterior de $E_c$ s'obté:

$T_c={\left(\frac{N}{Vf\zeta (3/2)}\right)}^{2/3}\frac{h^2}{2\pi mk}.$

De nou, en este moment som incapaços de calcular resultats per baix de la temperatura crítica, ya que el número de partícules utilisat en l'equació anterior es torna negatiu. El problema ací és que l'aproximació de Thomas-Fermi fixa la degeneració de l'estat base en zero, la qual cosa és incorrecte. No hi ha un estat base concorde al condensado, i per lo tant l'equació deixa de ser vàlida. Resulta, no obstant, que l'equació anterior dona una estimació prou precisa del número de partícules en els estats excitats. Llavors, no és mala aproximació simplement introduir un terme per a l'estat base:

Archiu:Bose gas quantities.png

Figura 1: Varis paràmetros per a un gas de Bose com a funció de la temperatura normalisada τ. El valor de α és 3/2. Les llínees sòlides corresponen a N = 10.000, les llínees són per a N = 1000. Les llínees negres són la fracció de partícules excitades, les blaves són la fracció de partícules condensadas. El negatiu del potencial químic μ es mostra en roig, i les llínees verdes són els valors de z. S'ha supost que k =ε_c = 1.

$N=N_0+\frac{{\text{Li}}_{\alpha }(z)}{(\beta E_c{)}^{\alpha }},$

a on N₀  és el número de partícules del condensado en l'estat base:

$N_0=\frac{g_{0}z}{1-z}.$

Ara, esta equació pot resoldre's per a una temperatura de zero absolut. La Fig. 1 mostra els resultats de la solució a esta equació per a α = 3/2, en k = ε_c = 1, que correspon a un gas de bosones en una caixa. La llínea negra sòlida és la fracció d'estats excitats 1-N₀/N  per a N = 10.000 i la llínea negra punteada és la solució per a N = 1000. Les llínees blaves són la fracció de partícules condensadas N₀/N . Les llínees roges representen valors del negatiu del potencial químic μ i les llínees verdes representen els valors corresponents z . L'eix horisontal és la temperatura normalisada τ, definida per

$\tau =\frac{T}{T_c}.$

Pot vore's que cada u d'estos paràmetros es torna llineal en τ^α en el llímit de baixa temperatura, llevat el potencial químic, que és llineal en 1/τ^α en el llímit d'alta temperatura. Conforme el número de partícules s'incrementa, les fraccions condensadas i excitades tendixen a una discontinuïtat en la temperatura crítica.

L'equació per al número de partícules pot escriure's en térmens de la temperatura normalisada com:

$N=\frac{g_{0}z}{1-z}+N\frac{{\text{Li}}_{\alpha }(z)}{\zeta (\alpha )}{\tau }^{\alpha }$

Per a N  i τ donades, esta equació pot resoldre's per a τ^α. Llavors pot trobar-se una solució en série per a z , pel método d'inversió de séries, ya siga en potències de τ^α o com una expansió asintòtica en potències inverses de τ^α. A partir d'estes expansions, es pot trobar el comportament del gas prop de T = 0 i quan T  tendix a infinit. En particular, estem interessats en el llímit quan N  tendix a infinit, que pot ser determinat fàcilment a partir d'estes expansions.