Grup de renormalización de la matriu de densitat

El grup de renormalización de la matriu de densitat (GRMD, o per les seues sigles en anglés DMRG) és una tècnica numèrica variacional usada per a obtindre la física a baixes energies de sistemes quàntics de molts cossos en alta precisió. Va ser inventat en 1992 per Steven R. White i és hui en dia un dels métodos més eficients per a models unidimensionals.

L'idea darrere de DMRG

El principal problema de la física quàntica de molts cossos és el fet de que l'espai de Hilbert creix exponencialment en el tamany. Per eixemple, una cadena d'espin 1/2 de llongitut L té 2^L graus de llibertat. El DMRG és un método iterativo variacional que reduïx els graus de llibertat efectius als més importants per a l'estat objectiu, que sol ser l'estat fonamental.

Despuix d'un cicle inicial, el método dividix el sistema en dos blocs, no necessàriament del mateix tamany, i dos posicions intermiges. Durant el cicle inicial es va elegir un conjunt de estats representatius per al bloc. Este conjunt de bloc esquerre + dos posiciones + bloc dret es coneix com superbloque. Ara es pot trobar un candidat per a l'estat fonamental del superbloque, que és una versió reduïda del sistema complet. Est pot tindre una precisió prou pobra, pero el método és iterativo i millora en els passos successius.

L'estat fonamental candidat que es troba es proyecta en el subespacio de cada bloc usant una matriu de densitat, de la qual cosa el nom del método. D'esta forma, s'actualisen els estats rellevants per a cada bloc.

Ara, un dels blocs creix a costa de l'atre i es repetix el procediment. Quan el bloc creixent alcança el seu tamany màxim, l'atre escomença a créixer en el seu lloc. Cada volta que es retorna a la situació inicial es diu que es va completar una agranada. Normalment, unes poques agranada són suficients per a obtindre una precisió d'una part entre 10¹⁰ per a una ret unidimensional.

La primera aplicació de el DMRG, obtinguda per Steven White i Reinhard Noack, va anar un model de joguet: trobar l'espectre d'una partícula d'espin 0 en una caixa unidimensional. Este model havia segut propost per Kenneth G. Wilson com una prova per a qualsevol método nou de grup de renormalización, ya que tots fallaven en este problema simple. El DMRG va superar els problemes dels métodos de grup de renormalización previs conectant dos blocs en les dos posicions en mig en lloc de simplement afegir una única posició a un bloc en cada pas, aixina com per mig de l'us de la matriu de densitat per a identificar els estats més importants a mantindre al final de cada pas. Despuix de resoldre en èxit el model de joguet, el método DMRG es va implementar de forma també exitosa per a la resolució del model de Heisenberg.

Detalls tècnics de l'implementació

Una implementació pràctica de l'algoritme DMRG és un treball llarc. Alguns dels principals trucs computacionals utilisats són els següents:

• L'estat fonamental per al superbloque s'obté usant l'algoritme de Lanczos de diagonalización de matrius. Una atra opció és el método de Arnoldi, especialment en tractar en matrius no hermíticas.
• L'algoritme de Lanczos habitualment comença en una llavor aleatòria. En DMRG, l'estat obtingut en un cert pas, transformat de forma adequada, pot servir com a millor llavor per a l'algoritme de Lanczos en el següent pas.
• En sistemes en simetria, es poden haver conservat números quàntics, com l'espin total en un model de Heisenberg. És convenient trobar l'estat fonamental en cada dels sectors en que es dividix l'espai de Hilbert.