Equació en derivades parcials no llineal

En matemàtiques i física, una equació en derivades parcials no llineal és un tipo d'equació en derivades parcials (EDP) en térmens no llineals. Descriuen molts sistemes físics, des de sistemes gravitatorios a dinàmica de decorreguts, i han segut amprats en matemàtiques per a resoldre problemes com la conjectura de Poincaré i la conjectura de Calabi. Són difícils d'estudiar: no existix casi cap tècnica general que funcione en tots els casos i habitualment es deu estudiar cada equació individual com un problema separat.

La distinció entre una equació en derivades parcials llineal i no llineal es fa típicament en térmens de les propietats del operador que definix la pròpia EDP.

Métodos per a l'estudi d'equacions en derivades parcials no llineals

Existència i unicitat de solucions

Una qüestió fonamental per a qualsevol EDP és l'existència i unicitat d'una solució per a unes determinades condicions de frontera. Per a les equacions no llineals esta qüestió és en general molt complicada. Per eixemple, la part més difícil de la solució de Yau per a la conjectura de Calabi va ser la demostració de l'existència per a una equació de Monge-Ampère. El problema obert de l'existència (i suavitat) de solucions de les equacions de Navier-Stokes és un dels sèt problemes del mileni en matemàtiques.

Singularitats

Les qüestions bàsiques sobre singularitats (la seua formació, propagació i eliminació i la regularitat de solucions) són les mateixes que per a equacions llineals, pero com és esperable molt més difícils d'estudiar. En el cas llineal es poden usar simplement espais de distribucions, pero les equacions no llineals típicament no estan definides per a distribucions arbitràries, per lo que es deuen reemplaçar els espais de distribucions per objectes com els espais de Sóbolev.

Un eixemple de formació de singularitats ve dau pel fluix de Ricci. Richard Hamilton va demostrar que mentres que existixen solucions per a temps curts, habitualment es formen singularitats despuix d'un temps finito. La solució de Grigori Perelmán de la conjectura de Poincaré depenia d'un estudi detallat d'estes singularitats, a on va provar cóm continuar les solució despuix de les singularitats.

Aproximació llineal

Les solucions en un entorn d'una solució coneguda es poden estudiar en ocasions linealizando la EDP al voltant de la solució. Açò es correspon en estudiar l'espai tangente d'un punt del espai de mòduls de totes les solucions.

Espai de mòduls de les solucions

Idealment, es voldria descriure l'espai de mòduls de totes les solucions explícitament, i per a algunes equacions molt particulars és possible fer-ho. No obstant, en general no és un problema factible; per eixemple, és improvable que existixca una descripció útil de totes les solucions de les equacions de Navier-Stokes, ya que implicaria descriure tots els moviments de decorreguts possibles. Si l'equació té un grup de simetria molt gran és generalment d'interés l'espai de mòduls mòdul el grup de simetria, lo que en ocasions resulta en una varietat compacta de dimensió finita, possiblement en singularitats. Per eixemple, eixe és el cas de les equacions de Seiberg-Witten. Un cas alguna cosa més complicat és el de dimensió finita pero no necessàriament compacte, encara que habitualment pot compactificarse explícitament. Un atre cas a on en ocasions es poden descriure totes les solucions és el cas dels models completament integrables, a on les solucions són a voltes una espècie de superposició de solitones, com ocorre en l'equació de Korteweg-de Vries.

Solucions exactes

A sovint és possible escriure algunes solucions especials explícitament en térmens de funcions elementals, encara que rarament es poden descriure totes les solucions d'esta forma. Una forma de trobar estes solucions explícites és reduir les equacions a atres de menor dimensió, preferentment equacions diferencials ordinàries, que habitualment poden resoldre's de forma exacta. Açò pot conseguir-se a voltes a través de separació de variables, o buscant solucions altament simètriques.

Solucions numèriques

La solució numèrica a través de computadora és pràcticament l'únic método que es pot amprar per a obtindre informació sobre sistemes arbitraris d'equacions. S'ha realisat molt treball, pero encara hi ha qüestions obertes en la resolució numèrica de certs sistemes, especialment Navier-Stokes i atres equacions relacionades en el pronòstic del temps.

Parell de Lax

Si un sistema d'equacions en derivades parcials pot posar-se en forma de parell de Lax

$\frac{dL}{dt}=LA-AL$

llavors té habitualment un número infinit d'integrals primeres, lo que ajuda a estudiar-ho.

Equacions de Euler-Lagrange

Alguns sistemes de EDP poden sorgir com les equacions de Euler-Lagrange d'un problema variacional. Els sistemes en esta forma poden resoldre en ocasions trobant un extrem del problema variacional original.

Equacions d'Hamilton

Artícul principal → Mecànica hamiltoniana.

Sistemes integrables

Artícul principal → Sistema integrable.

Les equacions que sorgixen de sistemes integrables són habitualment els més senzills d'estudiar, i en ocasions poden resoldre's completament. Eixemples molt coneguts són l'equació de Korteweg-de Vries o l'equació de Schrödinger no llineal.

Simetria

Alguns sistemes tenen grups de simetria grans. Per eixemple, les equacions de Yang-Mills són invariantes baix l'acció d'un grup de gauge de dimensió infinita, i molts sistemes d'equacions (com les equacions del camp d'Einstein) són invariantes baix difeomorfismos de la varietat subjacent. Qualsevol d'estos grups de simetria pot utilisar-se habitualment per a facilitar l'estudi de l'equació. En particular, si es coneix una solució es poden generar trivialment més solucions fent actuar al grup de simetria.

Algunes voltes les equacions són parabòliques o hiperbòliques "mòdul l'acció d'algun grup". Per eixemple, l'equació del fluix de Ricci no és parabòlica, pero és parabòlica mòdul l'acció del grup de difeomorfismos, lo que implica que té la majoria de bones propietats de les equacions parabòliques.

Vore també

• Equacions de Euler-Lagrange
• Sistema no llineal
• Sistema hamiltoniano integrable

Referències

• . For errata, see this