Gas de fotons

En física, un gas de fotons és una colecció de fotonés similar a un gas, que té les mateixes propietats d'un gas convencional com el hidrogen o el neó —incloent la pressió, temperatura i entropía—. L'eixemple més comú d'un gas de fotons en equilibri és la radiació de cos negre.

Un gas ideal en massa en un sol tipo de partícula està descrit unívocamente per tres funcions d'estat com la temperatura, el volum i el número de partícules. No obstant, per a un cos negre, la distribució d'energia està establida per l'interacció dels fotons en la matèria, per lo general, les parets del contenidor. En esta interacció, el número de fotons no es conserva. Com a resultat, el potencial químic d'un gas de fotons en equilibri és zero. El número de funcions d'estat necessàries per a descriure un estat de cos negre es reduïx, per esta raó, de tres a dos (és dir a la temperatura i el volum).

Termodinàmica d'un gas de fotons en equilibri

En un gas compost per partícules que posseïxen massa, l'energia de les partícules es distribuïx d'acort a la distribució de Maxwell-Boltzmann. Esta distribució s'establix conforme les partícules choquen unes en unes atres, intercanviant energia i moment en el procés. En un gas de fotons també existix una distribució d'equilibri. No obstant, els fotons no choquen entre sí —llevat en condicions molt extremes, vore per eixemple Física de dos fotons—, de manera que la distribució d'equilibri s'alcança d'atres maneres. La forma més comuna en que es pot establir una distribució d'equilibri és per mig de l'interacció dels fotons en la matèria. Si els fotons són absorbits i emesos per les parets del sistema que conté al gas de fotons, i les parets es troben a una temperatura particular, llavors la distribució d'equilibri per a un gas d'esta classe serà una distribució de cos negre a eixa temperatura.

Una diferència molt important entre un gas de partícules en massa i un gas de fotons en una distribució de cos negre és que el número de fotons en el sistema no es conserva. Un fotó pot colisionar en un electró de les parets, excitant-ho a un nivell d'energia superior, lo que remou a dit fotó del gas. L'electró pot retornar al seu nivell més baix d'energia en una série d'etapes, en cada una de les quals llibera un fotó individual al gas. Encara que la suma de les energies dels fotons emesos és la mateixa que la del fotó absorbit, el número de fotons emesos variarà. Pot demostrar-se que, com a resultat d'esta falta de restricció en el número de fotons en el sistema, el potencial químic deu ser zero per a la radiació de cos negre.

La termodinàmica d'un gas de fotons en equilibri pot obtindre's utilisant arguments mecànic-quàntics. La derivació dona com resultat la distribució espectral d'energia o, que és l'energia per unitat de volum, per unitat d'interval de freqüència:

$u(\nu ,T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /kT}-1},$

a on h  és la constant de Planck, c  és la velocitat de la llum, ν  és la freqüència, k  és la constant de Boltzmann i T  és la temperatura. En integrar açò sobre la freqüència, i en multiplicar pel volum V, s'obté l'energia interna de gas de fotons de cos negre:

$U=\left(\frac{{\pi }^5{k}^4}{15c^3{h}^3}\right)V{T}^4.$

La derivació també permet conéixer el número esperat de fotons N:

$N=\left(\frac{16\pi k^3\zeta (3)}{c^3{h}^3}\right)V{T}^3,$

a on ζ(n) és la funció zeta de Riemann. Note's que per a una temperatura en particular, el número de partícules N varia en el volum de forma fixa, autoajustándose per a tindre una densitat constant de fotons.

Si notem en l'equació d'estat per a un gas quàntic ultrarrelativista (que inherentemente descriu als fotons) està donada per

$U=3PV,$

llavors podem combinar les fòrmules anteriors per a produir una equació d'estat que siga similar al d'un gas ideal:

$PV=\frac{\zeta (4)}{\zeta (3)}NkT\approx 0,9NkT$

La següent taula resumix les funcions d'estat termodinàmiques per a un gas de fotons en equilibri.

Funcions d'estat termodinàmiques per a un gas de fotons en equilibri

	Funció d'estat (T,V)
Energia interna	$U=\left(\frac{{\pi }^2{k}^4}{15c^3{\hslash }^3}\right)V{T}^4$
Número de partícules	$N=\left(\frac{16\pi k^3\zeta (3)}{c^3{h}^3}\right)V{T}^3$
Potencial químic	$\mu =0$
Pressió	$P=\frac{1}{3}\frac{U}{V}$
Entropía	$S=\frac{4U}{3T}$
Entalpia	$H=\frac{4}{3}U$
Energia lliure de Helmholtz	$A=-\frac{1}{3}U$
Energia lliure de Gibbs	$G=0$

Transformacions isotèrmiques

Com a eixemple d'un procés termodinàmic que involucra a un gas de fotons, considere's un cilindre en un pistón mòvil. Les parets interiors del cilindre són «negres», de tal forma que els fotons poden mantindre's a una temperatura determinada. Açò significa que l'espai dins del cilindre contindrà un gas de fotons, la distribució dels quals serà la d'un cos negre. A diferència d'un gas en massa, el gas de fotons pot existir sense necessitat de que els fotons siguen introduïts des de l'exterior. És dir, les parets produiran fotons per al gas. Suponga's que el pistón és espentat cap a dins del cilindre fins que solament quede un volum molt menut. El gas de fotons començarà a espentar el pistón movent-ho cap a fòra. Per a que la transformació siga isotèrmica, es deu aplicar al pistón una força en sentit contrari de casi el mateix valor, per a que el moviment del pistón siga molt llent. Esta força serà igual la pressió, multiplicada per l'àrea (A) de la secció travessera del pistón. Este procés pot continuar-se a temperatura constant, fins que el gas de fotons es trobe a un volum V₀. Integrant la força sobre la distància (x) recorreguda pel pistón, s'obté el treball total W fet per a crear el gas de fotons a este volum:

$W=-\underset{0}{\overset{x_0}{\int }}PAdx,$

a on s'utilisa la relació V = Ax. Definint

$b=\frac{8{\pi }^5{k}^4}{15c^3{h}^3},$

La pressió és

$P(x)=\frac{b{T}^4}{3}.$

Integrant, el treball realisat és simplement

$W=-\frac{b{T}^{4}A{x}_0}{3}=-\frac{b{T}^4{V}_0}{3}.$

La cantitat de calor que deu afegir-se per a crear el gas és

$Q=U-W=H_0,$

a on H₀ és l'entalpia al final de la transformació. Es veu que l'entalpia és la cantitat d'energia que es necessita per a crear el gas de fotons.