Teoria de Chern-Simons

La teoria de Chern–Simons és una teoria topològica quàntica 3-dimensional de tipo Schwarz, introduïda per Edward Witten. Es denomina aixina perque el seu acció és proporcional a l'integral de la 3-forma de Chern–Simons.

En física de la matèria condensada, la teoria de Chern–Simons descriu l' orde topològic en els estats del efecte Hall quàntic. En matemàtiques, s'ha utilisat per a calcular les invariantes de nuc i invariantes 3-varietat com el polinomi de Jones.

Una teoria particular de Chern–Simons s'especifica per mig d'una opció del grup de Lie simple G conegut com el grup de calibración de la teoria i també un número conegut com el nivell de la teoria, que és una constant que multiplica l'acció. L'acció és depenent de la calibración, no obstant la funció de partició de la teoria quàntica està ben definida quan el nivell és un sancer i el medidor d'intensitat de camp desapareix en tots els llímits de l'espai-temps tridimensional.

La teoria clàssica

Configuracions

Les teories Chern–Simons es poden definir en qualsevol 3-varietat topològica M, en o sense llímit. Estes teories són teories topològiques de tipo-Schwarz, no es requerix introduir mètrica en M.

La teoria de Chern–Simons és una teoria de calibración, lo que significa que una configuració clàssica en la teoria de Chern–Simons M en calibrador de grup G, és descrita per un paquet principal G en M. La conexió d'este paquet es caracterisa per una conexió d'una forma A la que és valorada en l'àlgebra de Lie g del grup de Lie G. En general la conexió només està definida en pegats coordinats individuals, i els valors de A en pegats diferents estan relacionats per mapes coneguts com a indicadors de les transformacions. Estes es caracterisen per l'afirmació de que la derivada covariant, que és la suma de l'operador derivada exterior d i la conexió A, es transforma en la representació adjunta del grup de calibración G. El quadrat de la derivada covariant en sí mateixa pot ser interpretat com una 2-forma g-valuada F anomenada la forma de curvatura o l'intensitat de camp. També es transforma en la representació adjunta.

Dinàmica

l' acció S de la teoria de Chern–Simons és proporcional a l'integral de la Chern–Simons de la 3-forma

$S=\frac{k}{4\pi }\underset{M}{\int }\text{tr}(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A).$

La constant k es diu el nivell de la teoria. La física clàssica de la teoria de la Chern–Simons és independent de l'elecció del nivell k.

Clásicamente, el sistema es caracterisa per les seues equacions de moviment, que són l'extrem de l'acció sobre les variacions camp A. Sobre la curvatura de camp

$F=dA+A\wedge A$

l'equació de camp és, explícitament

$0=\frac{\delta S}{\delta A}=\frac{k}{2\pi }F.$

Les equacions clàssiques del moviment es complixen per lo tant, si la curvatura desapareix en tots els llocs, en el cas de la qual la conexió es diu ser plana. Per lo tant, les solucions clàssiques a G de la teoria de Chern–Simons, són les conexions planes de G-paquets principals en M. Les conexions planes depenen enterament de holonomías al voltant de cicles no contràctils en la base M. Més precisament, estan en correspondència un a un, en les classes d'equivalència d'homomorfismes des del grup fonamental M per a en el grup de calibración G, fins a la conjugació.

Si M té un llímit N, llavors hi ha senyes adicionals que descriuen una opció de banalización del G-paquet principal en N. Eixa opció caracterisa un mapa de N a G. La dinàmica d'este mapa és descrita pel model de Wess–Zumino–Witten (WZW) en N a nivell k.

Cuantización mits

Para cuantizar canónicamente la teoria de Chern–Simons, es definix un estat en cada superfície bidimensional Σ en M. Com en qualsevol teoria quàntica de camps, els estats corresponen als rajos en un espai de Hilbert. No existix la noció preferencial de temps en una teoria de camp topològica de tipo-Schwarz, i aixina un pot impondre que la superfície de Cauchy siga Σ, de fet, un estat pot definir-se en qualsevol superfície.

Σ és de codimensión un i aixina un pot tallar M a lo llarc de Σ. Despuix de dita talle M serà una varietat en llímit i, en particular, clásicamente la dinàmica de Σ es descriurà per un model WZW. Witten ha demostrat que esta correspondència es manté en mecànica quàntica inclús. Més precisament, va demostrar que l'espai d'estats de Hilbert, és sempre finito dimensional, i pot ser canónicamente identificat en l'espai de blocs conformes del model WZW de G a nivell de k. Els blocs conformes són localment la Funció holomorfa i factors anti-holomorfos que la seua sumixca de productes per a la funcions de correlació d'una teoria conforme de camps 2-dimensional.

Per eixemple, quan Σ és una 2-esfera, este espai de Hilbert és unidimensional i aixina hi ha un sol estat. Quan Σ és un 2-bou els estats corresponen a les representacions integrables de l'àlgebra de Lie afí, corresponents a g al nivell de k. Les .caracterisació dels blocs conformes en gèneros majors, no són necessàries per a solució de Witten de la teoria de Chern–Simons.

Vore també

• Formes de Chern-Simons
• Teoria topològica quàntica de camp

Referències (en anglés)

• (2005) Teoria de Chern-Simons, models matriciales i cordes topològiques, OUP.
• (1974).Annals of Mathematics.99(1)

48–69.doi:10.2307/1971013.

• (1989).Commun. Math. Phys..121(3)

351–399.doi:10.1007/BF01217730.

• (1995).Prog. Math..133

637–678.