Cantonada (geometria)

En geometria, el cantonada, achaflanado, biselado o truncació d'arestes és un operador topològic que modifica un poliedre en un atre. És similar a l'expansió, separant les cares d'una figura cap a fòra, pero manté els vèrtiços originals. Per a poliedres, esta operació agrega una nova cara hexagonal que substituïx a cada aresta original.

En la notació de poliedres de Conway es representa en la lletra c. Un poliedre en i arestes tindrà una forma achaflanada que conté 2i vèrtiços nous, i 3i arestes noves i i cares hexagonals noves.

Sòlits platònics achaflanados o biselados

En els apartats següents es descriuen en detalle els cantonada dels cinc sòlits platònics. Cada u es mostra en una versió en arestes d'igual llongitut i en una versió canònica a on totes les arestes toquen la mateixa interesfera (solament s'aprecien com notablement diferents en el cas dels sòlits que contenen triànguls). Els poliedres conjugats que es mostren són duals a les versions canòniques.

Original	{3,3}	{4,3}	{3,4}	Erro al crear miniatura: {5,3}	Erro al crear miniatura: {3,5}
Achaflanado	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:

Tetraedre achaflanado

Erro al crear miniatura:

El tetraedre truncat té un aspecte similar, pero els seus hexàgons corresponen a les 4 cares del tetraedre original, en lloc dels seus 6 arestes

Tetraedre achaflanado
Erro al crear miniatura: (En totes les arestes d'igual llongitut)
Notació de Conway	cT
Poliedre de Goldberg	GPIII(2,0)= {3+,3}2,0
Cares	4 triànguls 6 hexàgons
Arestes	24 (2 tipos)
Vèrtiços	16 (2 tipos)
Configuració de vèrtiços	(12) 3.6.6 (4) 6.6.6
Grup de simetria	Tetraèdric (Td)
Poliedre conjugat	Triaquis tetratetraedro alternat
Propietats	Convexo, cares equiláteras
Erro al crear miniatura: Desenrolle

El tetraedre achaflanado (o gaveta truncada alternada) és un poliedre convexo construït per mig d'una operació d'alternat d'un gaveta truncada o com el achaflanado d'un tetraedre, reemplaçant els seus 6 arestes per hexàgons.

És el poliedre de Goldberg G_III(2,0), que conté cares triangulars i hexagonals.

Tetraedres achaflanados i sòlits relacionats

Tetraedre achaflanado (canònic)	Dual del tetratetraedro	Tetraedre achaflanado (canònic)
Triaquis tetratetraedro alternat	Octaedre	Triaquis tetratetraedro alternat

Gaveta achaflanado

l'octaedre truncat és semblat, pero els seus hexàgons corresponen als 8 vèrtiços de la gaveta, en lloc dels seus 12 arestes

Gaveta achaflanado
(En totes les arestes d'igual llongitut)
Notació de Conway	cC= t4daC
Poliedre de Goldberg	GPIV(2,0)= {4+,3}2,0
Cares	6 quadrats 12 hexàgons
Arestes	48 (2 tipos)
Vèrtiços	32 (2 tipos)
Configuració de vèrtiços	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Simetria	Oh, [4,3], (*432) Th, [4,3+], (3*2)
Poliedre conjugat	Tetraquis cuboctaedro
Propietats	Convexo, cares equiláteras
Erro al crear miniatura: Desenrolle

La gaveta achaflanado és un poliedre convexo en 32 vèrtiços, 48 arestes i 18 cares (12 hexàgons i 6 quadrats). Es construïx per mig de l'achaflanado d'un gaveta. Els quadrats es reduïxen de tamany i s'afigen noves cares hexagonals substituint a les arestes originals. El seu dual és el tetraquis cuboctaedro.

També se li crida incorrectament dodecaedre ròmbic truncat, encara que eixe nom sugerix més be un rombicuboctaedro. Es pot cridar en més precisió dodecaedre ròmbic tetratruncado perque solament els vèrtiços d'orde 4 estan truncats.

Les cares hexagonals són equiláteras pero no regulars. Estan formades per un rombo truncat, tenen 2 ànguls interns d'uns 109,47° ${\cos }^{-1}(-\frac{1}{3})$ i 4 ànguls interns d'uns 125,26°, mentres que un hexàgon regular tindria tots els ànguls de 120°.

Com totes les seues cares tenen un número par de costats en simetria de rotació de 180°, és un zonoedro. També és un poliedre de Goldberg GP_IV(2,0) o {4+,3}_2,0, que conté cares quadrades i hexagonals.

La gaveta biselado és la sumixca de Minkowski d'un dodecaedre ròmbic i una gaveta de costat 1 quan huit vèrtiços del dodecaedre ròmbic estan en $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ i els seus sis vèrtiços estan en les permutació de $(\pm \sqrt{3},0,0)$.

Es pot construir un equivalent de topològic en simetria tetraèdrica i cares rectangulars achaflanando les vores axials d'un dodecaedre. Esta configuració és freqüent en els cristals de pirita.

Octaedre achaflanado i sòlits relacionats

Erro al crear miniatura: Gaveta achaflanado (canònic)	Erro al crear miniatura: Rombododecaedro	Erro al crear miniatura: Octaedre achaflanado (canònic)
Erro al crear miniatura: Tetraquis cuboctaedro	Cuboctaedro	Erro al crear miniatura: Triaquis cuboctaedro

Octaedre achaflanado

Octaedre achaflanado
Erro al crear miniatura: (En totes les arestes d'igual llongitut)
Notació de Conway	cO= t3daO
Cares	8 triànguls 12 hexàgons
Arestes	48 (2 tipos)
Vèrtiços	30 (2 tipos)
Configuració de vèrtiços	(24) 3.6.6 (6) 6.6.6
Simetria	Oh, [4,3], (*432)
Poliedre conjugat	Triaquis cuboctaedro
Propietats	Convexo

En geometria, el octaedre achaflanado és un poliedre convexo que es pot construir a partir d'un rombododecaedro per truncat de les seues 8 vèrtiços d'orde 3.

També se li pot cridar dodecaedre ròmbic tritruncado, en referència al mencionat truncat dels vèrtiços d'orde 3 del rombododecaedro.

Els 8 vèrtiços es trunquen de manera que totes les arestes tenen la mateixa llongitut. Les 12 cares ròmbiques originals es convertixen en hexàgons plans i els vèrtiços truncats es convertixen en triànguls.

Les cares hexagonals són equiláteras pero no regulars.

Erro al crear miniatura:

Dibuixos històrics d'un cuboctaedro ròmbic i d'un octaedre biselado

Dodecaedre achaflanado

Erro al crear miniatura:

l'icosaedre truncat té un aspecte similar, pero els seus hexàgons corresponen als 20 vèrtiços del dodecaedre, en lloc dels seus 30 arestes

Dodecaedre achaflanado
Erro al crear miniatura: (En totes les arestes d'igual llongitut)
Notació de Conway	cD]= t5doneu= dk5aD
Poliedre de Goldberg	GV(2,0)= {5+,3}2,0
Fullereno	C80
Cares	12 pentàgons 30 hexàgons
Arestes	120 (2 tipos)
Vèrtiços	80 (2 tipos)
Configuració de vèrtiços	(60) 5.6.6 (20) 6.6.6
Grup de simetria	Icosaédrica (Ih)
Poliedre conjugat	Pentaquis icosidodecaedro
Propietats	Convexo, cares equiláteras

Artícul principal → Dodecaedre achaflanado.

El dodecaedre achaflanado és un poliedre convexo en 80 vèrtiços, 120 arestes i 42 cares: 30 hexàgons i 12 pentàgons. Es construïx com un achaflanado d'un dodecaedre regular. Els pentàgons es reduïxen de tamany i s'afigen noves cares hexagonals en lloc de totes les arestes originals. El seu dual és el pentaquis icosidodecaedro.

També se li crida incorrectament triacontaedro ròmbic truncat, encara que eixe nom sugerix més be un rombicosidodecaedro. Es pot cridar en més precisió un triacontaedro ròmbic pentatruncado perque solament els vèrtiços d'orde 5 estan truncats.

Icosaedre achaflanado i sòlits relacionats

Erro al crear miniatura: Dodecaedre achaflanado (canònic)	Erro al crear miniatura: Triacontaedro ròmbic	Erro al crear miniatura: Icosaedre achaflanado (canònic)
Erro al crear miniatura: Pentaquis icosidodecaedro	Erro al crear miniatura: Icosidodecaedro	Erro al crear miniatura: Triaquis icosidodecaedro

Icosaedre achaflanado

Icosaedre achaflanado
Erro al crear miniatura: (En totes les arestes d'igual llongitut)
Notació de Conway	cI= t3daI
Cares	20 triànguls 30 hexàgons
Arestes	120 (2 tipos)
Vèrtiços	72 (2 tipos)
Configuració de vèrtiços	(24) 3.6.6 (12) 6.6.6
Simetria	Ih, [5,3], (*532)
Poliedre conjugat	Triaquis icosidodecaedro
Propietats	Convexo

En geometria, el icosaedre achaflanado és un poliedre convexo construït a partir del triacontaedro ròmbic per truncat dels 20 vèrtiços d'orde 3. Les cares hexagonals poden ser equiláteras pero no regulars.

També se li pot cridar triacontaedro ròmbic tritruncado, en referència a una truncació dels vèrtiços d'orde 3 del triacontaedro ròmbic.

Teselados regulars achaflanados

Teselados regulars i cuasirregulares achaflanados

Teselado quadrat, Q {4,4}	Erro al crear miniatura: Teselado triangular, Δ {3,6}	Teselado hexagonal, H {6,3}	Teselado ròmbic, daH dr{6,3}
Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:
cQ	cΔ	cH	cdaH

Vore també

• Notació de poliedres de Conway
• Sòlit casi coincidente de Johnson
• Canteado (geometria)

Bibliografia

• Goldberg, Michael (1937). “A class of multi-symmetric polyhedra”. Tohoku Mathematical Journal 43: 104–108.
• Joseph D. Clinton, Conjectura de l'àngul central igual de Clinton [1]
• Hart, George (2012). «Goldberg Polyhedra», Shaping Space, 2nd edició, Springer, pp. 125–138. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Hart, George. «Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra». Simons Science News.
• Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Fullerenos i poliedres de coordinació versus incrustaciones de mija gaveta, 1998 PDF [2] (p. 72 Fig. 26. Tetraedre biselado)
• .