Integrals típiques en teoria quàntica de camps

Existixen una série de integrals típiques en teoria quàntica de camps que apareixen contínuament en aplicar-la als problemes concrets de la teoria. Estes integrals són totes variacions i generalisacions d'integrals gaussianas en el pla complex i en vàries (moltes, o inclús infinites) dimensions. Un atre conjunt d'integrals poden ser aproximades per integrals gaussianas. També es presenten transformacions de Fourier.

Integral gaussiana en una dimensió

Integral Gaussiana

La primera integral ací presentada, d'us comú també en aplicacions diferents a la teoria quàntica de camps, és l'integral gaussiana, que és l'integral sobretot el seu domini de la campana de Gauss.

$G\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}dx$

En Física, és habitual usar un factor 1/2 en l'argument de l'exponencial.

La forma usual de resoldre esta integral és intentant resoldre la seua versió bidimensional fent us de la propietat d'factorización de l'integral respecte a la suma d'arguments i d'un canvi de variables de cartesianas a polars:

$G^2=\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}dx\right)\cdot \left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2}dy\right)=2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r{e}^{-\frac{1}{2}{r}^2}dr=2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-w}dw=2\pi .$

En lo que s'obté el resultat buscat

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}dx=\sqrt{2\pi }.$

Una minúscula generalisació de l'integral gaussiana

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}$

a on hem reescalado la variable

$x\to \frac{x}{\sqrt{a}}$.

Integrals de gaussianas en potències pares de x

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}dx=-2\frac{d}{da}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}dx=-2\frac{d}{da}{\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{a}$

i

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^4{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}dx=(-2\frac{d}{da})(-2\frac{d}{da})\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}dx=(-2\frac{d}{da})(-2\frac{d}{da}){\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{3}{a^2}$

En general:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n}{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}dx={\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{a^n}(2n-1)(2n-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1={\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{a^n}(2n-1)!!$

Note's que, en el cas en el que tingam potències impars de x, l'integral s'anula per la simetria impar de l'argument, per lo que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n+1}{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}dx=0$

Integrals en un terme llineal en l'argument de l'exponencial

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}a{x}^2+Jx)dx$

Esta integral es pot resoldre completant el quadrat.

$(-\frac{1}{2}a{x}^2+Jx)=-\frac{1}{2}a(x^2-\frac{2Jx}{a}+\frac{J^2}{a^2}-\frac{J^2}{a^2})=-\frac{1}{2}a{(x-\frac{J}{a})}^2+\frac{J^2}{2a}$

$\begin{array}{cc}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}a{x}^2+Jx)dx=\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp [-\frac{1}{2}a{(x-\frac{J}{a})}^2]dx\\ & =\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}a{x}^2)dx={\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)\end{array}$

Integrals en un terme llineal imaginari en l'argument de l'exponencial

L'integral

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}a{x}^2+iJx)dx={\left(\frac{2\pi }{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\exp (-\frac{J^2}{2a})$

és proporcional a la transformada de Fourier de la campana de Gauss, a on $J$ és la variable conjugada de $x$.

Es pot resoldre com el cas anterior completant quadrats, veent aixina que la transformada de Fourier d'una gaussiana és també una atra gaussiana, pero de la variable conjugada. Quan major és el valor de $a$, més estreta és la gaussiana en $x$ i més àmplia és la gaussiana en $J$. Est és un cas particular del principi d'incertitut.

Integrals en un argument complex en l'exponent

L'integral d'interés és (per a vore un eixemple d'us, vore Relació entre l'equació de Schrödinger i la formulació de l'integral de camí de la mecànica quàntica).

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (\frac{1}{2}ia{x}^2+iJx)dx.$

Ara assumim que $a_{}^{}$ i $J_{}^{}$ poden ser complexos.

Completant el quadrat

$(\frac{1}{2}ia{x}^2+iJx)=\frac{1}{2}ia(x^2+\frac{2Jx}{a}+{\left(\frac{J}{a}\right)}^2-{\left(\frac{J}{a}\right)}^2)=-\frac{1}{2}\frac{a}{i}{(x+\frac{J}{a})}^2-\frac{i{J}^2}{2a}.$

Per analogia en les integrals prèvies

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (\frac{1}{2}ia{x}^2+iJx)dx={\left(\frac{2\pi i}{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\exp \left(\frac{-i{J}^2}{2a}\right).$

Este resultat és vàlit com una integració en el pla complex sempre que $a_{}^{}$ tinga una part imaginària positiva (per molt chicoteta que esta siga).

Integrals gaussianas en vàries dimensions

L'integral gaussiana unidimensional pot ser generalisada a $n_{}^{}$ dimensions.

$\int \exp (-\frac{1}{2}x\cdot A\cdot x+J\cdot x)d^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}\exp (\frac{1}{2}J\cdot A^{-1}\cdot J)$

A on $A$ és una matriu simètrica real.

Esta integral es resol per mig d'una diagonalización de la matriu $A$ a través d'una transformació ortogonal

$D_{}^{}=O^{-1}AO=O^{T}AO$

a on $D$ és una matriu diagonal i $O$ és una matriu ortogonal. Esta transformació desacopla les variables d'integració, per lo que tenim $n_{}^{}$ integrals unidimensionals que podem resoldre una a una independentment.

Açò quedarà segurament més clar en un eixemple en el cas bidimensional.

Eixemple: Integració gaussiana en dos dimensions

L'integral gaussiana en 2 dimensions és

$\int \exp (-\frac{1}{2}{A}_{ij}{x}^i{x}^j)d^{2}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^2}{\det A}}$

a on $A$ és una matriu simètrica bidimensional definida com

$A=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]$

i a on hem usat el conveni de sumación d'Einstein.

Diagonalización de la matriu

El primer pas és diagonalizar la matriu. Note's que

$A_{ij}{x}^i{x}^j\equiv x^{T}Ax=x^T\left(O{O}^T\right)A\left(O{O}^T\right)x=\left(x^{T}O\right)\left(O^{T}AO\right)\left(O^{T}x\right)$

a on, com $A$ és una matriu simètrica real, podem elegir una matriu ortogonal(i per tant també unitària) $O$.

Elegim la matriu $O$ de tal manera que

$D\equiv O^{T}AO$

siga diagonal.

$O$ pot obtindre's a partir dels autovalores de $A$.

Autovalores de A

Per a obtindre els autovectores de $A$, primer tenim que conéixer els autovalores $\lambda$ de $A$,

$\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right].$

Els autovalores de $A$ són les solucions de la seua polinomi característic

$(a-\lambda )(b-\lambda )-c^2=0$

que són

${\lambda }_{\pm }=\frac{1}{2}(a+b)\pm \frac{1}{2}\sqrt{{(a-b)}^2+4c^2}.$

Autovectores de A

Substituint els autovalores una atra volta en l'equació que definix els autovectores, tenim

$v=-\frac{(a-{\lambda }_{\pm })u}{c}$

o

$v=-\frac{cu}{(b-{\lambda }_{\pm })}.$

De l'equació característica tenim que

$\frac{(a-{\lambda }_{\pm })}{c}=\frac{c}{(b-{\lambda }_{\pm })}.$

Note's també que

$\frac{(a-{\lambda }_{\pm })}{c}=-\frac{(b-{\lambda }_{\mp })}{c}.$

Els autovectores poden ser escrits com

$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\eta }\\ -\left(\frac{a-{\lambda }_{-}}{c\eta }\right)\end{array}\right]$

i

$\left[\begin{array}{c}-\left(\frac{b-{\lambda }_{+}}{c\eta }\right)\\ \frac{1}{\eta }\end{array}\right]$

Ací, $\eta$ és una constant de normalisació donada per

$\eta =\sqrt{1+{\left(\frac{a-{\lambda }_{-}}{c}\right)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{b-{\lambda }_{+}}{c}\right)}^2}.$

És fàcil verificar que els 2 autovectores són ortogonals entre sí.

Construcció de la matriu ortogonal

La matriu ortogonal $O$ es construïx usant els autovectores normalisats de la matriu $A$ com a columnes de la matriu ortogonal.

$O=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\eta }& -\left(\frac{b-{\lambda }_{+}}{c\eta }\right)\\ -\left(\frac{a-{\lambda }_{-}}{c\eta }\right)& \frac{1}{\eta }\end{array}\right].$

Note's que el determinant de $O$, en ser una matriu unitària, és igual a un.

Si definim

$\sin \left(\theta \right)\equiv -\left(\frac{a-{\lambda }_{-}}{c\eta }\right)$

llavors, la matriu ortogonal pot escriure's com

$O=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\theta \right)& -\sin \left(\theta \right)\\ \sin \left(\theta \right)& \cos \left(\theta \right)\end{array}\right]$

lo que representa una rotació dels autovectores.

L'inversa d'esta matriu és

$O^{-1}=O^T=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\theta \right)& \sin \left(\theta \right)\\ -\sin \left(\theta \right)& \cos \left(\theta \right)\end{array}\right].$

Matriu diagonal

La matriu diagonal és

$D=O^{T}AO=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{-}& 0\\ 0& {\lambda }_{+}\end{array}\right]$

en autovectores

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

i

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

Eixemple numèric

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$

Els autovalores són

${\lambda }_{\pm }=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}.$

Els autovectores són

$\frac{1}{\eta }\left[\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$

i

$\frac{1}{\eta }\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right]$

a on

$\eta =\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$ .

La matriu ortogonal és

$O=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\eta }& \frac{1}{\eta }\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\\ \frac{1}{\eta }\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)& \frac{1}{\eta }\end{array}\right].$

És fàcil comprovar que el determinant de $O$ és 1.

La matriu inversa de $O$ és

$O=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\eta }& \frac{1}{\eta }\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\\ \frac{1}{\eta }\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)& \frac{1}{\eta }\end{array}\right].$

Per lo que la matriu diagonal $D$ és

$D=O^{T}AO=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{-}& 0\\ 0& {\lambda }_{+}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)& 0\\ 0& \left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\end{array}\right]$

en autovectores

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

i

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right].$

Reescalado de les variables i integració

Despuix de la diagonalización, l'integral a resoldre es pot escriure com

$\int \exp (-\frac{1}{2}{x}^{T}Ax)d^{2}x=\int \exp (-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^2{\lambda }_j{y}_j^2)d^{2}y,$

a on

$y_{}^{}=O^{T}x$ .

Com la transformació de coordenades aplicada és una rotació, el determinant jacobiano de la transformació és igual a l'unitat, per lo que

$d{y}_{}^2=d{x}^2$ .

En lo que ya podem resoldre l'integral

$\int \exp (-\frac{1}{2}{x}^{T}Ax)d^{2}x=\int \exp (-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^2{\lambda }_j{y}_j^2)d^{2}y=\prod _{j=1}^2{\left(\frac{2\pi }{{\lambda }_j}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{(2\pi {)}^2}{\prod _{j=1}^2{\lambda }_j}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{(2\pi {)}^2}{\det \left(O^{-1}AO\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{(2\pi {)}^2}{\det \left(A\right)}\right)}^{\frac{1}{2}},$

que és la solució buscada.

Integrals en térmens complexos llineals en vàries dimensions

Una volta que tenim resolt l'eixemple bidimensional, és fàcil generalisar el resultat obtingut al pla complex i a vàries dimensions.

Integrals en un terme llineal real en l'argument

$\int \exp (-\frac{1}{2}x\cdot A\cdot x+J\cdot x)d^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}\exp (\frac{1}{2}J\cdot A^{-1}\cdot J)$

Integrals en un terme llineal imaginari en l'argument

$\int \exp (-\frac{1}{2}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x)d^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}\exp (-\frac{1}{2}J\cdot A^{-1}\cdot J)$

Integrals en un terme complex quadràtic

$\int \exp (\frac{i}{2}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x)d^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi i{)}^n}{\det A}}\exp (-\frac{i}{2}J\cdot A^{-1}\cdot J)$

Integrals en operadors diferencials en l'argument

Per eixemple, vore l'integral

$\int \exp [\int d^{4}x(-\frac{1}{2}\phi \hat{A}\phi +J\phi )]D\phi$

a on $\hat{A}$ és un operador diferencial en $\phi$ i $J$ funcions definides en l'espai-temps. $D\phi$ representa una integració sobre tots els possibles camins. Análogamente a la versió matricial d'esta integral, la solució és

$\int \exp (-\frac{1}{2}\phi \hat{A}\phi +J\phi )D\phi \propto \exp (\frac{1}{2}\int d^{4}x{d}^{4}yJ\left(x\right)D(x-y)J\left(y\right))$

a on

$\hat{A}D(x-y)={\delta }^4(x-y),$

$D(x-y)$, és el propagador, que és l'inversa de $\hat{A}$, i ${\delta }^4(x-y)$ és la delta de Dirac.

Análogamente s'obtenen els següents resultats

$\int \exp [\int d^{4}x(-\frac{1}{2}\phi \hat{A}\phi +iJ\phi )]D\phi \propto \exp (-\frac{1}{2}\int d^{4}x{d}^{4}yJ\left(x\right)D(x-y)J\left(y\right))$

$\int \exp [i\int d^{4}x(\frac{1}{2}\phi \hat{A}\phi +J\phi )]D\phi \propto \exp (-\frac{i}{2}\int d^{4}x{d}^{4}yJ\left(x\right)D(x-y)J\left(y\right))$.

Vore també

• Teoria quàntica de camps
• Propagador
• Relació entre l'equació de Schrödinger i la formulació de l'integral de camí de la mecànica quàntica
• Forces estàtiques generades per l'intercanvi de partícules virtuals
• Método de la fase estacionaria
• Método del descens més brusc
• Aproximació WKB
• Llímit clàssic