Aproximació WKB

En física, la aproximació WKB és un método per a trobar solucions aproximades a equacions diferencials llineals en coeficients variables. S'usa especialment per a càlculs semiclásicos en mecànica quàntica en els que la funció d'ona s'escriu com una exponencial l'amplitut de la qual o fase varien llentament.

El nom d'este método és un acrònim de aproximació Wentzel-Kramers-Brillouin. Atres acrònim usualment usats són aproximació JWKB i aproximació WKBJ, a on la "J" representa a Jeffreys.

Breu història

Este método du el nom dels físics Wentzel, Kramers, i Brillouin, els qui ho varen desenrollar en 1926. En 1923, el matemàtic Harold Jeffreys va desenrollar un método general d'aproximació a solucions llineals d'equacions diferencials de segon orde que incloïa l'equació de Schrödinger. A pesar de que l'equació de Schrödinger va ser proposta dos anys despuix, Wentzel, Kramers i Brillouin sembla que no estaven al tant del treball previ de Jeffreys per lo que a voltes s'exclou a este del reconeiximent. Els primers texts de mecànica quàntica contenen combinacions dels seus inicials, que inclouen WBK, BWK, WKBJ, JWKB i BWKJ.

Referències anteriors al método són: Carlini en 1817, Liouville en 1837, Green en 1837, Rayleigh en 1912 i Gans en 1915. Liouville i Green poden ser cridats els fundadors del método, en 1837, i açò és també comunament cridat com "Liouville-Green" o "método LG". L'important contribució de Jeffreys, Wentzel, Kramers i Brillouin al método va ser l'inclusió del tractament moments, conectant la Fugacitat i oscillatorio solucions en cap costat del moment. Per eixemple, açò pot ocórrer en l'equació de Schrödinger, abdós per a un pico potencial d'energia.

Método WKB

En general, la teoria WKB és un método per a aproximar la solució d'una equació diferencial que la seua més alta derivada va multiplicada per un chicotet paràmetro ε. El método d'aproximació és com seguix. Donada una equació diferencial

Assumix una solució de la forma d'una expansió de série asintòtica

En el llímit $\delta \to 0$, la substitució del ansatz anterior dins de l'equació diferencial i la cancelació dels térmens exponencials permet obtindre la solució d'un número arbitrari de térmens $S_i(x)$ de l'expansió. La teoria WKB és un cas especial d'Anàlisis d'escala múltiple.

Vore també

• Funció de Airy

Bibliografia

Referències modernes

• Razavy, Moshen (2003). Quàntum Theory of Tunneling, World Scientific. ISBN 981-238-019-1.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quàntum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Liboff, Richard L. (2003). Introductory Quàntum Mechanics (4th ed.), Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Sakurai, J. J. (1993). Modern Quàntum Mechanics, Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.
• Bender, Carl; Orszag, Steven (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.
• Olver, Frank J. W. (1974). Asymptotics and Special Functions, Academic Press. ISBN 0-12-525850-X.
• Winitzki, Sergei(2005).Physical Review D.72

104011.doi:10.1103/PhysRevD.72.104011.

Referències històriques

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della série che serva alla soluzione del problema vaig donar Keplero, Milano.
• Liouville, Joseph(1837).Journal de Mathématiques Pures et Appliquées.1

16–35.

• Green, George(1837).Transactions of the Cambridge Philosophical Society.6

457–462.

• Rayleigh, Lord (John William Strutt)(1912).Proceedings of the Royal Society London, Séries A.86

207–226.doi:10.1098/rspa.1912.0014.

• Gans, Richard(1915).Annalen der Physik.47

709–736.

• Jeffreys, Harold(1924).Proceedings of the London Mathematical Society.23

428–436.doi:10.1112/plms/s2-23.1.428.

• Brillouin, Léon(1926).Comptes Rendus de l'Academie dones Sciences.183

24–26.

• Kramers, Hendrik A.(1926).Zeitschrift der Physik.39

828–840.doi:10.1007/BF01451751.

• Wentzel, Gregor(1926).Zeitschrift der Physik.38

518–529.doi:10.1007/BF01397171.