Gran potencial

El gran potencial, el potencial de Landau, també conegut com a energia lliure de Landau, és una magnitut amprada en el camp de la mecànica estadística, particularment en l'estudi de processos irreversibles en sistemes oberts. Esta cantitat representa la funció d'estat distintiva de la colectivitat macrocanónica.

Definició

El gran potencial es definix per

${\Phi }_{\mathrm{G}}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}U-TS-\mu N$

En l'equació donada, O representa l'energia interna del sistema, T és la temperatura del sistema, S és l'entropía, μ és el potencial químic i N és el número de partícules presents en el sistema.

El canvi en el gran potencial està donat per

$\begin{array}{cc}d{\Phi }_{\mathrm{G}}& =dU-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu \\ & =-PdV-SdT-Nd\mu \end{array}$

a on P és pressió i V és volum, utilisant la relació fonamental de la termodinàmica (primera i segona lleis termodinàmiques combinades);

$dU=TdS-PdV+\mu dN$

Quan el sistema està en equilibri termodinàmic, Φ_G és un mínim. Açò es pot vore considerant que dΦ_G és zero si el volum és fix i la temperatura i el potencial químic han deixat d'evolucionar.

Energia lliure de Landau

Alguns autors es referixen al gran potencial com a energia lliure de Landau o potencial de Landau i escriuen la seua definició com:

$\Omega \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}F-\mu N=U-TS-\mu N$

du el nom del físic rus Lev Landáu i, depenent de les estipulacions del sistema, pot ser sinònim de gran potencial. Per a sistemes homogéneus, s'obté $\Omega =-PV$.

Sistemes homogéneus (front a sistemes no homogéneus)

En el cas d'un tipo de sistema invariante d'escala (a on un sistema de volum $\lambda V$ té exactament el mateix conjunt de microestats que $\lambda$ sistemes de volum $V$), després, quan el sistema s'expandixca, noves partícules i energia fluiran des del depòsit per a omplir el nou volum en una extensió homogénea del sistema original. La pressió, llavors, deu ser constant sobre els canvis de volum:

${\left(\frac{\partial ⟨P⟩}{\partial V}\right)}_{\mu ,T}=0,$

i totes les cantitats extensives (número de partícules, energia, entropía, potencials, ...) deuen créixer linealment en el volum, per eixemple

${\left(\frac{\partial ⟨N⟩}{\partial V}\right)}_{\mu ,T}=\frac{N}{V}.$

En este cas simplement tenim ${\Phi }_{\mathrm{G}}=-⟨P⟩V$, aixina com la relació familiar $G=⟨N⟩\mu$ per a l'energia de Gibbs. El valor de ${\Phi }_{\mathrm{G}}$ pot entendre's com el treball que es pot extraure del sistema reduint-ho a res (tornant totes les partícules i l'energia al depòsit). El fet de que ${\Phi }_{\mathrm{G}}=-⟨P⟩V$ és negatiu implica que l'extracció de partícules del sistema al jaciment requerix un aporte d'energia.

Esta escala homogénea no existix en molts sistemes. Per eixemple, quan s'analisa el conjunt d'electrons en una sola molècula o inclús en una peça de metal que sura en l'espai, duplicar el volum de l'espai duplica el número d'electrons en el material. El problema ací és que, encara que s'intercanvien electrons i energia en un depòsit, no es permet que canvie l'hoste material. Generalment en sistemes menuts, o sistemes en interaccions de llarc alcanç (aquells fòra del llímit termodinàmic), ${\Phi }_G\ne -⟨P⟩V$.